Si nous remplaçons, dans la dernière

litl Zt\/ // ~^-\m a sin t \Z~Lcot i/i, l éa 0 a

quation p=0, qui a lien i le fin de chaque

oscillation, prendra la forme

L'angle m étant très petit, le premier facteur ne peut être nul; le second est icro tontes les fois que

DYBAM1QBB, CREM1ÊBE PARTIE.

multiple de «. Il s'ensuit donc

que l'intervalle de temps qui «'écoule entre deux vitesses nulles et consécutives, ou la durée T d'une oscillation entière, est

en sorte que la résistance de l'air, proportionnelle au carré de la vitesse, o'i cette durée.

Cependant, elle augmente le temps que le mobile emploie à atteindre le point B. En effet, en le désignant par f, et faisant ( = 0, on a

et, par

La plus petite valeur de ? y/ — qui satisfasse

diffère très peu de 1/2 soit donc • 2

le carré de / et le produit «f, ou aura 1/B«*.

La résistance de l'air augmente donc la durée de la première demi-oscillation descendante, dans le

rapport de 1 + - à l'unité} et puisqu'elle n'influe 3»

pu sur la durée de l'oscillation entière, il faut qu'elle diminue , dans le même rapport , la durée de la demi-oscillation ascendante.

En substituant cette valeur de i dans celle de i », il vu

d'où l'on conclut que la vitesse acquise au point le plus bas est diminuée par la résistance de l'air, ajfi

dansle rappoitde 1 a l'unité.

8î l'on désigne par — * , la valeur de I qui a lieu i U fin de la première oscillation entière, et qui

comme précédemment.

Ces différons résultats saut indépendans de la 1 coefficient j* de la résistance, et supi'angle.très petit; ils.

nent également au mouvement du pendule dans un fluide aériforme et dans un liquide, pourvu que le coefficient p soit déterminé pour chaque milieu en particulier. Dans le cas de • très petit, il est inutile d'examiner l'hypothèse d'une résistance proportionnelle au cube ou à une puissance supérieure de la vitesse ; car il n'en pourrait résulter, dans les valeurs de I etv, que des termes dépendais des puissances de » supérieures au carré, que l'on a regardés comme négligeobles dans les calculs précédent. En rapprochant ce qu'on vient de trouver de ce qui a été dit dons le n° 187, ou en conclut donc que la résistance de l'air n'influe pas sur la durée des très petites oscillations du pendule, pour lesquelles on néglige la correction relative a la grondeur de l'amplitude (n° 184). Quand ou tient compte de cette correction , la résistance a une petite influence, à cause qu'elle fait varier les amplitudes peudaot la durée du

191. Il ne suit pas de là que la durée des oscillations d'un corps pesant, quelque petite qu'on la suppose, soit la même dans l'air que dans le vide} car ce fluide, par la pression qu'il exerce sur le mobile, augmente celte durée en diminuant la pesanteur. D'abord, on sait par l'expérience, et nous démontrerons dans P Hydrostatique , qu'un corps en repos, plongé dans un fluide, y perd une partie de son poids, égale au poids du fluide dont il occupe la place. Ainsi , P étant le poids de ce corps dans le vide, P 1 son poids daus l'air, II le poids d'un volume d'air égal I celui du corps, on a

En appelant p le rapport de la densité de l'air à celle du corps, g la gravité dans le vide, g' ce que cette force devient dans l'air, et m la masse du n a aussi

n = P f , V = m<j , on anra donc

Or, si l'on désigne par T et T' les tites oscillations d'un

qui répon-

dent aux deux forces accélératrices g et g', on aura

Soit aussi a' la longueur du pendule soumis à la gravité g', qui fait ses oscillations dans le même

la longueur est a ; il faudra qu'on ait

d'où l'ou tire

Donc, par la seule considération de la perte de poids à l'état de repos, la durée des oscillations dans l'air se trouve augmentée dans le rapport de

l'unité k 1 — f pour un même pendule, et la

longueur du pendule simple se trouve diminuée dans le rapport de 1 — p à l'unité pour une même durée.

De plus, M. Bessel a fait voir, par l'expérience, que la perte de poids qn'un même corps éprouve dans l'air n'est pas la même, quand il est en repos et lorsqu'il a un mouvement oscillatoire. Elle augmente dans le second cas \ et il en résulte qu'il faut, dans les formules précédentes, multiplier P par un facteur / plus grand que l'unité, et dépendant de la forme du mobile. Je suis parvenu k ce

d'un pendub et du l'air ,

et , d'après mon analyse , on a f = L quand le

pendule consiste, comme celui de Borda , en une sphère suspendue à l'extrémité d'un fil très mince, dont la longueur est très considérable par rapport au diamètre Je cette sphère ; en sorte qu'alors il faut augmenter de moitié la correction relative à la densité de l'air, que l'on faisait subir, a ra ni I 1 observation de M. Bessel, à la durée des petites oscillations et k la longueur du pendule simple. Dans tous les cas , le coefficient f est toujours indépendant de la densité du pendule, ainsi que de la densité et de la nature du fluide dans lequel il oscille , de manière qu'on peut toujours le déterminer par l'expérience, en comparant les durées des oscillations de deux pendules de même forme et de densités différentes, dans un même fluide, ou bien d'un même pendule dans deux fluides différens , tels que l'air et I uu , par exemple.

192. Maintenant, soit » le nombre des oscillations iufiniment petites qu'un pendule quelconque

• jfftsWni * M saaMa l s an ttbmm . i om XI.

ferait dans le vide pendant un temps donué r. Pour déduire ce nombre, parla règle du n» 1S4, de celui des oscillations très petites qui est donné par l'observation, et afin d'avoir égard à la variation des amplitudes pendant ce temps r, on a coutume de prendre pour l'angle « la moyenne des amplitudes extrêmes qui sont aussi données par l'observation. Cela étant , la durée T d'une oscillation infiniment petite de ce pendule t

et l'erreur que l'on pourra commettre sur la mesure du temps r aura d'autant moins d'influence sur cette valeur de T, que le nombre » sera plus considérable. D'après la forme et les dimensions du corps oscillant, on déterminera, por la formula qui sera donnée dans un autre chapitre, la longueur du pendule simple, dont le mouvement est le même que celui de ce corps ; on réduira cette longueur, comme on vient de l'expliquer tout à l'heure, à ce qu'elle serait dans le vide; et si on la désigne par a après cette réduction , et qu'on représente par g la gravité dans le vide , on

d'où l'on lire

C'est au moyen de cette formule que l'ou détermine avec une extrême précision , en chaque lieu de la terre, la mesure de la pesanteur, ou la vitesse g que les corps pesans acquièrent en tombant verticalement dans le vide , pendant une unité de temps. D'après l'expérience faite par Borda, à l'Observatoire de Paris , avec un pendule d'environ 3 mètres de longueur, on a

unité; et l'on en

en prenant la clut

en ce lieu de la terre , c'est-à-dire , a une latitude de 48" 60' 14".

M. Bessel ayant fait osciller successivement des corps de toutes sortes de matières , tels que des métaux, de l'ivoire, du marbre, des pierres météoriques , etc. , a constamment trouvé des valeurs de g sensiblement égales , les plus grandes différences, de part et d'uutre de la valeur moyeuno, s'clevant à peine à un cent-millième de cette valeur , et pouvant être attribuées aux erreurs inévitables de l'observation. Il ne peut donc rester aucun doute sur la parfaite égalité de l'attraction exercée par la terre sur tous les corps, quelle qu'en

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE

lit

«oit la nature , qui sont situés en un même lieu de sa surface; car cette égalité résulte de celle des valeurs de la pesanteur g, puisque cette force est l'excès de l'attraction terrestre sur la composante verticale de la force centrifuge , commune à tous ces corps.

103. En considérant la surface de la terre comme le prolongement du niveau des mers en équilibre, on démontre, dans la JUéeaniqu» célette , que la variation , à cette surface , de la longueur du pendule simple qui fait chaque oscillation dans une unité de temps , est proportionnelle au cosinus du double de la latitude; en sorte qu'en désignant par x cette longueur en un lieu dont la latitude est4,ondoit avoir

181(1 coa 24); (*)

(et » étant des constantes déterminées par l'observation. On démontre aussi que le coefficient » est lié à l'aplatissement du sphéroïde terrestre par l'é-