DU MOUVEMENT CURVILIGNE

§ I". Formules générales de c$

144. Dans le mouvement curviligne , la courbe décrite par le mobile est ce qu'on appelle la trajec-

toire de ce point matériel. Au bout d'un temps quelconque t, soit M (fig. 37) la position du mobile. Si l'on appelle s l'arc CM de lu trajectoire compris lobile et un point fixe C, pris arbitraire-

ment sur celte même courbe , * sera une fonction «te en sorte que Ton aura , dans un mouvement curviligne quelconque ,

s = ft.

Si Ton désigne, au même instant, par x, y, », les trois coordonnées rectangulaires du mobile, ce» variables seront aussi des fonctions de t, et l'on aura également

Lorsque ces trois dernières équutious seront connues, on en déduira, par l'élimination de t, les deux équutious en x, y, », de la trajectoire. Au moyen des équations de cette courbe , on déterminera ê en fonction de Tune des trois coordonnées, et, par suite , en fonction de t; ce qui fera connaître la loi du mouvement sur la trajectoire. Chacune des trois équations précédentes est celle du mouvement rectiligne do la projection du mobile sur l'un des axes des coordonnées ; il s'ensuit donc que la détermination complète du mouvement curviligne d'un point matériel dans l'espace, se réduira à celle de trois mouvemens rectilignes , qui seront les mouvemens de ses projections sur les trois ases 0*, Oy, Os, des coordonnées. Quand ces trois mouvemens seront uniformes, celui du mobile sera aussi rectiligne et uniforme, et réciproquement.

145. Pendant l'instant dt, le mobile décrira l'élément ds de sa trajectoire ; en négligeant , uans cet intervalle de temps iufinimeul petit , I action des forces qui le sollicitent , on pourra considérer son mouvement comme rectiligne et uniforme. Si donc on appelle v la vitesse acquise au bout du temps t,

r "~ dt

Si ces forces cessaient réellement d'agir à l'instant que l'on considère , le mobile continuerait de se u:ouvoir avec celte vitesse r, et suivant le prolongement HT de l'élément ds, c'est-à-dire, suivant la tangente à la trajectoire, puisque en vertu de I inertie de la matière il ne pourrait alors changer ni la direction de son mouvement ni la grandeur de sa vitesse (n° 113). Ou peut donc considérer un point matériel qui décrit uue ligne courbe quelconque comme étant animé, à chaque instant, d'une vitesse dirigée suivant la tangente a cette courbe, et exprimée par le rapport de son élément différentiel à l'élément du temps.

En représentant , au bout du même temps t, par P , 1\ r > ,e * vitesses des projections du mobile sur les trois axes des x, y, x, on aura aussi, daus ces trois mouvemens rectilignes,

d* dy d»

Hais si l'on désigne par », C, y, les angles que fuit

la tangente a la trajectoire , on la direction de In vitesse r, avec des parallèles aux axes des *, y, s,

on a (n» 17)

ds dy d»

cos « = — , cos C = — , cos y = — ; ds d» d»

d'où l'on conclut

j> = ecos», v — e cos C , r = *cosy, (1) et en même temps

Le temps t croissant continuellement, sa différentielle est toujouis positive. Les vitesses p, q, r, sont positives ou négatives, selon que les coordonnées x, y, s, croissent ou décroissent. Dans les équutions ( 1 ) , on peut regarder la vitesse v comme une quantité positive; le sens de celte vitesse, ou la partie 31T de la tangente a la trajectoire, suivant laquelle elle sera dirigée, se déterminera alors par les signes de p, q, r, qui feront connaître si les angles », C, y, sont aigus ou obtus. Dans l'équation ds

r = — , on considérera la vitesse v comme posidt

live ou comme négative , selon que l'arc a croîtra ou décroîtra.

On appelle composantes de la vitesse v d'un point matériel les vitesses q, r, de ses trois projections sur des axes icctangulaiies ; et chacune de ces trois composantes est ce que l'on entend par la vitesse du mobile, parallèlement à l'axe auquel elle répond. Eu comparant les équations (1) à celles du n" 31 , ou voit que celte composition des vitesses se fera suivant les mêmes lègles que celle des forces. D'après cette analogie , si l'on mène par le point M une droite quelconque MA , qui fasse avec les parallèles aux axes des x, y, s, menées par le même point, des angles a, b, e, aigus ou obtus, la composante de la vitesse v suivant cette droite MA aura pour expression générale

p cos a + q cos A -f r cos c.

La quantité de mouvement (n° 126) d'un point matériel isolé, et celle d'un corps dont tous les points sont animés de vitesses égales et parallèles, se décomposeront en d'autres quantités de cette nature, et celles-ci se léduiront à une seule, suivant les mêmes règles que les vitesses qu'elles ont pour facteur.

140. Au bout du temps t -f- dt, soient p + pi, tj + '/,'"+ r , ce que deviennent les trois composantes de la vitesse du mobile, parallèles aux axes des *, y, x; eu sorte que p', q', r 1 , représentent les augmentations infiniment petites de vitesses qui ont lieu suivant ces directions pendant l'instant dt. L'accroissement de vitesse suivant la droite MA, sera

p' cos a + «/ cos b + H cos c.

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE

Or, quelles que .oient les quantités p', g', r», si Ton fait

et qu'on regarde « comme une quantité positive , on pourra toujours trouver trois angles »', C, y\ aigus ou obtus , tels que I on ait

*r* = «cos«', ^rrUCOsC, r 1 =r MCOïy 1 ;

nu moyen de quoi l'accroissement de vitesse suivant HA, deviendra

■ (cos a cos »' + cos * cos C + cos c cos y').

De plus , la quantité comprise entre les parenthèses est le cosinus d'un certain angle que j'appelle r. L'accroissement dont il s'agit est donc égal à u cos r; par conséquent, u est sa plus grande valeur, et elle répond à la direction de la droite MA, pour laquelle les angles a, b, e, sont les mêmes que •', C', y', ce qui rend le coefficient de u égal à l'unité. Dans toute autre direction , l'accroissement de vitesse sera égal au maximum u, multiplié par le cosinus de l'angle r que fait cette direction quelconque avec celle du maximum; d'où il résulte qu'il sera nul par rapport à toutes les directions perpendiculaires à celles de sa plus grande valeur.

Quelle que soit la variation de vitesse du mobile, en grandeur et en direction, pendant l'instant dt, il y a donc toujours une certaine direction pour laquelle l'augmentation de vitesse est la plus grande, et qui jouit de cette propriété, que , suivant toutes les directions perpendiculaires à celle-là, la vitesse n'est ni augmentée ni diminuée.

147. La direction d'une force qui agit sur un point matériel en mouvement, est la droite suivant laquelle elle augmente ou diminue la vitesse acquise, et perpendiculairement à laquelle elle n'y produit aucune altération. Ainsi , quand nous disons que la pesanteur d un corps en mouvement dans un sens quelconque est verticale , comme celle d'un corps en repos , nous entendons par là que cette force augmente la vitesse verticale , et n'altère ancunement la vitesse horizontale.

Cela étant , désignons , au bout du temps t, par U, F, F', etc. , les intensités des différentes forces qui agissent sur le point matériel dont nous considérons le mouvement curviligne ; par a, b, e, a', V, c', a", b", e", etc. , les angles que font leurs directions données avec des parallèles aux axes des *, y, %; et par X, T, Z, les sommes de leurs composantes suivant ces aies; nous aurons d'abord fn» 32)

X = U cos a + F cos a» + U" cos o" + etc. , T = U cos I + F cos V + U" cos 4" + etc. , Z = U cos c + F cos c' + F' cos e" + etc.

Soient ensuite u, u',u", etc., les vitesses infiniment petites que ces forces U, F, U", etc., produiraient, pendant l'instant dt, suivant leurs directions respectives , si chacune d'elles ogissait seule sur le

mobile animé de la vitesse v. On verra , comme dans le n° 110, que la simultanéité de ces forces n'influera nullement sur les grandeurs et les directions des vitesses qui seront réellement produites ; par conséquent , si l'on continue d'appeler p', q 1 , r' , les quantités infiniment petites dont les vitesses p, q, r, des projections du mobile sur les ases des s, y, s, s'accroîtront dans l'instant dt, ces quantités seront les sommes des composantes de u, u', si", etc. , suivant ces trois axes; en sorte que nous aurons

j/ = m cos a -{- u' cos a' -f- u'' cos a" + «le. , o* ss u cos b -j- u' cos 6' + u ' cos + otc. » r 1 — u cos c -f- «' cos c 1 + u" cos c" + etc.

Mais en appliquant à chacune des forces u, u", etc. , ce qu'on a trouvé 1 18) pour ln mesure d'une force d'après la vitesse dont elle est capable, on a aussi

u = Vdt, tr* = F<*7 , u" = U"oV, etc;

en comparant les valeurs de p', q 1 , r 1 , à celles de X, T, Z, il en résulte donc

{Vas U», y» = YoV, r i = Ut i

ce qui montre que l'accroissement de la composante de la vitesse du mobile suivant chaque axe, dans l'instant dt, est la vitesse produite, pendant cet instant, par la composante totale suivant ce même axe , des forces données qui agissent sur ce point matériel.

Ce résultat tient à ce que les forces sont proportionnelles aux vitesses qu'elles impriment au mobile dans un même temps infiniment petit , lesquelles vitesses infiniment petites ne changent pas, soit que ces forces agissent isolément, soit que leurs actions aient lieu simultanément. Il s'ensuit aussi que si les forces appliquées au mobile sont, par exemple , au nombre de trois , non comprises dans un même plan; que l'on prenne sur les directions de ces trois forces U, U', U", à partir de leur point d'application , des droites de grandeurs finies qui soient entre elles comme les vitesses correspondantes v, u', u"; et que l'on achève le parallélépipède dont ces trois droites seront les côtés adjacens , U résultante de ces forces sera dirigée suivant la diagonale, et sa grandeur sera à celle de ohocune de ces forces comme la diagonale est au côté correspondant.

148. Si les forces qui agissent sur le mobile sont indépendantes de sa vitesse et de sa position dans l'espace , les mouvemens de ses trois projections sur les axes des coordonnées seront indépendans entre eux ; en sorte que sa projection sur chaque axe se trouvera , au bout d'un temps quelconque , au même point , et aura la mémo vitesse que si les forces et les vitesses étaient nulles paroilèlement aux deux autres axes. Il n'en sera plus de mémo, en général, quand les forces données va-

fieront , en grandeur ou en direction, soit avec la position du mobile, soit avec sa vitesse acquise; mais on pourra toujours déterminer sa vitesse et su position, ù chaque instant, de la manière suivante.

Puisque toutes les forces qui agissent sur le mobile peuvent toujours être réduites ù une seule , supposons que U, capable de la vitesse tt, soit cette force unique , et désignons par • l'espace qu'elle fera parcourir au mobile pendant l'instant dt, suivaut sa direction , indépendamment de lu vitesse t> de co point matériel nu bout du temps /. D'après ce qu'on a vu dans le n° 114, nous aurons

• = \/2udt.

Mais, en vertu de cette vitesse acquise v et de l'action de la force U ou de sis composantes, les espaces parcourus par les projections du mobile sur les axes des x, y, t, pendant l'instant dt, seront

pdt + \/2p'dt , ydt + Ifrq'dt , rdt + lf&dt ; donc , à cause de

ff = u cos a , </ — u cos i , r> = u cos c,

et en ayant égard aui équations (I) et ù la valeur de i , on aura

x' — x = » cos « + t cos a , y* — y = • cos C -J- « cos h , s' — s = « cos y + t cos c ;

« étant l'espace tdt qui serait décrit par le mobile dans l'instant dt, en vertu seulement de la vitesse v, et *', y', %', ses trois coordonnées au bout du temps t + dt, qui étaient x, y, xt, au bout du temps t.

Cela posé , soient toujours M (fig. 37), le point de lu trajectoire dont x , y, a, sont les trois coordonnées , et MT la direction do la vitesse v. Soit aussi MA celle de la force U. Prenons sur MA et MT des droites M H et MK , égales à i et », et achevons le parallélogramme MHM'K, dont ces droites sont les deux côtés adjacens. L'extrémité M' de sa diagonale sera , en vertu des équations précédentes, le point dont les coordonnées sont x', y', s', ou la position du mobile au bout du temps t -\- dt.

Appelons v' la vitesse du mobile au point M r , laquelle vitesse sera dirigée suivant le prolongement HT do la droite MM', et aura pour valeur la composante de v suivant MM', augmentée de la vitesse produite suivant cette direction par l'action de la force U pendant l'instant dt. L'espace t étant infiniment petit par rapporta », il s'ensuit que l'anylc TMM' est aussi infiniment petit; la composante de c est donc cette vitesse même, en négligeant les infiniment petits du second ordre. Do plus , si l'on désigne par t l'angle AMM' que fait la direction de la force U avec le coté MM' de la tra-

MÉCASIQUE.

jectoirc, on aura u cos t pour l'augmentation de

vitesse qui sera produite par l'action de cette force; il en résultera donc

ft = v + m cos t.

Je fais xt <// = «', et je prends sur M'T' une partie M'K' égale h «.'; je désigne par M'A' la direction de la force qui agit sur le mobile quand il est parvenu eu M'; sur cette droite, je prends une partie M'Il' , égale à l'espace que celte force peut faire parcourir au mobile dans un instant dt} j'achève le parallélogramme M U'M' k'; et l'extrémité M" de la diagonale sera un troisième point de la trajectoire.

En commençant cette suite de constructions au point de départ du mobile . où l'on doit connaître sa vitesse en grandeur et en direction , il est évident que l'on déterminera successivement tous les points de sa trajectoire plane ou À double courbure, et , en même temps , la vitesse dont il sera animé en chacun de ces points. Si les intervalles de temps , qu'où a supposés infiniment petits et désignés par dt, sont seulement très petits , on obtiendra une suite de points qui seront les sommets d'un polygone, d'autant moins différent de la trajectoire, que ses côtés seront plus petits. En regardant la vitesse comme constante sur chaque côté , et prenant pour sa valeur la demi-somme des vitesses qu'on aura trouvées aux deux extrémités , on pourra calculer le temps employé à parcourir une portion quelconque du polygono ; par conséquent , on connaîtra de cette manière la courba décrite par le mobile , ainsi que sa vitesse et sa position à un instant donné sur cette courbe, à tel degré d'approximation qu'on voudra ; mais il vaut mieux faire dépendre les valeurs des coordonnées du mobile en fonctions du temps , d'équations différentielles que l'on intégrera ensuite s'il est possible.

149. Ces équations différentielles du mouvement curviligne sont une suite immédiate du principe établi dans le n° 147.

En effet , les composantes de la vitesse du mobile, parallèles aux axes de ses coordonnées x, y, s t dx dy dz

étant —, —, —, au bout du temps quelconque t, dt dt dt

leurs accroisscmcns , pendant l'iustant dt, seront

dx dy dx d. — , d. — , d. — ; et comme chacun d'eux est

dt dt dt

dû uniquement à la composante suivant l'axe correspondant , de la force qui agit à cet instant sur le mobile, il s'ensuit qu'en appelant toujours X, Y,Z, les composantes de cette force , parallèles aux axes des coordonnées x, y, s, nous aurons

dx dy di

d. — ~\dt } d. — = \dt , d — — Idt, dt dt dt

DYNAMIQUE , PREMIERE PARTIE

uu, ce qui est la

Le problème consistera, dans chaque cas, à introis équations du mouvement ; et Pou peut considérer, pour cette intégration, le procédé du n° précédent comme une méthode générale d'approximation. Leurs intégrales contiendront six constantes arbitraires, que l'on déterminera au moyen des trois coordonnées du mobile à [Origine du mouvement, et des trois composantes de lu vitesse initiale, c'est-à-dire, au moyen des valeurs

dx dy dz

des six quantités x, y, », — ; — , —, qui seront

dt dt dt

données pour t = 0. Ces intégrales et leurs différentielles premières feront ensuite connaître la position du mobile à un instant quelconque , et sa vitesse en grandeur et en direction. En éliminant entre elles le temps t, on aura les deux équations de la trajectoire. Quand on saura d'avance que cette courbe est plane, ou pourra prendre sou plan pour celui des x et y, par exemple ; ce qui réduira les trois équations précédentes aux deux premières.

150. Au bout du temps t, soient a, b , c, les trois coordonnées d'uu second point matériel , à la

Les axes de ces coordonnées étant ceux des x, y t a, je fais

les variables s?, y 1 , sf, feront connaître à chaque instant la position du premier point par rapport au second; et d'après les équations (8), on aura

dt* X dt*' dt* Y d/»'

dt*

Quand le mouvement du second point ne sera pas connu , mais que l'on donnera seulement les composantes A, B, C, parallèles aux axes des coor-

a des points déterminés de cette surface : les forces relatives à ces points et provenant du mouvement diurne de la terre, n'entrent pas dans les équations des divers mouvemens que l'on considèro à sa superficie ; et l'on en fait complètement abstraction , en formant ces équations.

Toutefois , cela ne veut pas dire que les mouvemens que nous observons soient tous indépendans de la vitesse de rotation de la terre. Elle influe pour une petite partie sur l'intensité do la pesanteur, et, conséqueniment, sur les mouve-

dt* ' JF-* 1 mr- c>

et il en résultera

pour les équations du mouvement relatif du premier point.

Si la force dont A, B, C, sont les composantes agita la fois sur les deux mobiles, ces composantes entreront aussi dans les valeurs de X, Y, Z, et disparaîtront de ces dernières équations. C'est ce qui arrivera , par exemple , à l'égard des corps qui se meurent ù la surface de la terre, et dont ou |

verticaux. De plus , quand un corps tombe d'une hauteur considérable, la vitesse de rotation dont il est animé & son point de départ est un peu plus grande que celle qui ■ lieu au pied de la verticale menée par ce point ; d'où il est aisé do couclure que le mobile doit s'écarter on peu de cette droite, et venir rencontrer la terre à une petite distance de son extrémité inférieure. Cette déviation, quia été effectivement observéo, rend sensible, par une expérience directe, le mouvement de la terre autour de son axe.

Les mouvemens indépendans de cette rotation sont ceux que produit le choc des corps , et aussi ceux qui sont dus à l'action musculaire des hommes et des animaux.

151. Les équations (3) sont celles du mouvement d'un point matériel entièrement libre; mais il est facile de les étendre à un point matériel assujetti h se mouvoir sur une surface donnée. Il suffira pour cela , comme dans le cas de l'équilibre (n° 36) do joindre aux forces données qui agissent sur le mobile, uue force de grandeur iuconnue, qui représentera la résistance de la surface. Cette force sera normale ù la surface donnée; je la représenterai par N, et par a, /*, r, les angles qu'elle fait avec les prolongcmens des coordonnées x, y, z, du :

les équations du mouvement seront alors

— = X + N cos a ,

d' y dt> d* z

— = l + N cos , ,

= Y + N cos fx ,

En représentant par L = 0 l'équation do la surface

ou aura (n» 21) , eu même temps ,

dL dL dL

COSA = V— , cos^=V— cos » = V — .

ds dy dz

Après avoir substitué ces valeurs dans les équations (3), ou éliminera entre elles le produit NV ;

les deux équation* qui en résulteront, jointes» L =0, sertiront à déterminer *, y, x, en fonctions de t. Ou tire» ensuite de Tune des équations (3) , ou d'une combinaiion quelconque de ces équations, la valeur de NV; et comme N doit toujours être une quantité positive, le signe de cette «leur fera connaître celui de V ; au moyen de quoi la force normale PI et le sens dans lequel elle agit , seront complètement déterminés.

Si le mobile est assujetti * se mouvoir sur deux surfaces données , ou sur leur conrbe d'intersection, ou le considérera encore comme entièrement libre, après avoir joint aux forces données deux forces inconnues N et N', normales à ces surfaces ; et en désignant par x, /u, r, les angles qui détermineront les directions de la première par rapport aux axes des x, y, s, et par x', r 1 , les angle» qui répondront à la seconde, il en résultera

dt' d' y di»

dfi

X + H co» x + N' cos x' , Y + N co» a + H' cos , } {*) : l + N oos » + H» coa r»

pour les équations du mouvement. Si L=0 est l'équation de la surface dont N est la résistance , et qu'on représente par L' =0 celle de la surface a laquelle N' correspond, les valeurs de cos x, cos /*, cos », seront les mêmes que précédemment, et celles de cos x', cos pf t cos i\ s'eu déduiront par le changement de V et L en V 1 et L'. Après avoir substitué les unes et les autres dans les équations (4), on éliminera les produits NV et N'V. L'équation qui en résultera, et les équations données 1 = 0 et L' = 0, serviront à déterminer les valeurs de x, y, », en fonctions de t. Cela fait, on tirera de deux des équations (4), les valeurs de NV etN'V, dont les signes seront ceux de V et V; et, de cette manière , on connaîtra les forces normales N et N', et le sens dans lequel elles agissent : leur résultante sera, en grandeur et en direction, la résistance de la courbe sur laquelle le mobile est astreint a se mouvoir.

162. Pour donner une forme plus simple aux équations (4) , soient m la masse du mobile et mP la pression qu'il exercera, dans son état de mouvement, sur la courbe qu'il est forcé de décrire. Désignons par « , «», les angles que fait la direction de celte force avec les prolongemens, dans le sens positif, des coordonnées a?, y, s, de ce point; la résistance que la courbe oppose au mouvement du mobile , considérée comme une force accélératrice , sera égale et contraire à P ; en la joignant aux force» données X, Y, I, qui agissent sur le mobile, nous aurons, au lieu des équations (4),

di> *y dt* dj x

X — P cos « , !

= Y — P cos «' , > Z — P cos J

La direction do la force P n'est pas connue d priori : on sait seulement qu'elle est normale à la courbe donnée ; d'où il résulte que le cosinus de l'angle compris entre celle direction et la tangente à la trajectoire doit être égal à séro; ce qui donno

dx dy dx

cos«+-cosV + -cos«":

d, dx d,

Les angles • , V, seront, en outre, liés entre eux par l'équation ordinaire

cos* « + cos» <J + cos» «" = 1.

On éliminera P,«, «r*,*", entre ces équations, en ajoutant les équations (5), après les avoir muldx dy dz

tipliées par —,—,—; en ayant égard à l'équation

ds dx dx (6) , et en faisant , pour abréger ,

ds dy dx

on a alors

dxd> x + dyd» y + dsd» » t

En différentiant l'équation identique

fa* + dy» + dx* dx*

diT— -3T»

et divisant par 2d#, on voit que le premier membre de l'équation précédente est la même chose que

__ ; on aura donc de

d*j dt*

La force • est la somme des composantes des

forces données, suivant la tangente à la trajectoire, lesquelles composantes seront regardées comme positives ou comme négatives, selon qu'elles tendront à augmenter ou à diminuer l'arc x décrit par le mobile. L'équation (7) signifie donc que dans le mouvement curviligne, comme dans le mouvement rectiligne, la force qui agit sur le mobile dans le sens de son mouvement est égale au second coefficient différentiel de l'espace parcouru : à cause

de t>=— , on peut aussi dire qu'elle est égale au

premier coefficient différentiel de la vitesse acquise r.

Cette équatiou étant indépendante de la résistance de la courbe, convicut aussi an mouvement d'un point matériel entièrement libre et a celui d'un point matériel assujetti à demeurer sur une surface courbe ; mais c'est principalement dans le cas d'un point matériel qui se meut sur une courbe donnée, que cette équation pourra être utile. On tirera des équations de cette courbe les valeurs de S, y, s, en fonctions de *; et après les avoir substituées dans l'équation (7) , il ne restera plus qu'à intégrer cette équatiou du second ordre entre s et t. Les deux constantes arbitraires que renfermera son intégrale se détermineront au moyen des vads

leurs de s et — qui répondent à t=0, c'est-à-dire, dt

au moyen Je la position et de la vitesse initiales du mobile. Quand les trois coordonnées s, y, x, auront été déterminées en fonctions de t, d'après l'intégrale de l'équation (7), jointe aux deux équations données de la trajectoire, les équations (5) feront connaître, à un instant quelconque, les trois composantes de la pression P qu'éprouvera la courbe sur laquelle le mobile est oblige de se mouvoir. On trouvera, dans le chapitre suivant, une détermination plus simple de cette force en grandeur et en direction.

§ H. Conséquences principales des formulés

a^BsssI m À t/rn m s* m m

153. Lorsque le mobile est sollicité par une force dirigée vers un centre fixe, on obtient immédiatement trois intégrales premières des equalions (2).

Pour cela, plaçons l'origine des coordonnées s, y, s, en ce point; représentons, en grandeur et en direction , la force qui sollicite le mobile , par son rayon vecteur; et construisons le parallélépipède dont ce rayon est la diagonale, et qui a ses trois cotés adjacens sur les axes des m, y, s. Les trois coordonnées x, y , m, du mobile seront les grandeurs de ces trois côtés, et représenteront le* trois composantes de la force donnée; en sorte

d'oul'on tiro

Xy s= Y* , Ix = Xm , Ys = Zy.

D'un autre côté , les équations (2) peuvent être remplacées par celle-ci :

y<h x — xd* y = fXy - Yx) dO , l xd» s — *d» * sa CLx — Xx) dt* , > (o) gjt y yd> a as (Y a — Zy) dt*. S

Or, leurs seconds membres sont nuls en vertu des équations précédentes; et comme leurs premiers

membres sont les différentielles de ydx—rdy, xdx—xdx, sdy — ydx, on aura, en intégrant,

ydx — xdy = cdt , \

xdx — xdx = c'dt, [ b

sdy — ydx = c"aV; '

c, c', o", étant des constantes arbitraires.

154. Pour énoncer le théorème contenu dans ce» intégrales premières des équations du mouvement, considérons la projection AMB li u . 38) de la trajectoire du mobile sur le plan des coordonnées x et y, dont les axes sont Ox et Oy. Au bout du temps t, soient M la projection du mobile, OP et MPson abscisse x et son ordonnée y; et C étant le point où cette courbe coupe l'axe Oy, appelons u le secteur COM , p l'aire COPM , q te triangle OPM ; nous

Si M' est la projection du mobile au bout du temps I -f- dt, MO M ' sera l'aire décrite par le rayon vecteur de cette projection pendant l'instant dt; ce sera aussi la différentielle de u ou de p— q; et à cause de

dp = ydx , dq — \/2xdy + l/2yd*,

on aura

du = 1/2 (ydx — xdy);

par conséquent , la première équation (4) signifie que l'aire décrite pendant chaque instant dt par le rayon vecteur de la projection M du mobile est constante et égale à 1/2 cdt; donc aussi l'aire décrite pendant un temps t quelconque , est proportionnelle à cette variable et égale à 1/2 cf. Les aires décrites dans ce même temps par les rayons vecteurs des projections du mobile sur les plans des * et s, et des y et s, seront de même égales à 1/2 e't et 1/2 e"t.

Concluons donc que quand un point matériel est

centre fixe , les aires décrites autour de ce point par le rayon vecteur de sa projection sur un plan quelconque passant par ce même point, sont proportionnelles au temps employé à les décrire.

Réciproquement , lorsque cette propriété a lieu par rapport à trois plans rectangulaires menés par le centre des aires , on en peut conclure que la force ou la résultante des forces qui sollicitent le mobile est constamment dirigée vers ce centre fixe.

En effet, si les équations (6) sont données, on aura , en les differentiant,

yd»x— xd»y=0, xd's— td*x- 0. sd'y— yd»s=0;

en vertu des équations (a), qui sont celles d'un mouvement quelconque , on aura donc aussi

Xy = Yx, tx •=. Xt , Ya = Zy ;

par conséquent, les forces X, Y, Z, seront entre elles comme les coordonnées x, y, s , du mobile ;

rtd

ce qai suffit pour que leur résultante soit constamment dirigée vers l'origine des coordonnées. An reste, cette force peut être attractive ou répulsive , c'est-à-dire qu'elle peut ogir suivant le rayon vecteur du mobile, ou suivant son prolongement.

155. Lorsqu'un point matériel est soumis a une force dirigée vers un centre fixe , il est évident que sa trajectoire est une courbe plane, puisqu'il n'y aurait aucune raison pour qu'il sortit , plutôt d'un côté que de l'autre , du plan passant par la direction de sa vitesse initiale et par le centre fiie. C'est aussi ce que l'on déduit des équations (4) ; car en les ajoutant , après les avoir multipliées par a, y, x, et divisée par dt, il vient

On peut prendre ce plan pour celui des * et y ; l'aire décrite par le rayou vecteur même du mobile, dans le plan de sa trajectoire , sera donc proportionnelle au temps ; et , de plus , le théorème précédent se réduira n cette proportionnalité. En cfTet , si elle a lieu pour l'aire décrite sur le plan de la trajectoire, elle aura lieu également pour l'aire décrite par le rayon vecteur de la projection du mobile sur tout autre plan ; car cette autre aire n'est autre chose que la projection de la première sur ce plan ; et nous savons (n u 10) que la projection d'une aire plane a un rapport constant avec l'aire projetée.

156. L'aire infiniment petite 9031' peut aussi s'exprimer en coordonnées polaires. Pour cela , désignons par r le rayon vecteur OM , et par i l'angle MOx qu'il fait avec l'axe des Décrivons du point 0, comme centre, l'arc de cercle qui coupe au point N le rayon vecteur OB', correspondant à l'angle • — di , et qui aura pour longueur rdi. Le secteur circulaire MON sera égal à 1/2 r* di , et pourra être pris pour l'aire MOU', en négligeant l'aire MNM ', infiniment petite du second ordre. On devra donc avoir

ydx — xdy = r* di j

équation que l'on vérifie effectivement au moyen des valeurs

* = r cos « , y = r sin i ,

et de leurs différentielles, qui sont

ds : — eus 0 dr-\- r sini di, dy = sin t dr — r cos S dt,

a cause que celle de l'angle i est ici — di. De cette manière, la première équation (4) prendra la forme

r» di = cdl ,

sous laquelloon l'emploie ordinairement.

On exprime de mémo en coordonnées polaires l'élément de la courbe. En désignant Turc CM par <r et cet éléiueut par du , on auru ù la fois

MM' = uV, MN — rdi, Pi M' = dr ,

en considérant MNB ' comme un tria

rectangle en N , on en conclura doue

dt* = dr* -{- r* di* ;

ce qu'on peut aussi déduire de la formule d<r* = dx* -J- dy* ,

au moyen des valeurs précédeutes de dx et dy.

A cette occasion, nous ferons remarquer que, dans une trajectoire plane , les composantes de la vitesse du mobile suivant le prolongement 110' de son rayon vecteur MO , et suivant la perpendiculaire à ce rayon , sont exprimées par

dr rdi

dt dt

car l'angle O'MT que fait oe prolongement avec la tangente HT est complément de l'angle S du triangle M'MN ; d'après ce triangle, on a donc

dr rdi cos O'MT = — , sin O'MT = — ;

de d<r

et en multipliant ce cosinus et ce sinus par la vi-

tesse — , dirigée suivant MT, on oura les compost

santés dont il s'agit. 11 est souvent utile d'en faire

dx dy

usage. Elles diffèrent des composantes — et — do

dt dt

la même vitesse eu ce que les directions de cellesci sont fixes , et que celles des précédeutes varient avec la position du mobile.

La vitesse — , avec luquclle le ravon vecteur OM dt

décrit l'angle COM compté à partir d'une droite fixe, est ce qu'on appelle la vitesse angulaire du mobile. Elle se déduit , comme on voit , de sa virdi

tesse — , perpendiculaire à OM , en la divisant par dt

la longueur de ce ruyon.