L'équation (2) donne

sdx -f ydy es — sots j

en élevant au carré ses deux membres et ceux de l'équation (4), et ajoutant ensuite les équations résultantes, il vient

Je mets a» — s» au lieu de s» + y» , et j'élimine dx* -f dy« au moyen de l'équation (3}; il eo résulte

(„, „) [{2gx+b) df — d%* ]ss «d*» + c'd<« ; d'où Ton tire

di =

odt

Désignons par r le rayon vecteur de la projection du mobile sur le plan horixontal des s et y, et par 4 l'angle que fait ce rayon avec l'axe des *; nous

cods

*=srcos4, y = rsio4, *dy - yds sa r» d4 j

à cause der» = a» — s» , l'équation (4) deviendra

(«. *.)*L==«stt;

«t en y mettant pour d* sa valeur précédente, on en déduira

(o« — s» ) |/( 0 . j ( 2oî + 4) c» '

Les intégrales de ces expressions de df et d l feront connaître les expressions de f et 4 en fonctions de s,- elles se réduiront toujours aux fonctions elliptiques, et ne pourront s'obtenir sous forme finie que quand la quantité du troisième degré par rap-

port à x, renfermée sous le radical, aura un facteur double. La valeur de 4 «* l'équation de la sphère détermineront la trajectoire du mobile ; la valeur de r en fonction de », ou de m en fonction de f, fera ensuite connaître la position du mobile , à chaque instant sur cette courbe.

La constante 6 est connue d'après les valeur» données de k et y. On déterminera les constantes arbitraires qui seront introduites par les intégrations de dt et d4, d'après les conditions r es 0 et 4 = 0, quand m = y, dont la seconde suppose qu'on place l'axe des * dans le plan vertical ACB, d'où part le pendule. Il ne restera donc que la constante c à déterminer. Or, la vitesse v du mobile étant perpendiculaire au rayon CM de la spbère sur laquelle il se meut, si on la décompose eo deux, l'une perpendiculaire au plan vertical MCB , et l'autre comprise dans ce plan , la première compossnte sera la vitesse de la projection horixontale du mobile, perpendiculaire à son rayon vecteur r; en la désignant par u, on aura donc (n» 166)

ou bien , en vertu de l'équation (4),

donc , si l'on appelle « l'angle que la vitesse initiale k fait avec la perpendiculaire au plan ACB, de sorte qn'on ail si = * cos • k l'origine da mouve- ; , il en résultera

c es k \/ a * — >» cos ».

Lorsque la vitesse * sera nulle , on aura c = 0, b = — 2y>, et , par conséquent,

odt

dt —

ce qui coïncide avec la valenrdedf du n» 186, en observant que a — s et a — y sont ce qu'on a appelé ax et oC dans cette valeur.

806. Considérons spécialement te cas où le pendule a été très peu écarté de la verticale CB, et • reçu une très petite vitesse initiale. Supposons cette vitesse horixontale, et , par conséquent , perpendiculaire au plan ACB, de sorte qu'on ait t — O. Désignons par C une fraction très petite, et fai-

sons

* es C 1/ya.

Soient aussi * et t les angles ACB et MCB ; en négligeant leurs quatrièmes puissances , on aura

b se — 2ga + oa (a» + C« ), c» = ya* »» Ct ;

DYiUMIQUE, PREMIÈRE PARTIE et l«s formules (6) cl (6) deviendront

L'ongle 4 fcrn connaître la position du plan vertical MCR , dans lequel le pendule se trouve à chaque instant ; il pourra croître indéfiniment. L'angle I déterminera , aussi à chaque instant, la position du pendule dans ce plan variable . on lo regardera comme une quantité positive , et les positions du pendule, également éloignées des deui côtés de la verticale CB, répondront a un même angle t et à des valeurs de 4 qui différeront entre elles de l8o».

dï

D'après la valeur de — , tirée de la première dt

équation (a), on voit que l'angle • sera toujours compris entre * et C. Si l'on a C sa *, on aura constamment I = en divisant les équations (a) l'une par l'autre, on a , dans tous les cas,

dans le cas de « = ■ = C, on aura donc

par conséquent , le pendule décrira alors uniformément un cône droit à base circulaire, et le temps

2irJ/ -, c'<

dire, le même que celui d'une double oscillation dans le plan vertical ACR. Ainsi , deux pendules de même longueur a, qui partiraient ensemble de la droite CA, l'un sans vitesse initiale et l'autre

avec une vitesse perpendiculaire au plan ACB et

égale à « l/ja, reviendraient ensemble a cettedroite CA.