C<>* M COS X V
t' \ds ds /
N ids dx »
— ( — cosx cos . ),
«. \d* ds
àtl
qui s'en déduisent aisément. Je !es ajoute après les avoir multipliées par cos t , cos p. , cos x ; la tité H disparait , et I on a simplement
dxd*y-dyd>x did'x-dxd*»
—cos » H ~ cos n
ds>
nV
dxd'y—dyd'M dl did'x—dsd'% dl
dyd' s— dsd'y dl. L + d^ ds- 0 )
• cos x= 0.1
D'après les Taleurs do cos x , cos §t , cos » , citées dans lo n° 151 , on aura donc
pour l'équation différentielle seconde de la trajectoire. On y substituera la valeur de l'une des trois coordonnées x, y, s, en fonction des deux autres , tirée de l'équation L = 0 de la surface donnée , sur laquelle cette courbe doit être tracée ; on intégrera ensuite l'équation à deux variables qui en résultera ; puis on déterminera les deux constantes arbitraires que l'intégrale renfermera , en assujettissant la courbe à passer par les deux points A et B de la surface donnée. L'équation qu'on obtiendra de cette manière , et qui sera , comme on voit , indépendante de la grandeur et de la direction de la vitesse initiale * , devra cire celle de la ligne la plus courte entre ces deux points.
Or, si l'on appelle a, C, y, les angles que la normale au plan osculateur d'une courbe quelconque, au point dont les coordonnées sont * , y , m , fait avec leurs prolongemens dans le sens positif, et qu'on fasse , pour abréger,
[ {dxd* y — dyd» »)' + (d*d> s —
cos ■ es — [dyd' s — dsd» y) ,
dxd» s)» + (dyd» % — dxd* y}» ]•/» = k, $ III. Digfêêim sur H mouvement de la
cos ( = - (dsd» * — dxd* s) ,
cos y «= — (.^d* y - dyd' #),
d'après les formnles (3) du n» 19 , où ces mêmes angles sont représentés par x , p , r. En vertu de
,(.),on.
cos x cos a + cos C cos t* + cos y cos t = 0 ;
ce qui montre que la normale au plan osculateur de la trajectoire, et la normale à la surface donnée, sont perpendiculaires l'uneà l'antre; d'où l'on conclut que l'équation (f), qui appartient à la ligne la plus courte , est aussi celle de la courbe qui a partout son plan osculateur normal à la surface donnée; en sorte que ces deux lignes sont une seule et même courbe tracée sur cette surface, quand on les assujettit l'une et l'autre à passer par les mêmes points extrêmes A et B.
Il suit de là que , quand ces deux pointa appartiennent à une des lignes de courbure de la surface donnée , cette ligne est la plus courte d'un point à l'autre ; car son plan osculateur en un point quelconque renferme deux normales consécutives à la surface donnée , et est , par conséquent , normal à cette surface.
162. Le théorème du n" 180 est connu sous la dénomination de principe de la moindre action, qui lui vient du point de vue métaphysique sous lequel on l'a d'abord envisagé , et qu'on a depuis justement abandonné. lais il peut encore être utile de donner ici une des premières applications qu'on a faites de ce principe, celle qui est relative à la réflexion et à la réfraction de la lumière dans le système de l'émission.
Tant qu'un rayon lumineux se meut dans un milieu d'une égale densité , sa vitesse et sa direction , restent les mêmes ; mais quand il passe d'un milieu dans un autre , sa direction s'infléchit et sa vitesse change. Dans l'instant du passage, la lumière décrit une courbe d'une étendue inappréciable, dont on peut faire abstraction sans erreur sensible. La trajectoire de chaque particule lumi- I neuse est donc alors l'assemblage de deux droites, dont chacune est décrite d'un mouvement uniforme. Ainsi , en appelant y et «/ les longueurs de ces droites , n la vitesse de la lumière dans le premier milieu, n' sa vitesse dans le second, on aura ny pour la valeur de l'intégrale fvds , prise depuis le point de départ de la particule jusqu'à son entrée dans lo second milieu , et n'y 1 pour la partie de cette intégrale relative nu second milieu; par conséquent cette intégrale, prise dans toute l'étendue de la trajectoire , sera exprimée par ny + n'y' ; et c'est cette somme qui doit être un minimum, d'après le principe de la moindre action. Avant d'aller plus loin, observons que, si le se-
DYÎUMIQUB, PREMIÈRE PARTIE.
et cristal
Usée, la vitesse de la lumière, dans cette substance dépendra, en général , de la direction du rayon lu inineux ; en sorte qu'elle sera constante pour un même rayon, mais variable d'un rayon a un autre. Le phénomène de la doublé réfraction que présentent le spath d'Islande et la plupart des cristaux transparus , tient à la différence de vitesse des différens rayons lumineux qui les traversent. On doit alors regarder la vitesse m' comme une fonction des angles qui déterminent la direction de chaque rayon ; et la loi de la réfraction dépend de la forme que l'on suppose à cette fonction. En faisant une hypothèse convenable sur cette forme , Laplace est parvenu à déduire du principe de la moindre action * , la loi de la double réfraction , découverte par Huygens et confirmée par Malus ; mats ce n'est point ici le lieu déposer cette théorie : nous nous bornerons à considérer le cas où tous les rayons se meuvent avec la même vitesse , quelles que soient leurs directions. Dans le calcul suivant, les vitesses n et n 1 seront donc regardées comme des quantités données pour chaque milieu en particulier, et indépendantes de la direction des rayons lumineux.
163. Soient maintenant A et B (fig. 40) les deux points extrêmes de la trajectoire. Supposons que la surface de séparation des deux milieux soit plane et menons par ces deux points un plan qui la coupe suivant la droite CD. Soit encore AEB une ligne brisée au point E , qui représente la projection de la trajectoire sur ce plan. Menons par les' points A, B, E , les perpendiculaires AF, BG, IrER, à la droite CD. Puisque la position des points A et B est donnée, les trois droites AF, BG , FG , sont i ; mais la position du point E, et les angles et BER sont inconnus , et doivent être déter- I par la condition du rons donc
AF = a, BG = i, FG= C| AEH = *, BEK = ,'j les triangles rectangles AFE et BGE donneront EF = otangx, EG=Atang*' ;
a long x + | taug x' = c. (a)
Le rayon lumineux traverse la surface de séparation des deux milieux en un point dont E est la projection sur le plan de la figure. Si nous appelons s la distance de ce point inconnu au point E, y sera l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont s et AE seront les deux petits côtés , et y' l'hypoténuse d'un autre triangle qui aura x et BE pour ses deux petits cotés ; mais en g les AEF et BEG , on a
