EXEMPLES DU MOUVEMENT C DU MOBILE ENTIÈREMENT LIBRE
§ 1". Mouvement des projectitee.
208. Dans ce paragraphe , nous nous occuperons particulièrement des projectiles de l'artillerie, qui sont lancés avec de grandes vitesses, et soumis à la pesanteur et à la résistance de l'air.
Faisons d'abord abstraction de celte résistance, et considérons un point matériel pesant qui part du point 0 (fig. 48), avec une vitesse a dirigée suivant la droite OA. Il est évident que le mobile ne sortir i pas du plan vertical pastout par celte droite. Soit OMD sa trajectoire dans ce plan, laquelle sera tangente à OA. Dans ce même plan , menons deui axes 0* et Oy, le premier horizontal , et le second vertical et dirigé en sens contraire de la pesanteur. Prenons ces axes pour ceux des coordonnées ; au bout du temps quelconque t, soit H la position du mobile, s son abscisse OP, el y son ordonnée PM. Désignons par y la gravité. Enfin , appelons a l'angle aigu AO* que fail la vitesse initiale a avec l'axe Ox, de sorte que ses composantes soient a cos a suivant cet oxe, cl a sin » suivant l'axe Oy:
l'angle a serait négatif , si la droite OA était située au-dessous de Ox.
D'après ce qu'on a vu dans le n° 148, les montemens des projections du mobile sur les deux axes 0* cl Oy seront indépendans l'un de l'autre ; le mouvement de sa projection horixontale sera donc uniforme et dû à la vitesse a eos a, et celui de sa projection verticale sera dû à la vitesse initiale a siu « et à la force constante y agissant en sens contraire de cette vitesse; par conséquent , on aura
* = t a cos a , y as t a sin a gf ;
et si l'on élimine t , et qu'on suppose la vitesse a
due à une hauteur h, de sorte qu'on ait o = ^/'igh, il en résultera
y = * tane a
4/t ens» a ,
pour l'équation de la trajectoire.
DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE
Cette courbe est donc une parabole qui a son grand axe vertical; son sommet, déterminé par oy
l'équation — = 0, répond à dx
m = 2h cos • sin », y = k sin» « ;
et elle rencontre Tue 0* en un second point R, tel qu'eu appelant h la distance OR, ou a
h — 4k sin « cos • = 2k sin 8».
Cette distance h est ce qu'on appelle ['amplitude du jet. Dans le vide, son maximum répond, comme on toit , à • = 46», et il est égal à 2k, c'est-à-dire double de la hauteur duc à la vitesse initiale.
En appelant v la vitesse du mobile an bout du temps i, et substituant les différentielles des valeurs précédentes de * et y dans l'équation
dp
il!
v* — a> — 2agt siu « + y» f* .
Le temps que le mobile emploie è arriver au point R en décrivant la courbe OCR, est le même que s'il décrivait la droite OR avec la vitesse a cos *; il est
4k sin ».
a cos «
elà<
■ de k = —, il en résulte y* = 2a sin
ce qui donne v* ss a*. La vitesse en ce point R est la même qu uu point 0; elle est dirigée suilu tangente RE, et l'ungle de chute ERx est i le même que l'angle de projection AOx.
Si le mobile, au lieu d'être un point matériel, est un corps solide , de forme et de dimeusious quelconques, on verra par la suite que ces équations du mouvement parabolique devront être rapportées k son centre de gravité.
209. La vitesse a étant donnée , si l'on demande quel doit être l'angle « pour que le mobile atteigne
at = C et y = y, ou mettra ces valeurs daus l'équation de ht trajectoire, et l'on aura
> = <Un *---4Tc^' pour déterminer ». Eu faisant
ta u g a — s , cos* * =s . , ■ ' 1 + s»
celte équation devient
4ky + Ct — -lACa + C« «a = 0; d'où l'on tire
t — — ± — 1/ 4k* — 4ky — C» .
Cette double valeur de s ou de tuug « nous montre qu'on peut atteindre un but donné , en tiraut sous deux directions différentes , tant que 4h surpasse 4ky -f- C« ; que ces deux directions se réduisent à une seule , lorsque ces deux quantités sont égales; et qu'on ne peut atteindre le but, aucune direction , quand 4k* est moindre 4ky + C«.
Ainsi , en traçant daus le plan vertical qui passe par la direction initiale du mobile, la parabole dont l'équation est
4ky + C = 4k* ,
cette courbe divisera le plan en deux parties , telles que tous les points de la partie extérieure serout garantis de toute atteinte , que ceux de la partie intérieure pourront être atteints de deux manières différentes, et ceux de la ligne de séparation, d'une
210. La théorie du mouvement des projectiles serait donc très simple, si l'ou pouvait négliger la résistance que l'air oppose à leur mouvement; mais dans le cas dei grandes vitesse* dont nous nous occupons spécialement, cette furce est beaucoup trop considérable pour qu'on en puisse faire abstraction : elle change entièrement la forme de lu trajectoire et les lois du mouvement sur cetté courbe, ainsi qu'on va le voir.
Quelles que soient la forme et les dimensions dd projectile, on fera voir, dans un autre chapitre, que son centre de gravité aura le même mouvement qu'uu point matériel pesant, dont la masse serait celle du mobile , qui aurait une vitesse initiale donnée en graudeur et en direction , et auquel on appliquerait en outre , parallèlement à elles-mêmes, les forces provenant de la résistance et du frottement de l'air , qui s'exerceut a la surface de ce corps solide. On verra aussi que la force motrice qui résulteru de ces résistantes transportées au centre de gravité , pourra quelquefois faire sortir ce point du plan vertical mené par la direction de la vitesse initiale; mais ici nous supposerons que ce cas n'ait pas lieu, et que la force mo trice dont il s'agit soit constamment tangente à lu trajectoire du centre de gravité.
Cela posé , pour former les équations de sou mouvement , conservons toutes les notations précédentes , et supposons qu'elles se rapportent maintenant à la figure 49, où lu trajectoire OMD u'esl plus une parabole. Soit, eu outre, «l'arc OU décrit par le mobile au bout du temps t, et R In force motrice provenant de la résistance de l'air , qui sera dirigée suivant la partie 31 T de la tangente en M. Les cosinus des angles que fera celte droite MT avec des axes menés pur le point M suivant les directions des * et des y positives, serout
tile et y la gravité, nou»
d» s R ds d' y
R dy
«/,. m ds ' «if» " «
pour les équations du mouvement de son centre de gravité.
Je prendrai pont ce projectile une sphère homogène ou composée de couches concentriques dont chacune sera homogène ; en appelant D sa densité moyenne et r son rayon , on aura alors
4«Dr> * ~ 3 •
Je supposerai aussi, conformément aux hypothèses généralement admises , la force R proportionnelle nu carré de la vitesse du centre de gravité, à la surface du projectile , et à la densité de l'air ; il en résultera
R Hf ds»
m Dr df*
f étant celte densité , et n un facteur numérique qui devra être déterminé par l'expérience. Cette expression satisfait à la condition de l'homogénéité
R d'* des quantités; car — et le rapport de — a r sont
m dt* deux quantités de la même nature que la gravité
g , et les facteur» n et — sont des nombres abs- D
traits. Pour plus de commodité, je ferai
Dr ~~
de sorte que — soit une ligne dont la longueur
sera donnée , et que je regarderai comme constante , en faisant abstraction du changement de densité de la masse d'air que traverse le projectile.
