V - * dt
k étant une vitesse toujours très grande;
et donnée qui que si l'on fait
H sera une très petite fraction. A cause arft , l'équation (3) deviendra
d*t g dt*
- + - sinl= 1/2/--; (4)
dp a dt*
en la multipliant par 2<ft, intégrant et faisant
/dt* dt* dtf
-dt=y, - = - T , lit* dt* dt
DYFIAHIQUE , PRE1IÈRE PARTIS
nom aurons
cos » — M y = 0,
dt a
équation lin complète est
#*■ 2g (sin i — m co» I)
e étant la constante arbitraire et « la base des logarithmes uëpériens. Je la difierentie par rapport
dt» dy à I, et je remets au lieu de — : il tient
dt* d%
di» 2g
~— z= • — — [cos 9 -f i* siu •
Au point le plus bas, où l'on a 1 = 0, on aura donc
dt* *»• 2g (cos » -f m »»> »)
ce qui est une intégrale première sous forme fiuie de l'équation (4).
Pour déterminer e, je suppose qu'on ait, comme
di
Lt,-=0
di
|*aa>; il enrésul-
2g (cos m -f- /» sin •)
^'=^[1- (ce.. + ,..!».).
pour le carré de la vitesse acquise , laquelle est évidemment moindre que dans le vide.
En vertu de cette vitesse , le mobile montera sur Tare BA' jusqu'en un point A , , moins élevé
cos », — ft (siu m, — «| cos «| )
La valeur de », que l'on tirera de cette équation , différera très peu de «; je fais donc », =* — S , et je néglige le carré de S et le produit (*l , il vient
f sin • = 2f* (sin* — • cos • ) , en sorte que l'on aura
»t = m : (sm » — • cos •) ,
sin 4 * '
P u- conséquent, on aura, a un instant quelconque - (cos , + *• siu •}•-*(•- •)]. (6)
di
quo A', et pour lequel on aura — =0. Si Ton dë-
signe par — » , U valeur correspondante de I, il en
(cos «i — /» sin «i ) =(cos • + p sin ;
et si l'on développe les exponentielles suivant les puissances de /», et qu'on néglige le carré de cette fraction très petite, on aura
= cos m + e (sin » —
pour la grandeur de 9 , abstraction faite du signe , à U fin de la première oscillation.
Ce résultat ne suppose pas les oscillations très petites ; mais si elles sont asset petites pour qu'on poisse négliger la quatrième puissance do • dans cette Taleur de », , elle se réduira i
Parvenu au point A, , le mobile redescendra , et il continuera ainsi à osciller de part et d'autre du point B, jusqu'à ce que les amplitudes de ses oscillations soient devenues sensiblement nulles. Si l'on appelle », l'amplitude de la seconde deraiiscendautc, il est évident qu'elle se ira de <*i i connue ou a déduit », de • ; en l'on aura
Et de même, si »j , ** , etc. , sont les amplitudes successives des autres demi-oscillations ascendantes, on aura
ai = », , »i = »J , etc. ;
ce qui montre qu'elles ne décroîtront plus en progression géométrique , comme dans le cas de la résistance proportionnelle à la vitesse.
189. Pour déterminer le temps qui répond à un angle I , il faudra intégrer la valeur de dt tirée de l'équation (5); ce qui sera toujours possible par la méthode des quadratures , quand les valeurs numériques de »,,",!, seront données. Hais dans le cas des petites oscillations , on peut obtenir , en série convergente , la valeur de l en fonction de t t et réciproquement.
Je supposerai toujours la vitesse initiale du mobile égale à séro ; la valeur de I à un instant quelconque , sera une fonction de t et * qui devra se réduire à séro dans le cas de »=0 ; je la représenterai donc par
i = «I, -J. •» », + «M» + etc. ;
• i , li , d , etc., étant des coefficiens indépendans de ». En substituant cette série dans l'équation (4) , développant les deux membres suivant
les puissances de * , et égalant ensuite les coeflides mêmes puissances, on formera une séri«
d'équations différentielles du second ordre, qui l viront il déterminer les inconnues , , »j , etc.
lie plus, pour qu'on lit l = av et— = 0, quand
dt
1 = 0 ci quel que toit a, il faudra que les valeurs
dl, rf»3
initiales de •> , Is , etc., — , etc., soient
dt dt
dl.
toutes nulles, et que celles de I, et soient
dt
l'unité et zéro; et c'est d'après ces conditions qu'on déterminera les constantes arbitraires qui seront coutenues dans les intégrales complètes de 'équations. De cette manière , on calautan t de termes que l'on voudra de la rie précédente. Nous bornerons l'approximation au carré de et nous négligerons le cube et les puissances supérieures de cette Alors, on a simplement
dt*
lin • = •!,+ •> », , dt» «V
et eu substituant ces valeurs dans l'équation (4) , et égalant les coefficiens de • et de «» dans ses
il vient
dt* m
d* t» g 1 dt,»
df a 2 dt*
et déterminant les deux constantes arbitraires , de
sorte qu'on ait I, =0 et — =0, quand 1=0,
dt
nous aurons
lien
df
- + -!, = - (l - cos tt V -) i a 4a \ o/
d^ dt*
et l'on aura
t, = — — cos t \f 1 f» -}- — t* cos 2t
dto
et — = 0, quand < =0.
dt
Au moyen de ces de I devient
de I, et I. ,
. \co % tV - + + — co.K|/ -,
dl
dee = -o —, on aura, en dt
f , i S7 "fi/9* . t/*
r = (• —)t/o«sra*K 7+—^ MO 7 5
et ces formules feront connaître la position et la vitesse du mobile à un instant quelconque.
