W3866 = / [1 + 0,002ô88.sin

d'où l'on tire

Si l'on fait » = 1 et r = 1 dans la formule (a); que l'on y mette successivement / et x à la place de a, et qu'on désigne par p et « les valeurs correspondantes de g, on aura

on aura donc

P = l>»,805o7, et, à une latitude quelconque,

• =/>(! — 0,002*38 « os 24).

que

cos 24 = » ces» 4 - I ,

on voit que la diminution de la pesanteur , en allant du pôle à l'équateur , sera proportionnelle au carré du cosinus de la latitude, conformément à l'énoncé du n» 178.

En transportant un même pendule en diflërens lieux de la terre, on voit, par l'équation (a), que les nombres n de ses oscillations , dans un même temps r, varieront proportionnellement à la racine carrée de la gravité. Ainsi , par exemple , une horloge réglée, à Paris, sur le mouvement diurne de la terre, et transportée ensuite à l'équateur, retarder, i sur ce mouvement. En appelant m et n' les nombres des oscillations de son pendule en un jour sidéral dans ces deux lieux de la terre , on

«=86164, si'

1 + 0,0< I2ÔS8 sin (7»40'28") •

en sorte que le retard sera d'environ 127 i en 24 heures. C'est l'observation de ce retard qui • mis en évidence, pour la première fois, la varia-

isr la cycloïde.

196. Soit ABC (fïg. 46) la trajectoire d'un point matériel pesant, dont le plan est vertical. Supposons que ce mobile parte du point quelconque D , sans vitesse initiale, et qu'il soit en H an bout du temps t; des points D et M abaissons des perpendiculaires DE et HP sur la verticale passant par le point B, qui est le plus bas de la courbe ; en faisant EP = s, et désignant par • la vitesse acquise au point M , et par g la gravité, nous aurons (n° 16»)

si l'on suppose que la pesanteur soit la seule force qui agisse sur le mobile. Soit aussi $ l'arc BM ; il décroît quand le temps augmente , on

et si Ton fait

h , PB = i — h — : ,

il en résultera

\^2gdt = -

quelle que soit la courbe donnée.

Cette courbe étant, par hypothèse, une cycloïde , on aura (n° 73)

en désignant par a le diamètre BF de ton cercle générateur. On aura donc

dt = -

et , en intégrant ,

•1/7— (— 2 Hr) !

on n'ajoute pas de constante arbitraire, afin qu'on ait f = 0 à l'origine du mouvement, ou quand * =*.

Si l'on appelle 1 le temps que le mobile emploie à atteindre le point B qui répond a s : 0, on aura

arc (cos — — !) = «•,

H , par

Ce temps est , comme on voit , indépendant de la hauteur h du point de départ D du mobile, audessus du point le plus bas B; en sorte que cette propriété , qui a lien par epproiimation dans tontes les courbes pour une hauteur A très petite, est rigoureusement vraie dans la cycloîde , quelle que soit cette hauteur , toujours moindre que a ou BF. Il en résulte que tous les mobiles , partis en même différons points de la cycloîde , arriveront temps à son point le plus bas.

oscilla^

tion entière de part et d'autre du point B; or, on voit que ce temps est celui des oscillations très petites du pendule dont la longueur 2a est le rayon de courbure de la cycloîde en ce point (n« 72) ; ce qui s'accorde avec le résultat du n« 183, relatif à la durée des petites oscillations sur une courbe quelconque, laquelle durée est la même, dans te cas

= « (cos ty [/ — +

de la eyrloïde , que celles des amplitude quelconque.

105. Le temps que le mobile emploie à parcourir l'arc DB de la cycloîde est encore indépendant de la longueur de cet arc , quand le mouvement • lieu dans un milieu résistant , et que la résistance est supposée proportionnelle è la première puissance de la vitesse.

En effet, représentons cette force par —, comme

dans le n» 186; la composante de la pesanteur sui-

dx dx vanl la Ungente HT, est g — , en observant que —

dt d»

est le cosinus de l'angle TIN que fait cette droite avec la verticale UN ; la force qui agit au point H , et qui tend à diminuer l'arc BH ou *, sera donc la dx v

différence g g par conséquent , on aura

dt k pour l'équation du mouvement

d* « (dx v\

ou , ce qui est la même chose

dt ds

Je suppose qu'à l'origine du quand t 3= 0, la vitesse e soit nulle , et qu'on ait t = en déterminant le* deux constantes arbitraires d'après ces conditions, et faisant, pour

l'intégrale de l'équation préoédente sera (u> ltt)

sin ty

Si donc on appelle l' le temps qui répond au point B ou à t = 0, on aura

équation d'où l'on tirera une valeur de t' indépendante de »; ce qu'il s'agissait de trouver Si la résistance est très petite , ou la vitesse *

très grande, on aura y = 1 , à très peu près ; et

l'équation précédente donnera

ce qui montre que le temps 1? est un peu augmenté par cette résistance.

196. Prolongeons la droite BF jusqu'en 0, d'une quantité égale à BFj ce point 0 aéra le centre de

DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE

ruurburc de la cycloîde ou point B; et si Ton trace les deux demi-cycloïdes OA et OC, tangentes aux droites OR et AC, et ayant OF pour diamètre de leur cercle générateur, OA sera la développante de AB, et OC celle de BC (n» 72); par conséquent, an Gl d'une longueur constante OB ou 2a, attaché au point 0, et qui s'enveloppera successivement sur les deux courbes OA et OC, tracera par son autre extrémité l.< cycloîde ABC.

Cela fournit un moyen de construire un pendule cycloîdal. Pour cela , supposons que les courbes OA et OC soient tracées en relief , et que OB soit un fil inextensible et parfaitement flexible , attaché au point fite 0; attachons aussi un corps pesant à son autre extrémité B, puis écartons ce fil de la position verticale, de sorte qu'il s'enveloppe, en tout ou en partie . sur l'une des courbes OA et OC, et que sa partie non enveloppée soit une droite tangente à cette courbe : eu abandonnant ensuite le mobile à lui-même, l'extrémité inférieure du fil décrira la courbe ABC; et , d'après lo n» 194, la durée des oscillations de ce pendule, dans le vide , sera rigoureusement , et constamment indépendante de leur amplitude. Mais ce moyen ne sernit susceptible d'aucune précision dans la pratique; et , d'ailleurs, l'isochronisme des grandes oscillations n'aurait plus lieu dans l'air, la résistance de ce fluide n'étant point alors proportionnelle a la simple vise.

197. On appelle tavtoehronw toute courbe sur laquelle un point matériel pesant parvient toujours daos un même temps au point le plus bas , quel que soit le point de cette courbe d'où il est parti. Ainsi dans le vide, la cycloïde est une courbe tautochrone ; et , de plus , on ta voir qu'elle est alors U seule courbe de cette espèce.

p k dx p

Je fais x = A*' et dx = Ad*'; les limites des intégrales relatives a cette nouvelle variable x' seront téro et l'unité; on aura , par exemple,

Si l'on appelle t' le temps que le mobile emploie ù aller, sans vitesse initiale , du point II au point le plus bas B, sur une courbe quelconque ADB, la

valeur de f" [•'•,< sera donnée par l'intégrale de la formule (l) , prise depuis x = A jusqu'à * ss 0, ou , ce qui est la même chose, depuis * = 0 jusqu'à .c = h , en changeant le signe de cette formule ; on aura donc

et pour trouver la courbe tautochronc, il s'agit de déterminer t en fonction de x, de manière que

cette valeur de f" |/Î!y soit indépendante de A.

Or, je suppose cette fonction inconnue développée suivant les puissances ascendantes de x, de sorte qu'on ait

$ = A*- + B*C + C*> + etc.;

A, B, C, etc. , », C, y, etc. , étant des coefikiens et des exposans indéterminés. Comme l'abscisse x et l'arc * ont leur origine au même point B, on devra avoir en même temps x = 0 et s = 0; il faut donc que tous les exposans », C, y, etc. , soient positifs , et qu'aucun d'eux ne soit xéro. On voit aussi, a priori , que le plus petit d'entre eux devra être moindre que l'unité ; car le point B étant, par hypothèse, le plus bas de la courbe demandée, la tangente y est horiiontale ou perpendiculaire b

l'nxe des X; ce qui exige qu'on ait — =r « , quanti

En prenont la différentielle de cette série, et la substituant à la place de ds dans la formule précédente, il vient

* x c ~ l dx /

1 dx

.+ etc.

x *-* dx'

et si nous faisons , pour abréger ,

, j-'a-i dx' p m

= B , etc.,

» " o V 1 — " il en résultera

f \Zz^= .VA'**-/' + CBB'A + yCC'hy-'/' + etc.

U est important d'observer qu'aucune de ces inté grales A', B', C, etc. , ne peut être nulle; car les valeurs des différentielles dont elles sont les sommes (o» 13) ne changent pas de signe entre les limites des intégrations : ces valeurs sout toutes positives, et par conséquent aussi celles des intégrales.

Maintenant , il es: évident que la valeur de t' ne peut être indépendante de A, à moins que tous les termes de la série précédente ne soient nuls, excepté celui dans lequel l'exposant do A est xéro, ou qui répond à un des exposans », C, y, etc. , égal

à — . Supposons que ce terme soit le

2 1 qu'on ait m = — . Pour que le second terme dispa-

raissc , il faudra que le produit CBB' soit nul ; ce qui exige que B soit téro, puisque C et B' ne le sont pas. On verra de même que les nutres coefficiens C, D, etc. , sont aussi égaux à xéro; de sorte que l'équation de la tautochrone se réduit à celle-ci :

t = Ax'A , ou #« = A* x

lfa

qui appartient à une cyclolde, dent U base e»t boriiontale et dont le sommet e»t au point B que le mobile atteint toujours dans le même temps.

En désiguant par a le diamètre du cercle générateur, on aura A* = 4a, et par coi

A cause de » = —, on a d'ailleurs

comme dons le n° 104.

198. C'est encore la cyclolde que l'on trouve quand on cherche la brachystochroM dans le vide, c'est-à-dire, la courbe AMB (fig. 47) qu'un point matériel pesant doit suivre pour aller daus le temps le plus court, sans vitesse initiale , du point donné A au point B aussi donné.

Pour déterminer cette courbe , soient s, y, %, les trois coordonnées rectangulaires du point M où se trouve le mobile au bout du temps i, soit aussi t Tare AH qu'il a parcouru. Et) supposant que Taxe des s soit vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur, et désignant par « la valeur de s au point

A, la vitesse — , acquise en H, sera la vitesse due à dt

ta hauteur * — » ; en représentant la gravité par a t on aura donc

et en faisant, pour abréger,

dy* ds*

de sorte qu'on ait dt — udx, il en résultera

|/ 2y dt —

i valeur de x au point B , et 4' le temps que le mobile emploiera à aller du point k au point B, non

Ainsi, il s'agira de déterminer la courbe pour laquelle cette intégrale est un minimum ; mais, plus de généralité, je considérerai l'intégrale

Xuds ,

dans laquelle X est une fonction donnée de*; ce qui nous servira, par la suite, k résoudre un autre problème du même genre : dans celui dont il s'agit

maintenant, on prendra (* — ») ' pour X.

199. Désignons par s une quantité constante et infiuiment petite , et par ty et tx deui fonctions arbitraires de s , assujetties seulement à la condition d'être nulles pour * = • et pour x = C, et de ne pas devenir infinies pour les valeurs intermédiaires de x. Soient U' et tr 1 ce que deviennent U et m lorsqu'on y met y + ity et a + ils k la place de y et s, de sorte qu'on ait

Xss'd* i

intégrale qui répondra à une autre courbe AM'B , passant , comme la courbe demandée AMB , par les points A et B, et l'écartant infiniment peu de celleci. Nous aurons aussi

TJ'U = X(ar" - u) dx;

et, d'après la propriété de la courbe AMB , il faudra que cette différence U' — U soit positive, quelles que soient les valeurs de ty et t», et quelque signe qu'où donne à s. Or, en déve loppant la différence u' — « suivant les puissances de s', et désignant par itu le premier terme de son développement, le pre-

HtMdXi

mier terme de celui de U' — V sera »

d'où l'on conclut qu'on devra avoir

Xtvdr — 0,

sans quoi la différence U' — U changerait de signe en même temps que s'.

Cette condition est commune au minimum et au de U. Quand elle sera remplie, la diffé- U' — U sera en général, infiniment petite du second ordre; elle aura le même signe que le coefficient de s'« dans son développement ; par conséquent , il y aura maximum ou minimum , selon que ce coefficient sers négatif ou positif. Mais , comme il est évident que le temps t n'est pas suscepliblo d'un maximum , ce coefficient sera certainement positif dans le problème de la brackyttochront , et il suffira de satisfaire k la condition exprimée par l'équation (o).

La quantité itu n'est autre chose que la différen 1 1 cl le de v, prise par rapport s y et s , et dans laquelle leurs acernissemens sont représentés par sJy et Us. En supprimant le facteur s, commun k itu et k sa valeur, on aura donc

l__ dy dty t ds df u dx dx v dx dx'

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE

lift

(a) deviendra

/CXdydty r C\dtiïi ~71~ dx +l u u di d x */ a. M dx dx

Mais «il intégrant par partie , et observant que les quantités Jy et j» sont nulles, par hypothèse , aux deux limites x = « et s = C, on a

J * — tydx,

" V' «>»°8« l'<-qu.lion précAbnle en cello-ci :

Or, et l» étant des fonctions arbitraires de x, cette intégrale no peut être nulle , à moins que la quantité comprise sous le signe/" ne le soit elle- 9 ; par conséquent , on

X ds

^ m dx ' V u Jjp /

9. Si la courbe demandée AMB et la courbe quelconque AM'B doivent être tracées sur une surface donnée dont l'équation soit L = 0, il faudra que les valeurs de y et s en fonction de x, qu'il s'agit de déterminer, et ces valeurs augmentées de s/y et tiz , satisfassent si lion ; d'où l'on conclut

dl dl

dy d»

au moyen de quoi l'on éliminera, de l'équation (a), l'une des deux quantités ly et s s : l'autre s'en ira i , et l'on aura

d{ X<t *\ df Xd * dl \ u & x ) dl \ u ix

Cette dernière équation et L = 0 seront , dans ce cas , les deux équations de lu courbe demandée , et pourront servir, par exemple, à déterminer la courbe do la plus vite descente sur une surface

SI , au contraire, le minimum de U doit avoir licil entre toutes les courbes qui aboutissent aux points A et B, et ne sont assujetties à se trouver sur aucune surface particulière, les quantités S y et i» seront arbitraires et indépendantes entre elles. Il faudra donc que leurs coefficiens soient séparément nuls dans l'équation (&), qui t en deux autres , savoir :

^ u ds) s» rfy)

c'est ce cas que nous nous bornerons à considérer. En intégrant et désignant par a et a' les deux

X dy X ds

m ds

u dx

et, par conséquent ,

dy d»

et o — = 0.

dx dx

Intégrant de nouveau, et désignant par y une troiarbitraire, il vient

a'y - as = y ;

ce qui montre que la courbe demandée sera plane et comprise dans un plan perpendiculaire à celui des y et ». Pour simpliGer, je prends le plan de cette courbe pour celui des * et y; on aura alors

et l'on aura seulement à considérer la équation (e), qui deviendra

Xo*y = o \/ds* + aV j d'où l'on déduit

dy =

adx

" « dx> *f «

Il ne restera donc plus qu'à intégrer cette formule, ce qui dépendra de la forme de la fonction X, et en suite à déterminer a et la nouvelle constante arbitraire, introduite par cette intégration, d'après la condition que la courbe demandée passe par les deux points donnés A et B.

201. Avant d'aller plus loin, soit e une constante quelconque , et supposons qu*ou mette X + c à la place de X dans les formules précédentes. L'intégrale U deviendra

/ dy*

dx*

et la valeur de y, qui la rend ud née j>ar l'équation

, sera don-

ads

Or, cette tomme d'intégrales quell représente étant un minimum, en considérant toutes les courbes qui aboutissent aux points A et 6, il est évident que la première intégrale

t un minimum, en considérant seulement, parmi toutes ces courbes, celles qui répondent à une même valeur de la seconde intégrale.

Cette remarque fort simple permet d'étendre im-

nimum relatif, les solutions des problèmes de maximum ou de minimum absolu ; nous en verrons une application par la suite.

Comme ici la seconde intégrale contenue dans U est la longueur de la courbe cherchée , il s'ensuit que l'équation (*) servira à déterminer, entre toutes les courbes d'égale longueur, ou ùopirimètnt , celle qui répond au minimum ou au maximum de la pre-

y — d = — a. arc (cos

mière intégrale. En appelant / la longueur et commune à toutes les courbes , on aura

* dx*

condition à laquelle on satisfera au moyen de In constante indéterminée c, qu'on a introduite dans la formule («).

202. Appliquons actuellement la formule (<f! à lu courbe de la plus vite descente.

A cause du

on aura alors du =

(* — •) di

en mettant à la place de a. Or, celte équation

différentielle est celle d'une cycloîde (n° 72) dont la base est horizontale et passe par le poiut de départ A du mobile, et dont le cercle générateur a a pour diamètre; ce qu'il s'ugissaitde trouver.

En intégrant , on a

étant la constante arbitraire qui représente la va- I par C celle qui répond à s = C, on aura leur de y correspondante 4» = ». Si Ion désigne |