MIS
en sorte que l'ordonnée MN du point H fera connoilre le temps t employé à parcou.ir l'abscisse DM, et réciproquement. Sous forme finie r on aura
' + - (r + k) arc ( cos = Z±>=*?\
en intégrant , et 1 = 0.
la
observant que x = 0 quand /* et, conséqoemment , la
le sinus étant très petit , on peut le prendre à la place de l'arc; ce qui >end d'abord le second terme delà formule précédente égal au premier. On peut aussi mettre le rayon r au lieu de r + k -s , et réduire, par conséquent , leur somme à 2 ]/rm t at , de cette manière, la formule dont il s*a K it de-
«> négligeant h par rapport h r;
Je me contenterai d'indiquer, comme exemple de calcul, le cas où le mobile soumis à une pesanteur variable est lancé de bas en haut ; et , pour dernier exemple du mouvement rectiligne, je vais considérer le mouvement d'un point matériel attiré vers deux centres fiscs, situés sur la droite qu'il décrit.
139. Soient A et B (fig. 3«) , les deux centres d attraction , M la position du mobile au bout du temps », et D son point de départ. On suppose, pour fixer les idées, que le mouvement a lieu entre les deux centres d'attraction, et de A vers B ; faisons
DM=,, AM = a , AD
en sorte que * soit l'espace parcouru, a la distance du mobile au point A , « la distance initiale , et e la longueur de la droite AB. En supposant toujours les attractions en raison inverse du carré des distances , et désignant , à l'unité de distance , par o« et A» les intensités des forces qui émane
très A et B, nous aurons» et —
intensités quand le mobile est en M. La force accélératrice f sera l'excès de la seconde force qui tend à augmenter l'espace * , sur la première qui
distance *, seront très petites par rapport à r, celte formule devra différer très peu de celle qui répond à U pesanteur constante. En effet, on a
-) = arc (sin = 8 ^ + h > * \
lend à le diminuer ; donc, à aura
dedx=d,,on
pour ce que devient la troisième équation (1), ds
et — pour la vitesse p du mobile au point M.
ai
En multipliant l'équation (a) par 2dz et iulégrantjona
sfas
y étant la constance arbitraire. Pour la déterminer, je désigne par A la vitesse initiale qui répond à * = on aura
En rctroncliant cette équation de la précédente, il en résultera
ce qui fera connaître la vitesse du mobile, dans une position quelconque entre les deux points A etB
140. Il y a, sur la droite AB , un certain point C , dans lequel les deux forces d'uttraction sont égales; en sorte que si l'on y playuil le mobile, ou qu'il y parvint sans aucune vitesse acquise , il y demeurerait en équilibre. En appelunt k la distance AC , on a
On tire de lii deux valeurs de k, dont l'une apj-ar-
tient ou point C situé entre A et B , et l'autre il un point situé sur le prolongement de AB, du côté du centre de la moindre attraction. La première de ces deux valeurs est
ac
Appelons / la plus petite vitesse initiale qu'il faut imprimer au mobile pour qu'il arrive nu point C, de sorte que, parvenu à ce point, ta vitesse soit nulle ; on aura à la fois
dt
et , en vertu de l'équation (c) et de la valeur de h, il en résultera
Si la vitesse initiale * est moindre que /, le mobile retombera sur A ; si elle est plus grande , il dépassera le point C , et ira tomber sur B. Dans le cas de * = f, le mobile emploierait un temps infini à atteindre le point C , à cause qu'à une distance infiniment petite de ce point , il ne serait plus animé que d'une vitesse infiniment petite , et sollicité par une force qui le serait également.
141. Si A et B sont les centres de deux sphërcs homogènes , ou composées de couches concentriques , on pourra supposer que les attractions que l'on considère sont celles de ces deux sphères ; et alors leurs intensités a> et i» , à l'unité de distance, seront entre elles comme leurs masses (n° 101). En supposant , par exemple , que A soit le centre de la lune et B celui de la terre, et négligeant la nonsphéricité de ces deux corps , on aura
car la masse de la lune, conclue de son action pour
soulever les eaux de la mer , est — de celle de la
terre. On aura donc
en sorte que le point également attiré par la terre et par son satellite se trouve, h peu prés, au dixième de leur distance mutuelle à partir de la lune.
Soit r le rayon de la terre; on pourra prendre 60 r pour la distance c de la lune à la terre; et si le mobile est la partie de la surface de la lune , on aura 3r
en même temps a. = — , d'après le rapport connu
du rayou de la lune à celui de la terre. Au moyen
de ces valeurs r et » , et de a =
(d) devient
, l'éq.ia-
En désignant par g l'attraction de la terre à sa surface , on aura
6» = gr* ,
pour cette force à l'unité de distance. Si donc on fait
il en résultera
/• = lgt>.
Or, l'iittraction g peut être prise pour la pesanteur dont elle est la partie principale ; par conséquent , f est la vitesse duc à une hauteur r'; et à cause de
sa valeur est
La lune n'ayant pas d'atmosphère dont la résistance puisse diminuer la vitesse des corps partis de sa surface, il s'ensuit que si la terre et la luoe étaient en repos, un corps lancé de la surface de la lune vers la terre, avec une vitesse plus grande que 2361 mètres par seconde , dépasserait le point d'égale attraction , et viendrait tomber sur la surface de la terre. Dans le mouvement de la lune autour de la terre, la droite AB qui va d'un centre à l'autre rencontre constamment la surface de la luno en un même point , qui devrait être le point D , d'où le mobile serait lancé suivant la direction DB; mais, pendant une seconde, le point D parcourt sur le cercle décrit du centre de la terre, une longueur d'environ 1000™ par seconde; par conséquent, la vitesse absolue du mobile serait, en grandeur et en direction, la résultante d'une vitesse dirigée suivant DB, et d'une vitesse de 1000™» perpendiculaire à DB. Cela étant, le corps no restera pas sur la droite mobile AB ; il décrira une courbe dans l'espace, les formules précédentes ne s'appliqueront plus à son mouvement , et il ne viendra plus tomber sur la surface de la terre, comme dans le cas de l'immobilité de la lune.
