CHAPITRE IL
EXEMPLES DU MOUVEMENT RECTII.IGSE.
D'après ce qu'on a iru du mouvement rectilign sont celles-ci :
dx dv
"~~ d/ ' dt '
le u» 110, les ! d'un point mu-
dont la dernière est une suite des deux outres , et dans lesquelles on a désigné, au bout d'un temps quelconque t, par * la distance du mobile à un point fixe de la droite qu'il décrit, par v sa vitesse acquise, et par • la force qui le sollicite ; • étant une quantité positive ou négative, selon que celte
TRAITÉ DE MÉCAMQUE.
force agira dan» le sens ou en sens contraire delà vitesse r. Ce» équations l'appliqueront non seulement à un point matériel isolé, mais uussi à un corps solide de grandeur quelconque, dont tous les points décriront des droites parallèles, et auront, pur conséquent, un mouvement commun:
p sera alors la force accélératrice, égale à la force motrice divisée par la masse du mobile.
La valeur de 9 sera donnée dans chaque problème; et la question consistera à en déduire, par l'intégration, les expressions de v et jr en fondions de t. Elles contiendront deux constante! arbitraires, dont un déterminera les valeurs d'après celles de * et r à l'origine du mouvement, qui devront être données dans chaque exemple. Dorénavant , nous supposerons toujours que l'on compte le temps t à partir de Cette origine ; en sorte que les valeurs données de x et r répondront à i = 0.
L'intégration ne sera généralement possible sous (orme finie , que quaud • ne dépendra , comme nous le supposerons dans les exemples suivans, que d'une seule des quantités i, r, x. Lorsque la voleur donnée de • les contiendra toutes trois, ou deux seulement , les valeurs de x et r ne pourront s'exprimer que par les séries.
130. Supposons d'abord que la force s soit constante, et qu'il s'agisse, par exemple, du mouvement vertical d'un corps qui tombe dans le vide en vertu de la pesanteur.
En désignant celte force par g, nous aurons
IF - y '
d'où l'on tire
e = <jt, x =-. iy?5#i ,
et, par conséquent,
V = 2gx ,
en supposant que la distance x soit comptée du point de départ du mobile, et que la vitesse initiale soit nulle, de sorte qu'on ait *— 0 et e = 0, quand »=0.
Si on appelle a la vitesse acquise en tombant d'une hauteur h, on aura
ce qui fournit une expression commode d'une vitesse quelconque, au moyen de la hauteur d'où on corps pesant devrait tomber pour l'arquérir , et de la vitesse constante g. Le temps de la chute de celte hauteur h étant représente par t , ou aur i
Si le corps est lancé verticalement de bas en
haut, l'équation de son mouvemeut dans le vide sera
g étant la même vilesse ccustante que dans le cas précédent, parce que l'or» suppose l'action de la pesanteur sur les corps en mouvement , indépendante du sens dans lequel ils se meuvent, aussi bien que de ta grandeur de leur vitesse. En supposaut que a soit la vilesse initiale, on eu déduira
t> — a — gl, x ^- at — \/2 gt> ,
pour la vitesse et l'espace parcouru à un instant quelconque. 11 est év ident que le mobile s'élèvera jusqu'à ce que cette vitesse soit nulle. Si donc on appelle »' le temps de son élévation , et h' la hauteur à laquelle il parviendra , on uura
et comme ces valeurs coïncident avec celles de I et h du cas précédent , on en conclut qu'un corps pesant, lancé de bas en haut uvec une vilesse a, s'élève dans le vide a la hauteur d'où il devrait tomber pour acquérir celte même vitesse , et que le temps de son élévation est le même que celui de sa chute.
Communément on appelle h la hauteur duc à la vitesse a, et, réciproquement , a la vitesse due à la hauteur h.
131. Soit que le mobile monte ou descende, il suffira , pour former les équations de son meuvemeut sur un plan incliné, de mettre dans les précédentes jcoka à la place de g , en désignant , comme dans le n° 117, par* le complément du l'inclinaison du plan donné sur un plan lioriiontal .
Dans le cas de la chute, on aura donc
v — gt cos », x = l/J or» cos », r« = ïgx cos «,
mais en appelant / la longueur du plan incliné , et h sa hauteur, on a
h = / cos *;
si donc on indique par k la vitesse acquise par le mobile, quand il auro parcouru toute cette longueur, on aura
k* = ~gl cos • = 2gh ;
ce qui montre que cette vitesse A est la même que si le mobile fut tombé par la vcrticole h.
Soit ABC (fig. 34) la circonférence d'un cercle dont le plan est vertical. Supposons que AB représente son diamètre vertical, et cherchons , d'après ■ les équations précédentes , le temps qu'un point matériel pesant emploiera à parcourir la corde AC, aboutissant à l'extrémité supérieure de ce diamètre. En abaissant du point C la pcrpcudictilaiic Cl) sur AB , on aura , duns ce cas,
AC = / . AD — h i
DTHAMIQIE , PREMIÈRE PARTIB.
mai* si Ton désigne |iar • le temps demandé , on
I s 1/2 S J' d'après une propriété
do cercle ; on a d'à il-
en appelant b le diamètre AB; d'où l'on conclut
Or , ce temps est le même que relui de la chute par une hauteur verticale 6 ; il en résulte donc que la corde AC sera parcourue dans le même temps que le diamètre AB.
Un trouvera le même résultat, en considérant le mouvement sur la corde CB qui aboutit à l'extrémité inférieure de AB, et courue dans le même temps que «ici.
Ce théorème , indépendant de la longueur de la corde parcourue, subsistera encore lorsqu'elle deviendra infiniment petite ; ce qui tient à ce qu'en même temps la composante de la gravité, qui agit suivant cette longueur, ne sera plus une quantité finie.
132. Considérons actuellement le mouvement d'un corps solide pesant qui tombe ou qui est lancé de bas en haut dans uu milieu résistant , et dont tous les points décrivent des droites verticules. Pour que la force accélératrice ne dépende que de la vitesse, nous supposeront que le milieu ait partout la même densité.
Dans le cas de la chute , on aura
en supposant la résistance proportionnelle an carré de la vitesse (n" 124), et désignant par k une vitesse constante et donnée. Cette valeur de 0 étant une fonction de v, il faudra faire usage de la i équation (1), et l'on en déduira
A* it
d'où l'on lire
En intégrant et supposant nulle la vitesse initiale , de sorte qu'on ait t — 0 qn a nd r = 0 , il en résulte
JL ïL
Je désigne ici por « la base des logarithmes népériens, et par log un logarithme de cette espècei II en sera de même dans toute la suite de cet ouvrage ; ce qui n'empêchera pos d'employer quelquefois la lettre « à représenter d'autres quantités , dans des formules où la base de ces logarithmes n'entrera pas. Elle a pour valeur approchée
et celle dn module constant par lequel il faut multiplier le logarithme népérien d'un nombre quelconque, pour en déduire le logarithme ordinaire de ce nombre , est
0,4342945 A cause de di—vdt, on aura
à es — log — \ « + « / 1 (3)
en intégrant et supposant m = 0 quand t =0. On
et , par conséquent , h
pour la valeur de s en fonction de c.
133. Ces formules renferment la solution complète du problème. On en déduit cette conséquence, que le temps augmentant sans cesse , le mouvement approche de plus en plus de l'uniformité , et qu'il est sensiblement uniforme quand la vitesse gt t produite par la pesanteur , est devenue très grande par rapport à k. En effet, en négligeant alors l'expo-
nentielle § , qui est une très petite fraction , on a
* = *, » = 0, x = kt log 2.
La résistance du fluide étant une force qui s'exerce a la surface du mobile, la force motrice qui en résulte est indépendante delà masse, et serait la même, soit que le mobile fût formé d'une matière très dense , soit qu'on enlevât la matière intérieure , et qu'on le réduisit a une enveloppe
TRAITÉ DE MÊCAMQrB.
é* mince. Or , la force accélératrice se déduisant d e lu foret) motrice , en la divisant par la masse du corps, il s'ensuit que la première de ces deux forces sera , toutes choses d'ailleurs égales , en raison inverse de cette masse, et, par conséquent, k en raison directe de sa racine carrée. C'est pour cela que le mouvement final , dans un milieu résistant , est le plus rapide pour le corps pesant dont la densité est la plus grande ; la forme et l'étendue de la surface restant les mêmes.
Quand la densité du milieu est très faible par rapport à celle du mobile, la quantité k est très grande ; et ce n'est qu'après un temps très long que le mouvement peut approcher de l'uniformité. Tant que la vitesse gt n'est pas détenue très considérable, on n , en séries convergentes ,
fit J"\ / Si 9\
1 * * ) ni t» giti
2*. ' 2-iA* •4*
liki
-fetc,
et les formules (2) et (3) deviennent
gt
+ etc.,
Iftg» ~
+ etc.
Elles se réduisent , comme cela doit être , a celles du mouvement uniformément accéléré , lorsque la densité du milieu est tout-à-fait nulle, ce qui rend la quantité k infinie.
