CHAPITRE V

EXEMPLES OU MOUVEMENT D UN POINT MATERIEL SUI\ ONK COUHBF. OU SUR UNE SURPACE DONNÉE.

$ b*. Oscillation du pendule simple,

179. En pendule est, en général, un corps solide pesant, qui oscille autour d'uu axe fixe et horiiontal. Hais pour comparer plus facilement entre elles les durées des oscillations de différens pendules et les intensités correspondantes de la pesanteur, les géomètres ont imaginé un pendule idéal qu'on oppelle pendule simple, et qui consiste en un point matériel pesant , suspendu à un point fixe par l'intermédiaire d'un fil inextensible et inflexible , dénué de pesanteur et même de densité, et dont la longueur est celle de ce pendule.

On verra , dans un autre chapitre, qu'il y a toujours un pendule simple dont les oscillations coïncident , et pour leurs durées et pour leurs amplitudes , avec celles d'un pendule quelconque, et nous

montrerons comment la longueur du premier peut se déterminer d'après lu forme et les dimensious du second. Sous ferons voir aussi que cet accord ayant lieu entre les mouvemens de deui pendules dans le vide, il subsistera également dans un milieu résistant, quelle que soit la fonction de la vitesse qui exprime la résistance. Ainsi , il suffira de considérer le mouvement du pendule simple, soit dans le vide, soit dans un milieu résistant ; et c'est ce qu'on va faire dans ce premier paragraphe.

180. Soient C ( Gg. 46) le point de suspension , CB la verticale passant par ce point fixe , et CA la position initiale du pendule. Supposons que le point matériel qui le termine parte du point A avec une vitesse k perpendiculaire & CA, et dirigée dans le plau des droites CA et CB; il est évident qu'il ne sortira pas de ce plan vertical, et qu'il y

décrira des CA le rayon.

Au bout du temps quelconque t, soit M la position du mobile ; des points M et A, abiiissons sur la verticale CB, des perpendiculaires HP et AD, et faisons

CP = s , CD = c.

En désignant par g la gravité et par v la vitesse du mobile nu point H , nous aurons, dans le cas du vide (n« 169),

et si Ton appelle * l'arc AM décrit par le mobile, ait

de sorte qu'on ait — = r, on en déduira dt

dt =

|/A. + 2 g tfi c)

Désignons par 6 l'angle HCB, qui sera positif quand le pendule se trouvera à gouche de CB, comme la droite CA, et négatif lorsque le pendule sera à droite de la vertirale. Soit aussi « l'angle ACB , ou la valeur initiale de I. On aura

d, dt B = a (• — •) v — — = — a —,

dt dt

en représentant par a lu longueur CM ou CA du pendule. On aura , en même temps ,

s = a cos t , c = a cos a ;

et ou moyen de ces valeurs , celle de dt deviendra

— adi

dt =

\/~ki + -i,ja (cos « — eus *)

Telle est donc la formule qu'il s'agira d'intégrer exactement ou par approximation.

181. 11 n'y a qu'un cas dans lequel l'intégration sous forme fiuie soit possible, c'est lorsqu'on a

*• = 2ga (1 + cos •) ;

ce qui a lieu quand le mobile part du point A avec la vitesse qu'il aurait acquise en tombant d'une hauteur égale à ED ; E étant le point le plus élevé du cercle qu'il décrit. En faisant t = 24i et obser-

l + cos 24 = 2 cos' 4,

on a alors

g cos 4

J'intègre, je détermine la constante arbitraire, de

sorte qu'on ait 4 = — • quand 1 = 0, et je mets

— là la place do 4 i tttnt

, 1 Xjf* w . 0-sin1/j»)(l+iin1/2«) 2 , * (l+sinl/2l)(l-sii. 1/2 •) '

Si le point A coïncidait avec le point E, on aurait «= * ; ce qui rendrait infinie cette valeur de t, quel que fut l'angle 4. Cela signifie que le mobile ne quitterait pas le point E ; et en effet , dans ce cas, sa vitesse initiale serait nulle, et la tangente au point E étant horiiontalc , il y demeurerait en équilibre.

Le point B répondant à 1=0, on aura, dans tout outre cas,