AE
cos x
cos r '
•Mis»*» * << «rw*» "«»• *- fUilil.i. pour l'inné. 1809
on aura donc
cos» x
Si l'on substitue ces voleurs dans la quantité ny -fn'y* , il en résultera une fonction de a , * , x' , qui devra être un minimum par rapport à ces trois variables , dont les deux dernières sont liées entre elles par l'équation (a). Il faudra donc d'abord que la différentielle de cette fonction , prise par rapport a », soit égala k xéro ; d'où l'on conclut
du oV ns n't
ds d, y 1
Or , on ne peut satisfaire ù cette condition prenant * = 0; ce qui nous apprend que le rayon lumineux traverse au point E la surface da séparation des deux milieux, et, par conséquent, qu'il ue sort pas du plan perpendiculaire a cette i mené par les points A et B.
En faisant donc * = 0, on aura simplement
ny + ny* =
na
cos x
cos x'
et en égalant à xéro la différentielle complète da cette quantité , il vient
na sin x d*
cos» x
n'b sin x'ds' cos» x'
mais en différentiant aussi l'équation (a), on a, eu même temps ,
cos» x
et si l'on trouve
— entre ces deux équations ,
n sin x = ni sin g».
Celle-ci et l'équation (a) détermineront les valeurs de x et x' qui répondent au minimum de ny -f- n'y'. Après avoir calculé la voleur de x, on construira le point E, en prenant EF = a tong x,- ensuite on tirera les droites AE et BE, et la ligne brisée AEB sera la route que suit le rayon lumineux pour aller du point A au point B.
L'angle AEH compris entre la normale EH à la surface de séparation des deux milieux, et le rayon incident AE, est ce qu'on appelle Y angle d'incidence; l'angle BEK, compris entre le prolongement EK de cette normale et le rayon réfracté DE , se nomme V angle de réfraction. Ces deux angles ont été désignés par x et x'. Ainsi l'équation (6) fera connaître l'angle de réfraction quand l'angle d'incidence sera donné ; et l'on voit, d'après cette équation, que le sinus de l'angle de réfraction est au
sinus de l'angle d'incidence dan* un rapport constant.
C'est, en eflVt , la loi connue de la réfraction ordinaire, dont la découverte est due à Descartes. Le rapport des deux sinus dépend de celui des Titesses • et n' relatives aux milieux que Ton considère, et, pour cette raison, il varie avec les différentes sortes de milieux transparens.
164. Si le rayon lumineux , au lieu de pénétrer dans le second milieu , est réfléchi à la surface de séparation, sa vitesse sera constante dans toute l'étendue de la trajectoire , qui est alors comprise en entier dans un même milieu. L'intégrale fvdt sera donc égale à la longueur totale de la trajectoire, multipliée par cette vitesse constante ; par conséquent , cette longueur devra être un m minuta, en vertu du principe de la moindre action.
Supposons donc, comme dans le numéro précédent, que la surface de séparation soit plane. Soient A et B (fig. 41) les deux points extrêmes de la trajectoire ; menons par ces points un plan perpendiculaire à cette surface , qui la coupe suivant CD : chaque particule de lumière ira du point A au point B, en suivant une ligne brisée AEB, la plus courte do toutes celles qui se réfléchissent sur la surface de séparation. Or, il est d'abord évident que cette ligne sera comprise dans le plan perpendiculaire à celte surface ; car toute autre trajectoire serait plus longue que sa projection sur ce plan. De plus, il est aisé de prouver, sans aucun calcul, que la plus courte ligne brisée est celle qui fait deux angles égaux avec la droite CD, c'est-à-dire que si l'on a
AEC = BED ,
la ligne AEB sera plus courte que toute autre ligne brisée AE'B, dont le point E' appartient , ainsi que E, à la droite CD.
En effet, abaissons de A la perpendiculaire AF sur celte droite ; prolongeons-la d'une quantité A'F égale à AF, et tirons ensuite les droites A'E et A'E'. Les deux angles AEC et A'EC seront égaux : donc les deux angles A EC et BED léseront aussi, à cause de l'équation précédente; par conséquent, la ligne A'EB sera droite: on aura donc
