Dans le cas où le mobile est lancé de bas en haut, on a
op.
Si sa surface supérieure est la même que sa surface inférieure , la constante k sera aussi la même que duns le cas de la chute ; mais si ces deux portions de surface sont différentes, les valeurs de k le seront également ; et , par exemple , s'il s'agit d'un cône dont la base soit horizontale, la quantité k sera beaucoup plus grande ou beauroup plus petite dans son mouvement ascensionnel que dans sa chute, selon que son sommet sera situé au-dessus ou au-dessous do sa base. Pour fixer les idées , je supposerai que le mobile soit une spbère homogène ; en appelant r son rayon , D sa densité et p celle du milieu , on aura alors (n° 124)
Dr
y étant une constante qui ne pent plut dépendre que de la nuture du milieu , liquide ou fluide aériforme , et de sa température.
En substituant cette valeur de a dans la i équation (1), on aura
kdr gdt *• + — k 1
et en intégrant et désignant par a la vitesse
du mobile , il en résulte
arc ^tong = — ^ = arc ^lang = — ^ — —
La valeur de v qu'on en déduit peut facilement s'écrire sous la forme :
/ 9* 9'\ k 1 orns k sin — J
gt gt
a sin U k cos —
En multipliant par dt et intégrant de nouveau , de manière qu'on ait x = 0 quand t=0 f on en conclut
*• ,a gt gt
x = — log ( — sin 1- cos — J.
g W * kJ
On
A> vdt
et par conséquent
s = — lo
Si l'on fait-=.,etqnei'on
a = 0, pour appliquer ces formules au cas du
vide , elles se présentent sous la forme — ; et par
la règle ordinaire , on trouve , comme cela doit être,
• s= a — gt , * = ai — 1/2 gt* ;
résultat qu'on obtient aussi par le développement en série , comme dans le numéro précédent.
13fi. AppelonshU plus grande hauteur ù laquelle) le mobile parviendra , et qui répond à v — 0 \ aurons
h = — log .
Soit aussi 6, le temps qu'il emploiera pour y i sa valeur sera
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE
i à cette hauteur , le mobile retombera , et son mouvement sera exprimé par les formules du u" 132. Si Ton représente par a! sa vitesse, lorsqu'il sera retombé de toute cette hauteur A, on > , d'après l'équation (4),
en égalant cette valeur de A à la précédente , on a
k* — al* 1 *• '
et , par conséquent ,
d'où l'on conclut a' < o; en sorte que la vitesse du mobile, quand il sera revenu a son point de départ, se trouve moindre que sa vitesse initiale.
Soit aussi l' le temps de la chute totale , lequel répondra kv = aï. On aura
ou bien , en mettant pour a' sa valeur ,
vn/eor différente de celle du temps *, de Télé-
En multipliant par L'a» -\- k* — a, tcur et le dénominateur de la fraction comprise •ou» le logarithme, on aura, plus simplement,
a- = Ior
et si l'on appelle I le temps total ♦' + », de l'allée et du retour du projectile, on en conclura
Si le mobile est un boulet lancé dans l'air par un canon vertical , on pourra, malgré la rapidité de ce mouvement, mesurer le temps I avec quelque précision ; et si Ton connaît , en outre , la vitesse de projection a, l'équation précédente servira a déterminer la valeur de k, relative au rayon r du boulet. Eu désignant par A' ce que devient A par rapport à un autre boulet de la même matière cl d'un rayon r,
136. Dans le cas on l'on fait abstraction de le pesanteur , et où l'on suppose la résistance du milieu proportionnelle à une puissance de la vitesse dont l'exposant est moindre que l'unité , la solution du problème présente une singularité qui mérite d'être remarquée.
Supposons qu'on ait , par exemple ,
y et A étant toujours la gravité et une constante et donnée. L'équation du
dt A
en en tirant la valeur de gdt, intégrant et désignant par a la vitesse initiale, il vient
et , par conséquent ,
En multipliant par dt , et intégrant de nouveau , de sorte qu'on ait * = 0 quand 1 = 0, on trouve
l/ak
il après l'eiprcssiou de A» du numéro précédent.
pour l'espace parcouru à un instant quelconque.
D'après la valeur de r, la vitesse diminue depuis l'origine du mouvement jusqu'à l'instant qui ré-
pond k t = g »; a cet instant , la vitesse est
nulle; au delà , le mouvement continue dans le même sens qu'auparavant , et la vitesse augmente indéfiniment. Mais la vitesse étant nulle à un certain instant , la force accélératrice est nulle en même temps ; par conséquent , le mobile doit s'arrêter à cet instant et demeurer en repos. Or , il faut remarquer que l'équation du mouvement admet une solution particulière r=0; en sorte que sa solution complète est l'ensemble de son intégrale et de cette équation v=0; il s'ensuit donc que le problème est résolu depuis 1=0 jus-
L/oT
qu'à t= , par l'intégrale de l'équation du
mouvement , et au delà de cette valeur de * par la solution particulière. Pendant le premier intervalle de temps, le mobile décrit, d'un mouvement conti-
nuellement retardé, une lijjne égale à
ai.
• l'extrémité de rrpoi.
Cet exemple, purement hypothétique, suffit pour montrer la oécesiité d'avoir égard aux solutions particulières des équations différentielles du mouvement, s'il en existait; ce qui n'arrive pas réellement , d'après les expressions des forces en fonctions de lu vitesse acquise et de l'< couru , qui ont lieu dans la nature.
«emens dans lesquets la force accélératrice variera avec l'espace parcouru.
Le cas le plus simple a lieu , lorsqu'il s'agit d'un point matériel attiré vers un centre fixe, en raison directe de la distance à ce point , que Cou suppose situé sur la droite que ce mobile décrit. Au bout du temps t , soit * cette distance ; à une distance
donnée «., supposons que la force accélératrice ■oit égale à la gravité j ; on aura f d'après la loi donnée ,
pour sa valeur à un instant quelconque. Si «est l'espace parcouru au même instant , et que le mobile soit parti du point situé à une distance e du centre d'attraction, en se dirigeeant vers ce on aura aussi
et la troisième équation (1) deviendra
Son intégrale complète est
m = A cos t (/'i + B sin « J/^- ;
A et B désignant les deux constantes arbitraires. En supposant nulle la vitesse initiale du mobile , on aura à la fois
d'où l'on conclut
c cos
Cette formule montre que la distance m sera nulle a que le mobile atteindra le centre d'attraction , a bout d'un temps indépendant delà distancée de
•on point de déport , et égal à — * [/ y : il
fera ensuite , de part et d'autre de ce centre, des
seront cette distancée et ce temps
138. Pour un autre exemple, considérons le mouvement d'un corps pesant dans le vide ; nous supposons qu'il tombe d'une asses grande hauteur pour qu'on doive avoir égard , pendant sa chute, à lu variation de la pesanteur.
Soient BAE (6g. 3fi) un grand cercle vertical de la terre , D le point de départ du mobile dans ce plan, M sa position au bout du temps sur la droite DC qui aboutit au centre C de la terre, et rencontre en A sa surface. Appelons r son rayon CA , h la hauteur AD , m l'espace DI parcouru par le mobile , m sa distance CX au centre C , en sort* qu'on ait
La force accélératrice t sera la pesanteur au point M ; en la désignant toujours par e à la surface de la terre , c'est-à-dire , au point A , et supposant que son intensité varie en raison inverse du carré de la distance au centre C, on aura donc
d'où Ton tire
or-
au moyen de quoi la troisième équation (I) de-
Je multiplie ces deux membres par 2dx ; j'intègre ensuite ; puis je détermine la constante arbi-
«'on ait- = 0, dt
dx* / 1 1 \
ce qui fera connaître la vitesse acquise par le mobile , à une distance quelconque x de son point de départ. Au point A , où l'on a « = h ,
et , par conséquent moindre , comme cela devait être, qne si la gravité avait, dans toute la hauteur A, la même intensité qu'à la surface.
(,.+ *»)<*, dt — .
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE
Or, en comparant celle équation différentielle h l'équation (a) du n» 71 , en voit que si l'on conatrait une demi-cycloide DOC. qui ait «on sommet an point D et son origine au point 0, situé sur la perpendiculaire CO à la droite CD , et dont le cerc'e générateur ait pour diamètre cette droite CD égale ■ r +*> q ue , on m ène ensuite par le point M une perpendiculaire Mfl à la droite DC , qui rencontre
la cycloïde au point N , on aura
