CHAPITRE IV
160. La pression qu'un point matériel exerce sur ourbe qu'il est forcé de décrire, n'est pas la même que quand il est en équilibre sur cette courbe. L'état de mouvement donne naissance à une pression particulière qu'on appelle force centrifuge, parce qu'on l'a d'abord considérée dans le cercle où elle est dirigée suivant le prolongement du rayon , et tend continuellement à éloigner du centre le mobile sur lequel elle agit. C'est cette force que nous allons considérer dans un quelconque.
Soient >!,>] et M'M (fig. 43) deux élémens cutifs et égaux de la courbe donnée, H et H' leurs milieux, HT et M'T' leurs prolongemens. Leur plan et l'angle TMT ' seront le plan osculateur et l'angle de contingence de la courbe au poiut X ; et si l'on mène dans ce plan la droite MO , qui divise l'angle M MM' en deux parties égales, elle représentera la direction du rayon de courbure en ce même point M ; en sorte que le centre de courbure sera le point 0 de cette droite. Appelons de l'élément M ( M de la courbe, lequel sera aussi égal a HMH ' ; soient , en outre , l l'angle infiniment petit TMT', et f le rayon de courbure MO, nous au-
, (no 18)
Cela posé, faisons d'abord abstraction des forces données qui peuvent agir sur le mobile , et supposons qu'au bout du temps i, il arrive au point ■ avec une vitesse v. S'il était entièrement libre, il continuerait à se mouvoir sur MT avec la même mais , par hypothèse , il est forcé de dé-
crire une courbe donnée ; ce qui change la direction de son mouvement, qui devient HT'. Or, si l'on élève sur MT' la perpendiculaire MK , comprise dans le plan osculateur et en dehors de la conçut ité do In courbe, on pourra substituer & la vitesse v, dirigée suivant MT, deux autres vitesses , l'une égale à v ens i et dirigée suivant MT', l'autre égale à e sin * et dirigée suivant MK , et alors l'effet de la courbe sera de détruire la dernière de ces deux vitesses, pour ne laisser subsister que la première , ou , autrement dit, cet effet se réduira à imprimer au mobilo une vitesse égale et contraire à v sin l. La courbe donnée étant donc remplacée par un polygone infinitésimal , sa résistauce consiste à imprimer au mobile , à choque sommet M de ce polygone , une vitesse infiniment petite t> sin l, dirigée en sens contraire de MK.
Pour assimiler complètement cette résistance à une force motrice f qui agit incessamment sur le mobile, nous pouvons supposer que la vitesse 9 sin i est produite pendant que ce point matériel va de H en H', et prendre elt pour la durée de cette action. Nous pouvons aussi négliger, dans cet intervalle de temps, le changement de direction de cette force , et la supposer, par exemple, parallèle à la droite MO. Alors la force accélératrice correspondante aura pour mt sure , comme chacune des forces D, U', U",elc., du n° 147, la vitesse c sin l qu'elle produit pendant l'instant dt, divisée par dt ; et en appelant m la masse du mobile, il en résultera
< sin /
pour la valeur de f. Donc , en remplaçant sin f par t, meltunt pour t sa valeur précédente, et r vant que dl—vdt, on aura
La pression que la courbe éprouve , et qui est nniqueroent due à l'état de mouvement du point matériel qui la décrit, ou la force centrifuge qui agit sur ce mobile, est égale et contraire à cette force f. Il s'ensuit donc qu'au point quelconque B de la courbe donnée, la force centrifuge est comprise dans le plan osculateur, et dirigée en dehors de la concavité de celte courbe, suivant le prolongement MN de son rayon de courbure, et que son intensité est en raison inverse de ce rayon, et en raison directe de lo masse du mobile et du carré de sa vitesse.
170. Celle vitesse étant r sur le côté M ( M et devenant v cos fsur le côté suivant MM', il s'ensuit que sa grandeur n'est point altérée par la com be ; cor on peut négliger la quantité r (l — cos l) , infinement petite du second ordre , de laquelle il ne pourrait résulter qu'une diminution infiniment petite de vitesse, sur une partie de la courbe de grandeur finie. Lo mouvement sur une courbe quelconque est donc uniforme quand le mobile n'est sollicité par aucune force donnée. C'est ce qu'on a déjà vu dans le n» 167; mais nous voyons de plus que ce résultat tient à ce que l'angle de t infiniment petit , et qu'en un point
où deux courbes différentes se couperaient un angle fini, le mobile éprouverait une perte finie de vitesse , en passant d'une courbe à l'antre ; laquelle perte serait égale à sa vitesse primitive, multipliée par le sinus verse de cet angle.
Lorsque le mobile est sollicité pnr une ou pluforces données , sa vitesse varie a raison des iposantes de ces forces tangentes à la trajectoire, et leurs composantes normales exercent, comme dans l'état de repos , une pression sur cetto courbe qu'il faut joindre à la force centrifuge.
Soit, en général, mR lu résultante des forces données qui agissent sur le mobile , quand il est parvenu au point M. Décomposons celle force motrice en deux autres, l'une tangente et l'autre normale à la trajectoire, que nous représenterons par «iT et niQ ; la première sera la force qui fera varier la vitesse, et la seconde produira la partie de la pression indépendante de l'état de mouvement du mobile. Eu prenant par la règle du parallélogramme des forces, la résultante de n»Q et de la force I
trifuge f on •» on aura , en grandeur et eu direc-
tion , la pression totale qui aura lieu au point M de la courbe donnée. Celte force, divisée par la masse du mobile , ou la résultante des forces accélérait
trices Q et — , devra coïncider avec la force P du t
n° 162. C'est en effet ce qne nous allons vérifier.
171. Je remplace les équations (6) de ce numéro par celles-ci , qui s'en déduisent immédiatement,
dxd* y - dy* « dsdt*
did* x — dxd* % dsdt*
dyd* s — did* y dsdt*
ds dy
ds ds
d> dx
ds ds
dy d%
d» ds
ds
ds
ds
on a
dx* dx* ds*
dt* 1 dt
dx ds ds dV
à cause de e=— , il en dt
dsd' y — dyd* x
dx»
ds*
dx
v* {dxd* y — dyd* x) ds*
En désignant par g, g', g", les angles que la force Qfait arec des parallèles aux axes des x, y, », et observant que X, Y, Z , sont les composantes suivant ces parallèles de Q et de la force taneentielleT, on i
et l'on trouvera uc ■ m-iuc ,
dsd* r — dxd* s et fdid» r — dxd> s) dsdt* ~ ds>
d yd» s — dsd* y r» (dyd* z — dsd» y) dscU* dii
dx dy dt
X = T- + Qcosg, Y = T — + Q cos g», Z = T- + Qcosg";
W$ ds (£g
et au moyen «le ces valeurs et des précédentes , les équations (I) deviendront
ds>
e« (ds* x -
dxd« l)
dsd. ,)
f» (dxd« y - dyd» ,) dy
— =Q (- co, y' cos g J
cos 9
cos g"^
dr /
ds
cos «y —
dy
— cos m
cos « —
cos —
— cos ).
Or, si l'on appelle les angles que la di-
rection de la force centrifuge , c'est -ù-d i re le prolongement MU du rayon de courbure 10 , fait avec des parallèles aux axes des x, y, s, menées par le point!, et y',*', les
— cos y t
— cos y' f
[dy/dx d»\d»
pdy /dx I d\ds
V d lf â l
— pce* >, y~y'=pcosy l , s— s'=fco«y, et en combinant les équations (8) avec les for-
cos q 1 —
— cos V —
cos g" —
ros »' —
dy
— cos g ds
du n» 20 , on en déduira COS q
dy
— cos *
ds
\ d./d, ds V-l J [ — COS q cos q" )
)dz/d* dx \-| f — cos « cos V \ ds\ds ds )\
ds \ dx/dx dy \-l
— cos q 1 \ f — cos q' cos g \ |
ds \ dx/dx dy \~\
— cos ir» \ f — cos V cos • \
ds y d,\ds ds Jj
r> fdx/ds de \ dy/d« ds \T
tdx/dz dx \ ày /dy ds \~"| -f — cos . cos V \ [ — cos •" cos V \ I ds\ds ds J ds\ds df JJ
Hais à cause que les forces P et Q sont perpen-
ds dy d,
cos q -f — cos g» -f — cos g" = 0, ds ds ds
dx dy ds
ros m + — « o< w' J ens V SS 0 ;
d, ds ds
M qui réduit les coefficient de Q , dans les trois équations précédentes, a — cos g, — cos g', — cos g", et cenx de — P à — cos m, — cos «', — cos ; on aura donc cn6n
— cos>. + Q cosg= Pcos«,
— cos y' + Q cos g'= P cos V, f
— cos>" -f Q cos g" = P cos V, f
où l'on voit, comme il s'agissait de le vérifier, que la force P est, en grandeur et en direction, la ré-
sultnnle des deux forces — et Q.
TRAITÉ DE MÉC.VMQUB.
173. Quand le mobile sera seulement ossujetti à te mouvoir sur une sutface donnée , il faudra que
tnr>
la résultante des forces motrices wQ et , qui est
déjà perpendiculuire à sa trajectoire , soit, de plus, normale à cette surface. En nppelant donc mîl cette résultante, et désignant par « et 4 les angles , oigus ou obtus , que font ses deux composantes avec une partie déterminée de la normale a la surface , nu point où se trouve le mobile , on aura
H as ± (q cos • H coi
Lu force ?i agira suivant cette partie de la normale ou suivant son prolongement , selon que la quantité comprise entre les parenthèses sera positive ou négative ; et pour que N soit toujours une quantité positive, on prendra le signe supérieur dans le premier cas, et le signe inférieur dans le second. Celte force accélératrice N devra être égale et contraire à celle qui entre daus les équations (3) du ii ' 161 ; et , en effet , celles-ci ne différant des équations (5) du n° 1Ô2 qu'en ce qu'elles contiennent Pi , k , fi , », au lieu de — P, *r, V, on en déduira , par l'analyse précédente, des composantes de la force N , qui seront égales et contraires à celles que l'on a trouvées pour la force P.
Daus ce même cas d'une surface donnée , si l'on désigne par m' et 4' ,cs angles que les forces mi)
mv t
et font avec un oie mené par le point où se
trouve le mobile, tangent à cette surface et perpendiculaire à la trajectoire , de sorte qu'on ait
cos» • + cos» = 1 , coi» 4 + cos» 4' as 1,
il faudra que la somme des composantes de ces deus forces suivant cet axe tangent, soit égale à téro , puisque leur résultante est normale ou même point de la surface ; on aura donc
Q cos + — cos 4' = 0; f
équation qui pourra servir à déterminer l'inclinaison 4' du plan osculateur de la trajectoire sur le plan tangent ù la surface donnée.
Lorsque le mobile ne sera soumis à aucune force donnée, où, plus généralement, lorsqu'il ne sera soumis qu'à une force tangente à sa trajectoire , on aura Q = 0 ; il en résultera donc cos 4' = 0 et 4' — 90« , en sorte que le plan osculateur do cette courbe sera constamment perpendiculaire à la surface donnée. Cette propriété étant, en général, L'cllti de la ligne la plus courte entre deux points donnés sur celte surface, c'est cette ligue que le mobile décrira, ainsi qu'on l'a dit précédemment (a* 101) ; mais maintenant nous voyons , eu outre , qu'une force tangente à la trajectoire , telle qu'un
frottement contre la surface donnée, ou la résistance d'un milieu, ne fera pas dévier le mobile , de la ligne la plus courte entre son point de départ et son point d'arrivée.
173. Enfin, si le mobile est entièrement libre, il faudra que la composante normale à la trajectoire, de la force motrice ru H qui le sollicite, fasse
wr»
équilibre à sa force centrifuge ■» puisque dans
ce cas il n'y a pas de courbe ou de surface donnée qui puisse détruire la résultante normale de res deux forces. Il faudra donc, en premier lieu, que le plan osculateur de la trajectoire soit celui qui passe par la tangente et par la direction donnée de la force mR ; en appelant * l'angle que celte direction, en un point quelconque, fait avec le rayon de courbure MO, il faudra, en outre, que rel ongle soit aigu pour que lu composante normale de la force mR agisse eu sens contraire de la force* centrifuge qui est dirigée suivant MN ; et cela étant , on devra avoir
I cos « = — . (a) t
Quand la force accélératrice R , à laquelle le mobile est soumis , sera une force centrale dirigée vers un point connu , et que l'observation aura fait connaître la courbe qu'il décrit autour de ce centre fixe, on pourra déduire de l'équation de cette courbe , le rayon de courbure » et l'angle I qu'il fait avec la direction de la force R; on déduira aussi, de cette équation et de la proportionnalité des aires oux temps (n n 15-5), l'expression de la vitesse r en un point quelconque de la trajectoire; par conséquent , l'équation (a) déterminera la valeur de R, ou la loi de la force centrale qui fait décrire au mobile la courbe donnée. C'est de celle manière que Newton a découvert la loi de la force dirigée vers le centre du soleil , qui fait décrire à chaque planète une ellipse dont ce point occupe un des foyers ; mais on verra , dans la suite, qu'en partant des mêmes données, cette détermination peut s'effectuer par un calcul plus simple.
174. Huyghens, à qui l'on doit la mesure de la force centrifuge, l'a déduite de la considération du mouvement circulaire; et quoique cette méthode soit moins directe que la précédente, je crois cependant utile de l'exposer ici en peu de mots.
Suit H (fig. 44) un poiut matériel attaché à un point fixe C par un fil inextensible CM; supposons qu'une percussion lui imprime une vitesse a, dans une direction perpendiculaire à la longueur du fil; et, pour simplifier la question, supposons aussi qu'aucune force motrice donnée n'agisse sur le mobile. Ce point matériel va décrire un cercle AMB , dont le centre et le rayon seront le point fixe et la longueur du fil. Peudaiit ce mouvement, le fil qui
DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE
le mobile éprouvera , dans le sens de sa longueur, une certaine tension qui n'est autre chose que la force centrifuge. En appliquant au mobile une force égale à cette tension et constamment dirigée vers le centre fue, on pourra faire abstraction du RI , et considérer le mobile comme entièrement libre. C'est donc en vertu de cette force centrale, dont la grandeur est inconnue, combinée avec la vitesse a , que le cercle sera décrit.
Il s'ensuit d'abord que les secteurs circulaires dccrits parle rayon du mobile, seront proportionnels au temps (n° 165) ; ce qui exige que les arrs de cercle parcourus le soient aussi. Le mouvement circulaire sera donc uniforme ; et si l'on désigne pur s l'arc décrit dans le temps i, on aura $ = at.
Soient m la masse du mobile, m* la force centrale , et , conséquemraent , • la force accélératrice qu'il s'agira de déterminer. Quelle que soit cette furce, on peut la regarder comme constante en grandeur et en direction pendant un intervalle de temps infiniment petit; ainsi , pendant que le mobile décrit l'arc de cercle infiniment petit MX', la force «sera supposée constante, et parallèle au rayon CM qui aboutit à l'origine de cet arc ; d'où nous concluons que si le mobile n'était pas animé de la vitesse a, la force centrale lui ferait parcourir, dans un temps infiniment petit, le sinus verse IN, ou la projection sur CM de l'arc MM' qu'il décrit réellement. Or, toute force accélératrice a pour mesure le double de l'espace infiniment petit qu'elle est capable de faire parcourir a un mobile dans on temps infiniment petit , divisé par le carré de ce temps (n<> 113); si donc on appelle s le sinus verse IN , et r le temps employé à décrira l'arc
mais en désignant cet arc pur r, et le rayou CM par r, on a
int l'arc au lieu de la corde; donc à cause oe# = o», on aura
Cette valeur de « est donc celle de la force centrifuge rapportée à l'unité de masse, dans un cercle décrit d'un mouvement uniforme. On en conclut immédiatement que cette force, dans une courbe quelconque, aura pour mesure le carré de I» vitesse divisé pur le rayon de courbure; car la trajectoire ayant deux élémens consécutifs communs n\ec son cercle nsculateur, on peut supposer
ur du centra de
bure, et qu'il a conséquemment Ici forre centrifuge qui convient à ce mouvement. En multipliant pal m cette force accélératrice, on aura U même valeur que pour la force désignée par /dans le n° 169.
175. Pour comparer la force centrifuge dans le cercle à la pesanteur , supposons que la vitesse a soit celle qui serait due k une hauteur de sorte qu'on ait a* = 2gh (n° 130) , en désignant par g la gravité ; il en résultera
ce qui montre que la force centrifuge est à la pesanteur, comme le double de la hauteur due à la vitesse du mobile est au rayon.
Si le mobile est un corps dont les dimensions soient très petites par rapport a su distance nu point C , on pourra considérer , dans toute sou étendue , la valeur de * comme à très peu près constante , ■
et prendre le rapport — pour celui de la forco cen-
trifuge provenant du mouvement circulaire, au poids du corps sur lequel elle agit.
Quand le mouvement n'nuru pas lieu dans un plan horisontal , la vitesse du mobile , la force centrifuge et la tension du fil attaché au point C , seront variables. Supposons que le mobile se meuve dans un plan vertical; désignons par 2gh le carré de sa vitesse , quand il se trouve dans le plan horisontal passant par le point C; et, à un instant quelconque, appelons a sa distance a ce plan, regardée comme positive lorsque le mobile sera situé au-dessous , et comme négative quand il aura passé au-dessus ; nous aurons à cet instant 2g ( h ■+■ *)
pour le carré de sa vitesse (n« 160) , et ESSjfaS
pour la force centrifuge. Pour avoir la tension totale du fil, il faudra ajouter à cette force la composante du poids du mobile dirigé suivant le prolongement de son rayon , laquelle composante est
égale à 'OJjL, comme il est aisé de le voir. Donc ,
en appelant h la tension totale du fil à un instant quelconque , nous aurons
, mg(2h+*M)
Cette force exprimera aussi la pression que le point C éprouvera à chaque instant, suivant la direction du rayon qui aboutit au mobile. Elle atteindra son maximum t lorsque le mobile sera au point le plus bas du cercle , où Ton a m = r, et son minimum, lorsqu'il sera au point le plus élevé , où
Ton a s =r— r. Si h est moindre que — , la tension
deviendra négative et se
lion pendant une partie du mouvement : il faudra alors que le 61 soit inflexible pour que le mouvement circulaire ait lieu. On néglige, dans ce calcul, le poids et la force centrifuge du fil , ce qui suppose M masse très petite par rapport à celle du mobile. On verra , par la suite , comment on y devrait avoir égard si cela était nécessaire.
176. Revenons au mouvement circulaire et uniforme , et désignons par T le temps que le mobilo emploie à parcourir la circonférence entière. On
2wr
et , par conséquent ,
ce qui montre que la force centrifuge est en raidirecte du rayon du cercle, et en raison in- ,..e du carré du temps d'une révolution entière. Lorsqu'un corps solide tourne autour d'un aie fixe , tous ses points décrivent , dans le même temps , des cercles dont les plans sont perpendiculaires à l'axe , qui ont leurs centres dans cet axe , et pour rayons les perpendiculaires abaissées de chaque point sur ce même axe; par conséquent , les forces centrifuges de ces différens points sont entre elles comme ces perpendiculaires. Ainsi , par exemple, la force centrifuge des corps placés à la surface de la terre, et qui tournent avec elle autour de l'axe detpùlt* , est proportionnelle aux rayons des parafait* qu'ils décrivent ; et , de plus , cette force est dirigée en chaque lieu de la terre suivant le prolongement du rayon du parallèle qui
petit par rapport au près,
Pour convertir en nombre la fraction —^r-, on
pourra prendre le rayon du méridien au lieu du rayon r de l'équateur , dont il est peu différent ; on aura alors
En prenant la seconde pour unité , et négligeant , dans ce calcul , la petite variation de la pe" à la surface de la terre , on a aussi (n° 115)
177. La force qui précipite les corps vers la terre, et que nous appelons pttanUur, est due principalement à l'attraction du sphéroïde terrestre sur ces corps. Hais quelle qu'en soit la cause , il est toujours certain que lu force centrifuge diminua celle tendance des corps pesons; en sorte qu'excepté ou pôle , où la force centrifuge est nulle , la pesanteur est partout moindre que si la terre n'avait pas de mouvement de rotation. A l'équateur, la force centrifuge et la pesanteur sont dirigées en sens contraire l'une de l'autre; la pesanteur y est donc égale à l'excès de l'attraction de la terTe sur U force centrifuge ; par conséquent , on a
g étant cette pesanteur, G l'attraction terrestre, ou la pesanteur qui aurait lieu si la terre était immobile , r le rayon de l'équateur, et T le temps de la rotation de la terre.
Le second terme d« Write formule étant très
Ou a d'ailleurs (u" 111)
et de la on conclut , à très peu près ,
Ainsi, à l'équateur , lu pesanteur est
de — par le mouvement de rotation de la terre
autour de son axe. Si ce mouvement devenait plus rapide , le temps T diminuerait , et la force centrifuge différerait moins de la gravité. En observant que 289 est le carré de 17, on voit qu'il suffirait que la rotation eut lieu en un dix-septième de jour, pour que la force centrifuge à l'équateur fût égale à la gravité; alors la pesanteur y serait égale à téro , et les corps abandonnés à eux-mêmes y demeureraient en équilibre.
Dans ce calcul , nous avons seulement eu égard à la force centrifuge provenant du mouvement de rotution des corps pesans autour de l'axe de la terre; et, en effet, on conçoit que le mouvement de translution autour du soleil , qui est commun à tous ees corps, à la terre et à son axe, ne saurait influer sur leur tendance à s'écarter de cette droite mobile. En imaginant , par exemple , un fil parallèle à l'équateur, attaché à cet axe et aboutissant à un corps situé à la surface, il est évident que sa teusion ne changera oueunement par l'effet d'un mouvement qui emportera , à la fois , l'axe, le fil et le corps, sans changer leurs positions relatives.
178. La force centrifuge diminue la pesanteur en tous les points de la surface de lu terre; mais d'une quantité moindre qu'à l'équateur, soit parce qu'en allant de l'équoteur au pôle la force centrifuge décroit, soit parce quu l'angle qu'elle fait avec la verticale augmente. En appelant toujours r le rayon de l'équateur, et désignent par M la latitude
DYNAMIQUE , PR
d'un lien quelconque de I» terre, et par m le rayon du parallèle correspondant , on aura
■ sas r «M f i
en négligeant la non-sphéricité du globe terrestre, l'angle f» sera celui que le prolongement de u, ou la direction de la force centrifuge , fuit avec la verticale ; la composante verticale de la force centrifuge s'obtiendra donc en multipliant son inten-
«té par cos m ; ce qui donne
•4*' r cos' yu
pour la diminution de la peMnteur due à la rotation de 1a terre ; et , d'après ce qui précède, cette quantité aura pour valeur
COS* fé
Ce serait la toute la diminution que la pesanteur
