En résolvant l'équation {b) par rapport à dt, on
\/ a — 3» ds
[/2a»C— (2o» + cy)s+ y s*
L'intégrale de cette formule s'exprimera toujours au moyen des fonctions elliptiques ; en sorte que l'on pourra calculer, au moyen des tables de ces fonctions , le temps qui répond a une distance donnée t, et réciproquement. Mais indépendamment des cas où l'une des deux attractions est nulle , il
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE
en est d'autres pour lesquels l'intégrale de la formule précédente peut encore s'obtenir sous furtnc finie. Ces cas ont lieu lorsque la quantité comprise sous le radical est un carre parfait , ce qui exige qu'on ait
(2a» — 26» + cy)* — 80» cy | équation d'où l'on tire
En égalant cette valeur à celle de y du 11° 139 , il vient
1 nominateur 00 — (a ± b) », et, dans le second cas , avec un signe contraire.
143. Soit que l'on suppose b — 0 ou c = x , le mobile ne sera plus soumis qu'à l'attraction du ceutre A. L'équation (c) se réduira à
L'une de ces deux valeurs de A» est celle de /• ; l'autre est évidemment plus grande. Il s'ensuit donc que quand aucun, des deux quantités a et A n'est téro, on peut exprimer le temps sous forme finie en fonction de s, lorsque le mobile a reçu la plus petite vitesse y aveu laquelle il peut atteindre le pointC, et lorsqu'on lui a imprimé une certaine vitesse plus grande que celle-là.
Je substitue la double valeur de y dans l'cxpresi de dt, il vient
La
es
s* dt
C OC — (O ± b) M
formule que l'on rendra rationuelle et qu'on intégrera , sans difficulté, par les règles ordinaires. La diiïcrentieile dt doit toujours être positive ; la différentielle dt est positive pendant que le mobile s'avance de D vers B, et négative lorsqu'il revient vers A. Dans le premier cas , on prendra donc le radical \Zq% — a 1 , avec le même signe que le dc-
ds«
~dT
la valeur de dt qu'on en déduit s'intégrera sous forme fiuie , et fera connaître / eu fonction de a. dt
Si l'on fait — = 0, on aura l'équation
dt
pour déterminer la distance s à laquelle le mobile s'arrêtera. Dans le cas de Sa* = A* a, cette distance sera infinie ; ce qui signifie que le mobile ne s'arrêtera pas. Il en sera de même dans le cas de 3a» < A» », d'où il résulterait pour a une valeur négative qui ne peut appartenir à aucun point de la droite indéfinie DB, suivant laquelle le mobile a été lancé. Dans ces deux cas le mouvement chera de plus en plus de l'uniformité, à que le mobile s'éloignera de A.
Quand la distance s sera devenue très grande et le mouvement sensiblement uniforme , sa vitesse , d'après l'équation (e), sera à peu près égale à
A» — , ou à 1/A« — 2g* , en supposant
qu'on ait a» = oa» , c'est-à-dire, en supposant que le corps soit parti de la surface d'une sphère , d'un rayon <*, et où l'attraction était égale à g. Ce qui montre que lu diminution de la vitesse initiale A sera d'autant plus grande que cette force et ce rayon seront plus considérables.
