f s in
I — sin 1/2 • '
pour le temps que le mnbile emploiera à parcourir l'arc AB. Avec sa vitesse acquise en ce point, il s'élèvera sur la demi-circonférence BA'E ; mais , d'après ce qu'on a vu dans le n° 159, il devra employer un temps infini pour atteindre le point E : c'est ce qui a lieu effectivement ; car en faisant 6 = — », on a r — x .
Quelle que soit la vitesse initiale A et l'angle a>, la formule (l) pourra s'intégrer par les fonctions elliptiques ; en sorte que le temps des oscillations ou des révolutions du pendule se calculera toujours au moyen des tables numériques de ces fonctions ; mais , dans la pratique , on a seulement besoin de connaître la durée des oscillations très petites, que nous nous bornerons à considérer.
182. Pour que le pendule ne fusse que de petites oscillations de part et d'autre de la verticale CB, il faudra que l'angle a. et la vitesse k soient peu considérables; on pourra toujours rendre cette vitesse tout-à-fait nulle, en faisant partir lo mobile d'un point un peu plus élevé «pie A, c'est-à-dire, en augmentant convenablement l'angle «; on ne nuira donc pas à la généralité de la question en supposant * = 0 ; ce qui réduit l'équation (l) à
0 \/ 2 cos 8 — 2 cos • Por les formules connues , on a
•» fit
cos » = 1 -f — — etc.,
• — 1 + ...... etc.
Les angles » et » étant très petits , par hypothèse , je néglige leurs quatrièmes puissances; il en résulte simplement
DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE
ion
En intégrant et observant que »
on en déduit
t — \/ — «rc f cos = —\ ;
d'où Ton tire
Ces formules montrent , conformément à ce qu'on ■ déjà tu ( n° lfifl ) , que le pendule fera une suite indéfinie d'oscillations égales et isochrones de part et d'autre de la verticale CB : il reviendra , avec une vitesse nulle , au point A où l'on a » = »,
.Si
i\ — sera un multiple de a
2*, et au point A', situé à la même hauteur que A et où l'on a » = — • , toutes les fois que 6 sera un multiple impair de w. En appelant T le temps qu'il emploiera a aller de l'un de ces points extrêmes à l'autre, c'est-à-dire, le temps d'une oscillation
Les durées des deux demi-oscillations, l'une descendante et l'autre ascendante , seront égales entre
elles et à — T.
En sénér-al , à deux instans séparés par un temps éçsl à T, le pendule occupera , des deux côtés de la verticale CB, des positions également éloignées do celte droite , et sera animé de vitesses égales et contraires ; car si l'on met i + T à la place de r, dt
dans les valeurs de » et — , on voit qu'elles ne font dt
que changer désigne.
Le pendule coïncide avec la verticale quand on a I = 0 , ou t égal à un multiple impair de 1/2 T j il
et, par conséquent,
v = ± • \Zga ,
pour la vitesse du mobile au point B. En appelant h la hauteur DB de son point de départ au-dessus de B, on aura
| s= a (1 — cos ») ss l/2aa' ,
à cause que l'on néglige la quatrième puissance de ». Abstruction faite du signe , la ff point le plus bas sera donc
ce qui est, comme cela devait être, la vitesse dut à la hauteur A.
183. La valeur de T est, comme on voit, indépendante de l'angle « ; elle subsistera encore , et sera rigoureusement exacte, quand cette amplitude « sera infiniment petite. Si donc on écartait le pendule infiniment peu de la verticale, il emploierait pour y revenir un temps fini et égal
Dans ce mouvement, le mobile
décrirait un espace infiniment petit dans un temps fini ; ce qui vient de ce que l'intensité de sa force accélératrice serait infiniment petite. En effet, cette force est la pesanteur décomposée suivant la tangente à la trajectoire; or, dans l'étendue de l'arc infiniment petit qui aboutit au point le plus bas de cette courbe, la tangente fait avec la verticale un augle qui diffère d'un droit d'une quantité infiniment petite ; le cosinus de cet angle, par lequel il faut multiplier la pesanteur pour obtenir sa composante , est donc infiniment petit ; par conséquent, cette composante est aussi infiuiment petite.
On peut étendre ce résultat aux oscillations d'un point matériel pesant sur une courbe quelconque , dont le plan osculutcur au point le plus bas B est vertical ; car dans une étendue infiniment petite la courbe coïncide avec son cercle osculateur, et, dans une étendue seulement très petite , elle s'en écarte très peu ; d'où il suit que C étant le rentre de ce cercle, la durée d«s oscillations très petites sur la courbe , de part et d'autre de son point B, est la même que pour un pendule simple dont C serait le point de suspension , et qui aurait pour longueur le rayon de courbure CB correspondant à ce point B. Les oscillations très petites ont donc une durée indépendante de leur amplitude, sur les courbes verticales qui ont lu même courbure à leur point le plus bus. Lorsque le plan osculateur en ce point n'est pas vertical , il faut remplacer dans la valeur de T la gravité g par sa composante dans ce pian, laquelle est égale à a sin i, en appelant s l'iuclinaisou du plan donné sur un plan horiiontal.
184. Quand l'angle * a une grandeur finie et seulement très petite , la valeur précédente de T u'est qu'approchée.
En effet, si l'on conserve les quatrièmes puissances de si et de t dans les valeurs de cos « et cos I , et qu'on les substitue duns la formule (2), on
9 L/»s|. l/l— i/ia (••+»«) A ce degré d'approximation , il faudra prendre
on aura donc
formule qui s'intègre par les règles connues. En intégrant depuis • = « jusqu'à (=—>•, pour avoir la durée T d'une oscillation entière, on trouve
ce qui montre que cette durée est un tëe par la grandeur de l'amplitude.
Il en résulte que si Ton appelle n le nombre des oscillations infiniment petites d'un pendule quelconque dans un temps donné , et n' le nombre des oscillations du même pendule et dans le même temps, quand leur amplitude « est :
car le nombre n' doit diminuer dans le même rapport que la durée de chaque oscillation est augmentée par la grandeur de cette amplitude.
186. Quoiqu'on ait soin dans les difTérens usages du pendule , de faire en sorte que l'amplitude des oscillations soit très petite , ce qui rend toujours suffisante la correction relative à la grandeur de • qu'on vient de déterminer, il est bon , néanmoins , de connaître la série convergente par laquelle on peut exprimer la durée d'une oscillation , quelle que toit son amplitude.
Pour cela , soient * et C les sinns verses des an-
gles § et «, de sorte qu'on ait
1 — cos • = * , l — ros •
dl =
1/2* — *• ' La formule (2) deviendra
2 K 9 i/Cs - x» l/\ —
et , pour en déduire la durée 1/2 T d'une demi-oscillation, il faudra intégrer depuis f b{, qui répond a S = jusqu'à x = 0, qui répond à I = 0. Or , en développant par la formule du binôme ,
on a
série dont le terme général est 1.3.5...2»
et qui sera toujours convergente, à cause que * est constamment moindre que 2. Si donc on intervertit l'ordre de l'intégration, ce qui est permis en changeant en même temps le signe de dt ■ qu'on fasse ensuite, pour un nombre quelconque n ou léro ,
'dx
J/Cx — *«
et qu'on double la valeur de — - T, il en
T = 1/ ( A» + — . - A, + . - A, + . As + etc. ].
Les valeurs des iutégrales définies Ao, ht , Ag , I duire successivement toutes les autres. En effet , Aj , etc., sont liées entre elles de manière que I on a, identiquement, Tune d'elles étant connue, il est facile d'en dé- I
• (x — 1/2C) *»- ' dx
ffl •/
x" - 1 dx
/x'dx p\ i/tx—x* J |/C*— *• ^ 2 ^ L/Cx — x« '
/ •<— '/*)--■ * „ u ^r^r+ (..)/>- v^rrir^
/»«■ — « dx p x« dx
d'on l'on rnnrlut
/. y- dx , , , r *" dx = -«— ■ l/C* - x. 1) f
(2n — 1^ C p x-"'dx
DYNAJ
et , par
(2n — 1)C / » a- - ' dr
:C,on»|/€
équation , A„ =
, on aura , d'après
Si l'on fait successivement » ss 1 , = 2, = 3, etc. , dans cette formule , on en déduit
» 1.S Ai =5 — C Ai = — C» A 0 ,
5 t.SI
A» = — C A, = C 8 Ao ,
généralement ,
— C Ao;
et quant à la
Ao
En substituant le* valeurs de A 0 , A , . Ai , etc., : T, il en résulte
pour la série qu'il s'agissait d'obtenir, et qui est essentiellement convergente, puisque 1/2 C est toujours moindre que r unité.
Si Ton néglige la quatrième puissance de « , on aura C = 1/2 »*; il faudra réduire la série à ses deux premiers termes , et la valeur de T coïncidera avec
186. Considérons actuellement le mouvement du pendule simple dans un milieu résistant. Eu conservant toutes les notations précédentes, la composante de la pesanteur suivant la tangente HT, sera g sin I, à cause que l'angle que cette droite fait avec la verticale UN est complément de l'angle HCB ou I. Désignons par V la force accélératrice provenant de la résistance, laquelle est dirigée en sens contraire de cette composante g sin I , et apê l'arc Al; l'équation du mouvement (n- 168)
— = o sin » — V. (3) *»
On pourra faire différentes hypothèses sur la valeur de V en fonction de la vitesse du mobile ; le plot simple est de la supposer proportionnelle à cette vitesse, de sorte que l'on ait
A Ht
en désignant par h une vitesse
sin 1=1 —
et don-
+ etc.;
si donc I est, comme précédemment, un très petit angle , et que l'on néglige sa troisième puissance , l'équation (3) deviendra
dt> k dt a
Sou intégrale complète est
• == ^ccos<y(/ /// î.+c'sin(>|/^-^a **,
par c et o' bitraires, par • la base des et faisant , pour abréger,
Je détermine o et e* par les conditions 6 = » et dt
— = 0, quand t = 0; ce qui dt
on aura
tyh
et, en
/ s /l l/J* I /*\ 2 * (cos*> K — I «»»>K — )* »
ii y a N a'
pour les formules qui font connaître, à un quelconque , la position du pendule et sa angulaire.
dt
A la fin de chaque oscillation
,ona — = 0; ' dt
a lieu toutes les fois
tiple de ar. Il s'ensuit donc que les oscillations sont (, comme dans le vide , et qu'on a
pour la durée d'une oscillation entière ; en sorte qu'elle est augmentée, par la résistance du milieu, dans le rapport de l'unité à la fraction y.
Quant aux amplitudes des oscillations, elles di-
iusedel'<
» 2 ** En appelant a. l'amplitude de la n««» oscillation, c'est-à-dire, en supposant qu'on ait i ss (—1)» », , quand # = iiT, il en résultera
n* Vga
ce qui montre que les amplitudes successives forment une progression géométrique décroissante,
dont le rapport est « 2yk
Toutefois, ce mouvement oscillatoire suppose que y soit une quantité réelle ; et , en effet , c'est ce qui a lieu dans les expériences du pendule , qui n'a jamais une longueur extrêmement considérable, et dont la densité est toujours très grande eu égard à celle de l'air où il se meut : la vitesse * étant proportionnelle an rapport de la première densité à la seconde , elle est très grande par rapport à 1/2 \/ ga, et, conséqucmrocnt , y est une quantité réelle qui diffère peu de l'unité. Si , au
contraire, on avait 2* < \/g~a , y serait imaginaire et de la forme C \/ — 1 , en désignant par C une quantité réelle; par les formules connues, les sinus et cosinus qui entrent dans l'expression de I se changeraient en exponentielles ; et cette transformation faite, on verrait que l'angle I ne pourrait devenir nul qu'après un intervalle de temps infini ; en sorte que le pendule approcherait indéfiniment de la verticale CB, sans pouvoir la dépasser ni même l'atteindre rigoureusement.
187. A mesure que les amplitudes des oscillations diminuent , l'expérience prouve qu'elles approchent de plus en plus de décroître dans l'air en progression géométrique : elles s'en écartent peu , par exemple , lorsque l'angle • est d'un tiers de degré on an-dessous. L'expérience montre, de plus, que ce décroissement est très lent; ainsi, dans
une expérience de Borda, où il ment en progression géométrique, l'omplitude ne se réduisait qu'aux deux tiers environ , après 1800 oscillations. En appliquant l'expression de »* à cet
,MQ*Vga « M — 2/3
et , par conséquent ,
1800 «• Vga
= y log 3/2 = y (0,40546)-,
il en résultera
(1800)» *• ( 1 — y» ) = >» (0,40*46)» ; d'où l'on tire
y ta 1,00000000257... ,
ou à très peu près y— 1 ; ce qui permet de négliger la résistance de l'air dans le calcul de la valeur de T.
On peut donc admettre que quand les oscillations sont très petites, la résistance de l'air est proportionnelle è la vitesse , comme nous venons de le supposer, et que cette résistance n'influe pas sensiblement sur leur durée. Hais lorsque les amplitudes sont un peu considérables , l'observation montre qu'elles ne décroissent pins en progression géométrique; en sorte qu'il devient nécessaire de faire une autre hypothèse sur la loi de la résistance.
188. Supposons cette force proportionnelle au carré de la vitesse, et prenons
dit
