Je désigne cette vitesse par u, de sorte dz

qu'on ait = «» pour les deux milieux. En mul-

tipliant l'équation (1) par 2ds, intégrant et désignant por c la consUnte arbitraire, on aura , dans le milieu supérieur ,

ki = c + 2jï'dM — 2fldi.

Je supposerai «rue ces deux intégrales s'évanouis-

sent avec * , et Je représenterai par h et k' leurs valeurs à une distance sensible de CD. U sera permis d'étendre ces intégrales h et k' depuis zéro jusqu'à l'infini; car, au delà d'une valeur sensible, les fonctions Z et V , et par conséquent les parties correspondantes de fld* et fl'ds' , sont nulles ou insensibles par hypothèse. On pourra donc écrire , si l'on veut,

*=y^ zd«, v=y^ z'ds

D'ailleurs , pour une valeur sensible de m , on a u* = A» cos» m ; on aura donc alors

la cos» m = c + 2A' - 2k ;

et en éliminant c de la valeur générale de ts» , il en résultera

si» = A» cos» . + 2A- 2A' + 2/Z»ds - t/Zéfi,

en un point quelconque H.

Je représente por Ai la vitesse du mobile au point E de la surface CD, et par «> l'angle que fait sa direction avec la verticale. On aura en ce point u» = A»i cos ; et comme il répond à s = 0 , les deux derniers termes de la formule précédente s'évanouiront, et elle se réduira à

A», cos» «i = A» cos» • + 2A — 2fc'. (4)

Pour que le rayon lumineux atteigne la surface de séparation des deux milieux , il faudra donc que le second membre de cette équation soit une quantité positive, ou qu'on ait

V < A + 1/2A» cos»

Si cette conditon n'est pas remplie, ce qui exigera que l'attraction du milieu supérieur surpasse celle du milieu inférieur, la vitesse verticale du mobile s'épuisera avant qu'il ait atteint le plan CD. Il y aura donc un point de la trajectoire où la tangente sera horizontale. Parvenu en ce point, le mobile rétrogradera ; les deux branches de cette courbe , aboutissantes en ce même point, seront semblables , puisqu'elles seront décrites en vertu de forces égales pour la même valeur de s ; et, pour une grandeur sensible de cette distance a , ces deux branches se changeront en des lignes droites qui feront des angles égaux avec la verticale , ou , autrement dit , les angles de réflexion et d'incidence seront égaux .

Si, au contraire, l'attraction du milieu inférieur surpasse celle du milieu supérieur, et que la condition précédente soit remplie , le rayon lumineux pénétrera dans le second milieu avec une vitesse perpendiculaire à CD , qui sera déterminée par l'équation («!). Dans cette hypothèse, on aura, d'après l'équation {2} relative à ce milieu ,

«» = A', cos» «, -f 2/Zda — 2/Z'da , en supposant toujours le» intégrales nulles quand

TRAITÉ DE MÊCAIUQfJE.

M = 0. A une distance sensible de CD, on i «• = *'» cos» on aura donc

A'» cos» •» = A», cos» + 8A - 2A';

et en éliminant A»i cos» •> au moyen de l'équation (4), il en résultera

A'» cos* = *• cos» • + 4* — 4k'. (6)

Pour que le rayon lumineux, après avoir traversé la surface CD, pénètre jusqu'à une profondeur sensible dans le milieu inférieur , il sera donc nécessaire et il suffira qu'on ait

A' < A + 1/4*» cos» ..

Lors donc que A', quoique < h -\- 1/2 A * cos» a , surpassera néanmoins h -f- 1/4 k* cos» le mobile ne pénétrera dans le milieu inférieur que jusqu'à une distance insensible an delà de CD ; il rentrera ensuite dans le milieu supérieur ; et les deux branches de sa trajectoire seront semblables île part et d'autre du poiut où il commencera à rétrograder. Par conséquent , la lumière sera réfléchie comme dans le cas précédent , en faisant l'angle de réflexion égal à l'angle d'incidence; en aorte qu'il y a deux cas distincts de réflexion dans la théorie que nous considérons.

187. Supposons maintenant que ni l'un ni l'autre de ces deux cas n'ait lieu, de sorte que le rayon lumineux soit réfracté. D'après l'équation (3) , on

A»» sin» »' = A» sin» « ;

et en ajoutant membre à membre l'équation (5) et celle-ci, il en résultera

ce qui montre que l'augmentation du carré de la vitesse du mobile, en allant du point A du milieu supérieur au point A' du milieu inférieur, sera indépendante , comme cela devait cire (n° 167) , du chemin qu'il aura suivi.

On tire aussi des équations (3) et (6)

formule qui renferme la loi du rapport constant du sinus de réfraction au sinus d'incidence , et qui donne ta valeur de ce rapport en fonction de la vitesse k de la lumière dans l'un des deux milieux, et de la différence A — A' de leurs pouvoir* réfringent A et A'.

Si le milieu inférieur est terminé par deux plans parallèles, et qu'il y ait au-dessous le même milieu qu'au-dessus, l'expérience prouve que la lumière, après avoir subi deux réfractions et traversé les deux faces du milieu intermédiaire , reprend une direction parallèle à celle qu'elle avait dans le milieu supérieur. C'est aussi ce qui résulte de l'équation (7); car si l'on désigne pur «" l'angle que le rayon lumineus fait arec la verticale, après être

du milieu intermédiaire , il faudra , pour déterminer sin échanger entre elles, dans cette équation, les quantités A et A', et y mettre A', .",au lieu de A,.,*'. On aura donc

sin .

ou bien , en vertu des équations (6) et (7) ,

sin \/ A» + 4 (A - A') __ sin m

A ~~sina' ;

oe qui donne, effectivement, «•' =

Le phénomène de la dispersion , qui provient d'une valeur différente de l'angle de réfraction *', pour les rayons diversement colorés dont se compose un même rayon de lumière incidente , peut être attribué , d'après la formule (7) , soit à une inégalité de leur vitesse A , soit à une action différente de chaque milieu sur ces différens rayons , d'où il résulterait des valeurs inégales de A — A'.

168. Toutes choses d'ailleurs égales , celle équation (7) montre que le rapport du sinus de réfraction au sinus d'incidence doit changer avec la vitesse de la lumière. Or, si l'on considère une étoile située dans le plan de l'écliptiquc , il y a une époque dans l'année où la vitesse de la terre s'ajoute à celle de la lumière , et une autre époque où la première vitesse se retranche de la seconde ; ce qui rend la vitesse de la lumière , relativement k un milieu qui se meut avec la terre, sensiblement plus grande dans le premier cas que dans le second. Le rapport dont il s'agit devrait donc aussi être différent à ces deux époques ; mais des expériences très précises de H. Arago ont prouvé qu'au contraire ce rapport ne varie pas d'une manière sensible pendant toute l'année, et, de plus, que sa grandeur est la même pour le soleil et pour les diverses étoiles d'où la lumière est partie.

Quelle que soit la théorie de la lumière que l'on adopte , c'est toujours un fait très remarquable , que la composition de la vitesse propre de la lumière avec celle de la terre, qui se manifeste dans le mouvement apparent des étoiles , connu sous le nom $ aberration , n'ait cependant aucune influence appréciable sur la réfraction de la lumière qu'elles nous envoient à différens jours do l'année.

Dans le vide , le mouvement de la lumière directe ou réfléchie est uniforme, et sa vitesse indépendante de la source dont elle émane. La grandeur de cette vitesse est telle , que la lumière parcourt en 493,34 secondes la distance moyenne du soleil à la terre , ce qui donne 30960 myriamctrès par seconde.

Un rayon lumineux , lancé du soleil ou d'uuc étoile , doit éprouver dans sa vitesse, comme tout

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE

autre projectile, une diminution dite à •■ rer» cet astre , c'est-à-dire , à l'attraction en raison inverse du carre des distances à son centre , que la masse du corps exerce sur chaque particule matérielle de la lumière , mais cette diminution est une fraction très petite de la vitesse finale de la lumière. Ainsi , par exemple, l'intensité de la pesanteur a la surface du soleil étant vingt-sept fois et

demi l'intensité de la pesanteur terrestre , comme oo le verra par la suite , et le rayon du soleil étant égal à lit) rayons de la terre , on conclut de ce qu'on a vu dans le n<> 143 , que la vitesse de la lumière , pour être de 30050 myriumetres par seconde à une grande distance du soleil , a dû être plus grande d'un peu moins de deux millioniènes en partant de sa surface.