Pour donner un exemple du

point matériel sur une surface donnée, je reprends le pendule simple du n° 179; mais je suppose qu'après l'avoir écarté de la verticale CB lfig.46),et l'avoir transporté en CA, on lui imprime une vitesse qui ne soit pas dirigée dans le plan verticaJ ACB. Le pendule sortira alors de ce plan , et le point matériel qui le termine se mouvra sur la surface d'une sphère décrite du point C comme centre, avec un rayon égal à la longueur a de ce pendule. La percussion qui sera exercée sur ce mobile, à l'origine du mouvement, se décomposera en deux forces, l'une dirigée suivant AC ou suivant son prolongement, qui sera détruite par la résistance du point fixe C, l'autre perpendiculaire à AC, qui produira la vitesse initiale du pendule , que je représenterai par k. Je supposerai que le mouvement a lieu dans le vide; en sorte que lu gravité soit la seule force accélératrice donnée qui agisse sur le mobile

Cela posé, au bout du temps t, soit CM la position du pendule ; et désignons par s, y, z, les coordonnées rectangulaires du point M. Soient aussi m la masse du mobile, ctmN la tension inconnue du fil CM, dirigée suivant son prolongement. En prenant le point C pour l'origine des coordonnées x, f, s, les composantes de la force accélératrice flf suivant leurs proloogemens seront

Or, si l'on applique au mobile une force égale et contraire à K, ou pourra ensuite lu considérer romnie entièrement libre , et faire abstraction du

fil CM ; donc en supposant l'axe des s positives , vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur, les trois équations du mouvement seront

dr» a d*y y

- +-*=■-<>, ( (I) dt* a

- + - N - y = 0, df» a

qui s'accordent avec les équations (3) du n° 151. On les réduira à deux par l'élimination de l'inconnue N; et en y joignant l'équation de la sphère, savoir,

on aura les trois équations qui devront servir a déterminer x, y, *, en fonctions de t.

204. J'ajoute les équations (I), après les avoir multipliées par x, y, s; il vient

xd> x + yd* y + sd» »

— + Na - es = 0.

En différentiant l'équation de la sphère, une première fois , on a

xdx + ydy + sds = 0, (2)

et, une seconde fou ,

xd* x + yd» y + sd* % = — dx* — dy* — rfs» .

Si donc on représente par r la vitesse du mobile au bout du temps t, de sorte qu'on ait

dx* + dy» + ds»

il en résultera

dt*

v* gs

et, en effet , la tension mN doit être la somme de la me» «nys

force centrifuge et de la composante

a a du poids du mobile suivant le prolongement du rayon CM.

J'ajoute aussi les équations (1), après les avoir multipliées par dx ,dy , ds; l'inconnue N disparait en vertu de l'équation (2), et l'on a

dxd* x -f dyd' y + dsd» s

dl.

= gds.

En intégrant et désignant par 6 la constante arbitraire , on aura donc

dx* + dy* + dt*

dt*

= Sgt + b. (3)

Li valeur initiale du premier membre est *» ; par

conséquent, si l'on désigne par y celle de a, on aura

et, à un instant quelconque,

ce que nous savions déjà.

Enfin, je multiplie la seconde équation (l)par *, et j'en retranche la première, multipliée par y; ce qui donne

dP dt*

donc, en intégrant et désignant pare la constante arbitraire, nous aurons

sdy — ydx es odt. (4)

De cette manière , la solution du problème ne dépend plus que des trois équations différentielles (2), (3), (4), qui sont du premier ordre, et dont la première a déjà pour intégrale l'équation de la sphère. On peut séparer les variables, et réduire la question aux quadratures par le calcul suivant.