Revenons renticlles du mouvement

Ajoutons les équations (5) du n u 152 . après les avoir multipliées par ds , dy , dz; en ayant égard à l'équation (0) du même numéro , et observant que

dxd* *+ ày* y+d>d* s 1 J *" I — —— d. = — d v* ,

dtt 2 dt* 2

il en résultera

l/2d.r» = Xd* + Ydy + Ids. (c)

Supposons que les expressions des forces données X, Y, Z, ne renferment explicitement ni le temps i , ni la vitesse r , et qu'eu considérant x , y, i, comme des variables indépendantes , cette formule (c) soit une différentielle exacte ; faisous , eu couséqueuce ,

Xds + Ydy + Idi = d.S (* ,.f , *} j

aux équations diffé-

DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE

F indiquant une fonction donnée : en intégrant Té quation (c) et désignant par C la constante arbitraire , nous aurons

Pour éliminer cette constante, soient a, b, c, k, les valeurs initiales de s, y , z , v; on aura

et, en retranchant cette équation de la précédente,

tfl m A» + 2F (r, y, m) - 2F (a, b, c). (d)

Ce résultat étant indépendant de la résistance If de la courbe, égale et contraire à la force P qui entrait dans les équations dont on l'a déduit , il s'ensuit qu'il a également lieu dans le mouvement d'un point matériel entièrement libre, et dans le mouvement sur une surface ou sur une courbe donnée.

La conséquence immédiato de cette équation (d), c'est que la vitesse est constante et le mouvement uniforme toutes les fois que le mobile n'est sollicité par aucune force donnée ; car alors la fonction F est nulle, et l'on a v = k, soit que le mouvemeut ait lieu sur une surface ou sur une courbe donnée , ou que le mobile soit entièrement libre.

Cette équation nous montre , de plus , que dans la supposition qu'on a faite sur la nature des forces X , Y , Z , l'accroissement du carré do la vitesse du mobile , en passant d'une position à une autre , est toujours le même , quelle que soit la courbe qu'il a décrite , et ne dépend que des coordonnées a, b, c, s t y, s , des deux points extrêmes. Lorsque cette courbe sera donnée, ou seulement lorsque le mobile sera assujetti à se mouvoir sur une surface donnée , on prendra pour A la vitesse du mobile tangente à cette courbe ou à cette surface. Si la percussion exercée sur le mobile à l'origine de son mouvement n'a pas cette direction , elle se décomposera en deux autres forces , l'une normale et l'autre Ungentielle ; la première sera détruite par la résistance de la courbe ou de la surface dounée ; et c'est la seconde qui produira la vitesse A, et qui en déterminera le sens de la direction.

Si l'on désigne par C nne constante arbitraire , l'équation

sera celle d'une surface qui sera atteinte avec des égales par tons les mobiles soumis aux i forces, partis du point dont a,b,c, sont les coordonnées, suivant différentes directions et avec une même vitesse k. Lorsquo , par exemple , res mobiles ne sont sollicités que par la pesanteur, cette équation est celle d'un plan horiiontal.

Dans le eus d'une courbe donnée , on déduira de ses équations les valeurs de s, y , % , c

de l'arc *; en les substituant , dans l'équation (d) , ds

et y mettant — à la place de r, on en tirera dt

dt = Sds ,

où S est une fonction donnée de * : par conséquent dans ce cas, la détermination du temps en fonction de l'espace parcouru se trouvera réduite a l'intégration d'une dilTércnl iellc donnée. Mais la supposition sur laquelle est fondée l'équation (d) , et , conséquemment, cette équation , n'auront pas lieu quand le mobile éprouvera la résistance d'un milieu, qui est une force dépendante de la vitesse; il en sera de même lorsqu'il s'agira du mouvement d'un point matériel attiré ou repoussé par d'autres points qui seront eux-mêmes en mouvement; circonstance qui introduira le temps t explicitement dans les valeurs de X, Y, Z. Dans ces deux cas, si la trajectoire est une courbe donnée, on fora usage de

ds

l'équation (c) , dans laquelle on mettra — au lieu

dt

de e , et qui se changera dans l'équation (7} du n»162. W

1«. La formule Xdx + Ydy + Zdz sera une différentielle exacte, connue on vient de le supposer , toutes les fois que le mobile sera attiré on repoussé par des centres fixes, et que les intensités de ces forces seront exprimées par des fonctions de la distance aux centres dont elles émanent.

En cfTet, soient e, f, g, les trois coordonnées d'un des centres fixes , rapportées aux mêmes axes que *> y, Désignons par r la distance du mobile à ce point ; on aura

et les cosinus des angles que cette droite r fait avec des axes menés par le mobile, suivant les directions des t, y, s, positives, seront les rapports de * — *» f—y, 3 ~ à r. Si donc on représente par R la force attractive, dirigée du mobile vers ce centre fixe , ses trois cou pressions

et conséquemment, la partie de Xdx-f Ydy+Zd; qui proviendra de R , sera

- [(• - X)dx + (/-y ) dy + (g ,) *J.

Mais en difTércnliant la valeur do r> , on a

«V = (e ,) ds - (f- y ) dy - (y ,) d z ;

ce qui réduit à — RoV la quantité précédente. Si la force qui émane du centre fixe était répulsive, il suffirait do changer le signe de cette quantité ,

qui détiendrait RoV, en considérant, dans tous les cas, R comme une quantité positive.

On conclut de là qne si le mobile est sollicité par un nombre quelconque de forces R, R', R", etc., qui émanent de centres fiscs, dont les distances à ce point matériel sont r , r', r", etc., on aura

Xdx + Ydy+kls = * Rdr + R'oVIf R"dr":f etc.;

les signes supérieurs ayant lieu dans le cas des attractions, et les signes inférieurs dans le cas des répulsions. Or, en supposant que chacune «le ces forces soit une fonction donnée de la distance correspondante , tous les termes de cette valeur de \ds -\- ï dy + tds seront des différentielles dépendantes d'une seule variable, et, par conséquent, cette formule sera une différentielle exacte: ce qu'il s'agissait de prouver.

On voit aussi par li , et d'après l'équation (d) , que l'accroissement du carré de la vitesse provenant de chacune des forces R , R', R", etc., sera le même que si elle existait seule : à l'égard de la force R, par exemple, cet accroissement sera exprimé par ^p2/ RaV, en prenant l'intégrale de manière qu'elle s'évanouisse pour la valeur initiale de r.

169. Dans le cas d'un point matériel pesant qui se meut , sur une courbe donnée, dans le vide et sans frottement sur cette courbe, l'équation (d) se réduira à

en désignant par g la gravité , et prenant l'axe des s positives vertical et dans le sens de cette force , do sorte qu'on ait

Soient ADRC (fig. 39) la courbe donnée, B son point leplusbss, A son point le plus élevé, qui peut n'être pas dans la même verticale que B, et D le point de départ du mobile. Plaçons en ce dernier point l'origine des s , et supposons que la vitesse initiale k soit due à une hauteur h; nous aurons

c = 0, A" = Zyh,

et , par conséquent,

11 en résultera que quand le mobile arrivera au point B, la vitesse maxima sera la même que s'il fût tombé de la hauteur h, augmentée de celle du point D au-dessus du plan horixontal mené par le point B. En vertu de cette vitesse acquise, le mobile s'élèvera le long de BCA ; sa vitesse diminuera continuellement ; et si l'on a A=0, elle sera nulle ou point C situé dans le même plan horizontal que 1). Parvenu au point C, le mobile redescendra le long de CB; et il oscillera ainsi indéfiniment de D vers C, et de C vers D. Lorsque la constante h ne sera pas nulle, le mobile s'élèvera au-dessus du

point C. Si l'élévation du point A au-dessus du plan horixontal qui comprend D et C, est moindre que h , le mobile n'atteindra pas le point A ; il s'arrêtera en uu certain point C; et si l'on mène par C un plan horizontal qui coupe la courbe en un autre point D', le mobile oscillera indéfiniment de C vers D', et de D' vers C. Les oscillations seront toutes isochrone* ou d'égale durée. Cela est évident à l'égard de celles qui auront lieu dans le même sens; et l'on voit aussi que la durée de chaque oscillation de C vers 11' sera U même que celle d'une oscillation de D' vers C, en observant qu'un élément quelconque de la courbe sera parcouru avec la même vitesse dans les deux cas. Cette durée commune de toutes les oscillations entière* dépendra de la forme de U courbe et de la grandeur de h.

Lorsque l'élévation de A au-dessus du plan horixontal passant par le point de départ sera égale à h, le mobile approchera indéfiniment du point A, mais ne l'atteindra qu'après un temps infini. Quand cette élévation sera plus grande que h, le roohile dépassera le point A, et parcourra la circonférence entière de la courbe donnée. Revenu au point D , sa vitesse sera la même qu'à l'origine du mouvement ; d'où l'on conclut qu'il fera une suite indéfinie de révolutions , qui auront toutes une égale durée . dépendante de la forme de la courbe et de la grandeur de h.

Si la courbe donnée est d'abord comprise dans un plan vertical, tangent à un cylindre à base quelconque, et qu'on enveloppe ce plan sur le cylindre, de sorte que la courbe donnée devienne une ligue à double courbure, le mouvement oscillatoire ou révolutif du mobile ne changera nullement, en supposant, toutefois, que son point de départ et sa vitssse initiale restent les mêmes; car alors la valeur de t en fonctions de déterminée comme il a été dit précédemment (n° 187), ne dépendra que de celle de s en fonction de qui ne changera pas , quelle que soit la base du cylindre vertical sur lequel la courbe donnée sera tracée.

160. Dans tous les cas où l'équation (d) a lien, et où le mobile n'est pas astreint à se mouvoir sur une courbe donnée, celle qu'il décrit pour aller d'un point donné que j'appellerai A, à un autre point donné que je nommerai B, jouit d'une propriété remarquable. Si le mobile est entièrement libre, l'intégrale fvdu, prise depuis le point A jusqu'au point B , est plus petite que suivant tonte autre courbe aboutissant à ces deux points; s'il est assujetti à se mouvoir sur une surface donnée, cette propriété de la trajectoire n'a plus lieu que relativement à toutes les courbes tracées sur cette surface, et qui aboutissent toujours aux points A et B. Dans ces deux cas, ds est l'élément différeuticl d'une courbe quelconque, qui répond aux coordonnées x, y, z, et e une fonctiou de ces trois variables et d'une constante *, donnée par l'équation (d).

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PÀRTIB.

La démonstration de ce théorème revient à prou- Ter qu'en vertu des équation* du mouvement, la variation de fvdt est nulle, en supposant fixes les limites de cette intégrale : alors elle sera un minimum ou un maximum; et ce sera toujours le minimum qui aura lieu quand le mobile sera entièrement libre; car il est évident que l'intégrale/»*» pourra croître indéfiniment avec la longueur de la trajectoire, et ne sera pas susceptible de

Or, par les réglea les plus simples du calcul des

t.f«lt=Jï.vdt, t.vdt = tvds + vtds.

D'ailleurs dt étant l'élément du temps, on a dt= edi; donc

trdt — \f2dtt.t*.

Si Ton différence l'équation ( d] et que l*on remplace les différentielles dx, dy,dt, par les variation.^^ ts, on

En ayant égard aux valeurs de cos k , cos p , ces t , et

les équations (3) du n° 151 donnent

d'jr d'y ^ s

dt* dt* dt*

Le terme HVXL n'entrerait pas dans celle équation, si le mobile était entièrement libre; quand il est assujetti à se mouvoir sur la surface dont l'équation estL=0, ce terme est nul; car toutes les courbes que l'on compare à la trajectoire du mobile devant aussi être tracées sur cette surface, on • tL = 0 ; donc on doit tous les cas ; et il en résulte

Quant au second terme vtdt de la *yds, nous avons

dt* = <**» + dy* + dt' ,

et, par conséquent,

dx dy dt

tds— — tdx-\ tdy + — ldt,

d» dt d»

donc, à cause dtdt=.vdt, et en intervertissant, dans le second membre, l'ordre des tiques d et J, nous aurons

dx du dt

rtdt = —dlx + -dly + -dtt.

dt dt dt

En réunissant ces deux parties de la valeur t.rdt, il vient

d'où l'on conclut

dx dy dt

* '** = 7t ** + 7 * + ~ *■ + conïtan ' e

dt dt dt

pour l'intégrale indéfinie de J. rdt. Mais les deux points extrêmes A et R étant supposés Tues, les variations Ix, ty t lt, qui s'y rapportent , devront être nulles; par conséquent, l'intégrale définie ft.vdt, prise depuis le point A jusqu'au point R, l tt quelle est égale à la variation l.Jtdt, se réduira à léro; ce qu'il s'ngissait de démontrer.

161. Quand le mobile, assujetti à se mouvoir sur une surface courbe, n'est sollicité par aucune force donnée, sa vitesse est constante (n« 187); l'intégrale fvdt est donc le produit vt. Par conséquent Tare t décrit par le mobile est, en général , la ligne la plus courte du point A au point B; et il suit de l'uniformité du mouvement, que, dans ce cas, le mobile va d'un pointa l'autre , dans un temps plus court que s'il était forcé de décrire sur la surface donnée toute autre courbe que sa trajectoire. Toutefois , si cette surface est fermée de toute part, comme une sphère, par exemple, les points A et B seront les extrémités de deux arcs de grand cercle, dont l'un sera moindre et l'autre plus grand que tous les arcs de petits cercles aboutissant aux mêmes points; et le mobile pourra décrire l'une ou l'autre de ces deux portions d'un même grand cercle, selon le acns de sa vitesse initiale A tangente à la sphère.

On peut présenter l'équation différentielle de la trajectoire sous une forme qui mette en évidence la propriété de la ligne la plus courte sur une surface quelconque , laquelle consiste en ce que son plan osculateur en chaque point est normal à cette surface.

Les forces X, Y, Z, étant supposée) équations (3) du no 151 se réduisent à

A cause que o est une constante, et quet>f=«, on a

v* t.! ti - . d ' y * * d ' * dt* dt* ' dt* ~ 9 dt* ' di»~ e ' Z*~'

l'arc t pour la variable indépendante ;

et cela étant , on pourra rcmpl précédentes p« celles-ci:

les équations

Jjrd* y —

dyd' x

oV

dsd» x —

dxd' %

dyd' s —

dsd'y

ds>

K ,dx