C - = I a arc (co. = °ZJl±iî) - |/S (C - .) - (C .j. . j

et, par conséquent,

'-iXT.. (— —« + » ). '

pour le temps le plus court que le mobile puisse employer à passer du point A au point B.

Si ces deux points sont situés dans une même verticale , on aura C — »'; condition à laquelle on satisfera en prenant a — oo ; car on a

et , dans le cas de a = co , cet arc peut jtre rem- 1 y se réduit à en sorte que le mobile ne s'écartera placé par son sinus , ce qui réduit à xéro la valeur I pas de la direction verticale. La valeur dei' devienprécédeute de C — •'. Eu même temps lu valeur de 1 dra aussi

f = [/^T. a ^^l C - ») - (C - | /2 ÇC - , ) 2g a g

Les coordonnées * et »', c et C , des points A et o , sont données ; cette dernière équation déterminera la constante a , et la valeur précédente de y ne renfermera plus rien d'inconnu.

Au moyen de la valeur de dy, on a

dx» L/ a — * + *

on aura donc (n° 108)

DYNAMIQUE, PREMIERE PARTIE

ce qui est effectivement le temps qu'il doit employer à parcourir la hauteur C — *, du point A audessus du point B.

La déterrai nation do la ligne de la plus vite descente étant un problème de pure curiosité , je me •uis borné à en considérer le cas le plus simple, celui où le mouvement a lieu dan* le vide, et où les points extrêmes sont donnés. Si ces points A et B ne sont pas fiscs et donnés, mais qu'ils soient seulement assujettis à se trouver sur des courbes données DAEet FBG, ou sur des surfaces aussidonnées, la brachyslochrone, dans le vide , sera encore une cycloîde , et , d'après les règles du calcul des variations, on pourra déterminer, dans tous les cas , les coordonnées de ces deui points. Dans un milieu résistant, cette ligne sera une autre courbe, dont on obtient, parles règles de ce calcul, l'équation différentielle, dépendante de la loi de la résistance par rapport à la vitesse du mobile. Pour tout ce qui concerne le calcul des variations , je renverrai au Mémoire sur ce sujet , que j'ai inséré dans le XII e de l'Académie des