En mettant à la place de —, sa valeur c
m dt'
les deux équations du mouvement deviennent
L'intégrale de la première est **
— = a cos • • , dt
ds
en observant qu'on a — = a cos • , au point 0 où dt
t = 0, et désignant par « la base des logarithmes népériens. La forme de la seconde ne différant de celle de la première que par son dernier terme , je fais, pour l'intégrer,
dy dm 7t~ F dt'
0 étant une nouvelle dy
cette valeur de — dans la seconde équation (1), et dt
ayant égard à la première, il vient
ds dp ~dtlt~~
Je divise cette valeur par le valeur précédente ; il
dp ds g
dt ' dt
ds
— ou de sa dt
o» cos» •
En considérant y et p comme des fonctions de • ,
dy ds dy dp ds dp P ~ ~dt ' dit ~ ds' dt' dt ds' ■i donc on fait toujours a* = 2gh , l'équation pré-
ds
2h cos» •
d* s ds ds
dO dt dt
d'y d, dy
dt- dt dt
et ce sera l'équation différentielle de la trajectoire. Ou a
l/ 1 + j>» ds = d» ;
en multipliant membre à membre ces deux dernières équations, on aura donc
doù il suit, en intégrant et constante arbitraire,
par y la
1 1/ i+p' + 'og (p + l/i+p' ) = y -
•ich cos» «
Pour déterminer y , on fera , a la fois , s = 0 et p = tang «; ce qui donne
+ tunn * l l + UnV * + log (tang at + [/ l + tang» «) ,
, pour abréger, je conserverai y à la plane de j dx=z—2hcos t »e - >"dp, dy—pdx, gdt, ——dxdp ; valeur.
D'après les équatious précédentes, on a
en éliminant l'exponentielle au moyen de l'équation (3), nous aurons donc
cdx
dp
cd = p±
y c S dt —
-dp
[y~p l/i+p* — iog {p + \^ï+p> ){*~ '
formules qui ne sont point intégrnbles sous forme finie : dans la dernière , on regardera le radical comme «ne quantité positive , parce que l'angle dont p est la tangente diminue quand le temps augmente.
212. Si l'on appelle m cet angle, c'est-à-dire, l'inclinaison ITx de la tangente à la trajectoire, sur J'aie horizontal Ox , on aura
dm
p tang m, dp =
' cos« •
Les valeurs de x , y, t, déduites des équations (4) , seront de la forme ftidm ; l'intégrale étant prise de manière qu'elle s'évanouisse au point 0 où l'on a « = a., et il désignant une fonction donnée de ». On calculera ces trois valeurs, pour chaque point H, par la méthode des quadratures (n« lft). De cette manière , on pourra construire la trajectoire par points, et l'on connaitru le temps t que le mobile emploiera h décrire chaque arc OH, dont la longueur « sera donnée par l'équation (3). Quant à la vitesse du mobile au point M, on aura
ds> dt*
dt* dp'
et , par conséquent ,
Cf>
En étendant ces intégrales jusqu'à » = 0, on déterminera l'abscisse et l'ordonnée du point C, le plus élevé de la trajectoire. Si l'on donne ensuite à m des valenrs négatives , on déterminera les points de la branche descendante CBD de la trajectoire. Quand on sera parvenu à une valeur — * de », pour laquelle l'ordonnée y de la trajectoire sera nulle , la valeur correspondante de t exprimera l'amplitude du jet OB, qui ne sera plus double de l'abscisse du point C, comme dans le cas du vide , et dont le Maximum , par rapport h «, répondra à un angle moindre que 40» et dépendant de la grandeur de la vitesse initiale. L'angle *' ou EBx et la vitesse au point B différeront aussi de a. et a.
toutes les circonstances du mouvement ( , et la solution du problème est
complète, sauf la longueur des calculs numériques qu'il faudra exécuter dans ohaque cas , lorsque les valeurs des trois constantes h, m, c, contenues dan* les formules précédentes, seront données.
213. Le mouvement du projectile sur la branche descendante de la trajectoire , approche de pins en plus d'être vertical et uniforme.
En effet, soient *, , y, , #, t les valeurs de *, y, t, qui répondent au sommet C; transportons l'origine des coordonnées en ce point , et faisons
en sorte que *' et y' soient l'abscisse et l'ordonnée du point quelconque M' (fig. 60) de la branche descendante , rapportées h l'axe horitontal C*' et h l'axe Cy' qui est dirigé dans le sens de la pesanteur, et que t représente le temps employé à parcourir l'arc CM'. Soit aussi p' la tangente de l'ungleM'TV que fait la tangente à la courbe en M' ovec l'oxo C*'. Nous aurons
et à cause de
l°g tl/l + P« - P* ) = - log (p- + L/l+p<. ). la première équation (4) deviendra
dp-
cdx» r= -.
en faisant, pour abréger,
y + P' 1^1 + p'« + log (p' + KhFp 7 ' ) = P'..
L'angle aigu B'T x J pouvant approcher continuellement d'un angle droit, la variable p' croîtra indéfiniment; mais il n'en sera pas de même à l'égard de x 1 . Pour de très grandes valeurs de p, on pourra
mettre p' h la place de \/\ + p » ; et en négligeant y + log 2 par rapport à p'» , on aura
p» = p'» 4. log p>* ,
ou simplement P' = p* , en observant que le lo-
TRAITÉ DE MÉCAMQVK.
garithme d'une quantité trèi grande p'* , et, à plus forte raison , 1/2 log *V>, est très petit relativement a cette quantité : on mira donc , pour ces valeurs de p',
dp'
oV - -; cp'«
en intégrant et désignant par C une quantité constante , et il en résultera
cp>
ce qui montre que les valeurs de x' ne croîtront pat indéfiniment avec celles de p'. Cela étant , soit
dp'
q sera une ligne de grandeur finie, qu'on pourra calculer par la méthode des quadratures ; et si l'on prend sur Cx' une partie CA égale ù cette ligne , la verticale AB menée par ce point sera une asymptote de la partie CD de la trajectoire; en sorte que le mouvement du projectile sur cette brandie descendante , approchera indéfiniment de la direction
Observons, de plu», que pour les très grandea voleurs de p', les deux dernières équations (4) ae réduiront à
dp 1 dp> <*t = -, V"}*< = -; P' P
d'où il résultera
par conséquent , le mouvement final et vertical du projectile sera uniforme; M qu'il s'agissait de démontrer. La vitesse de ce mouvement sera celle qu'un corps pesant acquiert en tombant d.tns le
vide, d'une hauteur égale à — ; et c'est aussi ce
que Ton conclut de la formule (ft) , en mettant — p' au lien dep, et considérant ensuite p' comme une très grande quantité.
En faisant, dans la première équation (4),
p = tang., et , pour abréger »
dp =
[y — tang m j/l + tang» V— Ing (tan* • + J/t + tang» m) ] cos = — ,
on en déduira
pour l'abscisse dn point C. Si donc on prend sur OG («g. 40), un point F, tel que l'on ait
OF = x, + q,
la verticale FG, menée par ce point F, sera l'usymptote de la branche descendante de la trajectoire.
214. Soit ON le prolongement de li trajectoire OCD; le point de départ du mobile étant O, le
mouvement n'aura pas lien sur cette partie de la courbe; mais on peut, néanmoins, désirer d'en connaître la forme. Or, on la construit par points, au moyen des deux premières fornnihs (4), en y donnant n p des voleurs positives et plus grondes que tang «; et il est aisé de s'assurer qu'elle n aussi une asymptote, mais qui n'est pas verticale, comme celle de la branche descendante.
Pour cela , j'observe que , d'après la valeur de y dti n n 21 1 , il y a toujours un angle C aigu , et > m, qui est tel que o = tang C rend nul le dénominateur commun de ces deux formules , c'est-à-dire , un angle C qui satisfait à l'équation
y — tang C [/ 1 + tang* C — lng (tang C + [/ 1 + tang' C = 0. (8)
Cela étant , on voit par la valeur de dp, tirée de Tune ou l'antre des deux premières équations (4) , que l'abscisse x et l'ordonnée y croissant indéfiniment , abstraction faite du signe , dans cette portie OS de la courbe, la quantité p cesse de croître, lorsqu'elle diffère infiniment peu de tang Cj en sorte que p ne peut jamais dépasser ni même atteindre rigoureusement celte valeur p = tang C; ce qui signifie que la branche de courbe ON a une asymptote qni coupe le prolongement de l'axe Oisons l'angle C. On déterminera sa distance au point O de la manière suivante.
Je mène par le point O un axe qni fasse, avec le irolongement de Ox, «n angle égal au complément
de C, et qui soit par conséquent , perpendiculaire ù l'asymptote de ON. J'appell" m l'abscisse d'un point quelconque de la courbe, comptée sur cet axe à partir du point O; les coordonnées de ce point , par rapport aux axes Ox et Oy, étant toujours r et y, on unr»
si = y cos C — x sin C
En différentinnt et mettant pour ds et ûty 1, urs T "leurs données par les deux premières équations (4), il vient
cosC (tang C — p) dp
edu —
[r-p l » + p« - log ( P +\A +p» )J
DT.NAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE
12fi
formule dam laquelle on donnera a p de» valeurs plus grandes ou plus petites que tang a, selon qu'il s'agira d'un point de la partie ON ou de la partie OH de In courbe. On peut retrancher de son dénominateur le premier membre de l'équation (8), mul-
tiplié par cos C; et si l'on fait , en outre .
dm
p — lang -, dp — — - .
cos» m
et , pour abréger ,
tang C |/l + tang» C + log [tang C + 1/ I + t.mg» C) — tang » |/l + tang» 2 — log (tang m + \/ ! -f long» m ) = U,
il en résultera
(t ang C — tang «) dm cU cos C cos» m
Or , en faisant
t~ fm
(tang C — tang m) dm 0 cos» m
t sera une ligne de grandeur finie , que l'on calculera par la méthode des quadratures , et qui eipriraera la valeur de m relative à l'asymptote de ON, c'est-à-dire, la longueur de la perpendiculaire abaissée du point 0 sur cette droite , qu'il s'agissait de déterminer.
Cette droite osymplotiqne aura pour équation
y cos C — s sin C = r;
en sorte que si l'on prend sur le prolongement de 0* nn point H tel que l'on ait
sin C
l'asymptote de la branche ON sera la droite HK, menée par le point D, et faisant avec le prolongement de 0* un angle KIIO supplément de C. Les deux asymptotes FG rt HK. prolongées au-dessus de l'aie 0*, se rencontreront en un point L, de manière qne la courbe entière sera comprise rions l'angle Kl.G , dont le complément est l'angle C déterminé par l'équation (fi).
215. Lorsque l'angle de projection AO* ou « est très petit (fig. 51), le projectile ne s'élève qu'à une petite heutenr au-dessus de l'axe horizontal Ox , mené par son point de déport. Or, dans ce cas, on peut obtenir, avec une approximation suffisante, l'équation en x et y de la partie OCB de la trajectoire, située au-dessus de Ox; et même on peut étendre cette équation jusqu'à un point D, dont la distance à cet axe n'est pas très considérable.
En effet , dans toute celte partie OCB, ou même OCD de la trajectoire, la tangente à cette courbe sera presque horizontale, et la quantité p très petite; en négligeant le carré de p, on aura donc
ds — d x , * = x .
et l'équation (2) deviendra.
dx dx> ih , 0J ' *
En intégrant deux fois de snîte , et déterminant les
dy
constantes arbitraires de manière qu'on ait — =r
tang • et y = 0, quand m == 0, il vient
y — x tang * — - — (e"* — 2e* — 1) ,
' 8c» h cos» » v '
pour l'équation approchée de la trajectoire, qu'il s'agissait d'obtenir. En développant l'exponentielle qu'elle renferme, réduisant et faisant ensuite c= 0, elle devient l'équation exacte He cette courbe dans le vide.
D'après l'équation gdf = — dxdp du n» 212, et dp
la valeur précédente de — , on aura
\/2gh cos « et , par conséquent ,
ce qui fait connaître le temps t que le mobile emploiera n parcourir une portion quelconque OU de la courbe OCD.
218. Supposons que le projectile vienne tomber sur le terrain en nn point D; représentons par x l'a baissement de ce point au-dessous du plan horizontal , mené par le point 0, on la perpendiculaire DQ à l'aie Ox; soient aussi / la distance OQ, et r le temps employé à aller du point O au point D; nous aurons , à la fois ,
* = /, y = — X , t = r, et en remplaçant, pour plus de simplicité, cos» • par l'unité dans les formules précédentes , il en résultera
8c« h (x + / tang .) = - W - 1, j
rc\/iyh = — 1.
Lors donc que les deux constantes A et c seront données , et qu'on aura mesuré l'angle « et l'élévation x du point 0 au-dessus du terrain , ces équations feront connaître la porti* horizontale l, et In durée r du trajet du projectile. Réciproquement . quand on connaîtra «, x, l, r, par des mesures directe», ces équation* pourront senir à déterminer
le coefficient c de la résistance , et la hauteur h due à la vitesse initiale. En éliminant A, on o
4 (x + / tang •) (•" — 1)« = jr» (#»<■' —2c/ - 1 ) ;
équation d'où l'on tirera la valeur de c ; l'une de» denx précédentes donnera ensuite immédiatement la valeur de h.
Il existe encore de l'incertitude sur les grandeurs des portées et des vitesses initiales. D'après Lombard , pour un canon de 24 chargé nu tiers du poids du boulet, In vitesse initiale est de 463 mètres par seconde ; et pour un canon de 12, dont la charge est aussi le tiers du poids du projectile, cette vitesse s'élève à 494 mètres. Suivant le même auteur , les portées correspondantes et relatives a x r= 0, sont 700 mètres dans le premier cas, en supposant m = 1° 15' 6", et 660 mètres dans le second cas , en supposant « = 1° 5' 36".
Au lieu du temps r, on pourrait employer à la détermination de h cl de c, une seconde portée du même canon à une élévation différente au-dessus du terrain. Ainsi , en supposant que le poids du projectile, celui de la charge et l'ongle s ne soient pas changés , les quantités * et c resteront aussi les mêmes; et si x et / deviennent x' et t, on aura
8c« h (x' + t tang «) = — 2cV - 1 ;
d'où il résultera
(x + / tang m) («'"* - 2c/* - 1)
= (x' + T tang *) (•"' — 2c/ — 1) , (&)
en éliminant h au moyen de la première équation (a).
Les auteurs de Balistique ne sont nullement d'accord sur la grandeur du nombre n qui entre dans l'eipression du coefficient c, savoir (n<> 210),
° ~ Dr
D'après une théorie très imparfaite de la résistance des fluides , ce nombre n serait 3/8; mais toutes les eipéricnces le donnent plus petit , et Lombard le fait égal à 9/40. L'équation (ij fournirait le moyen le plus susceptible de précision pour lu détermination de c, en supposant bien connu et invariable, l'angle de projection ».
§ II. Mouvement de$ planètes.
217. Les lois du mouvement des plunètes autour du soleil sont connues sous la dénomination de Lois de Kepler , parce qu'elles ont été découvertes par cet astronome, qui les a déduites de l'observation. Elles sont au nombre de trois . dont voici les énoncés :
1° Les planètes se meuvent dans des courbes planes , cl leurs r.iyons vecteurs décrivent, autour du centre du soleil, des aires proportionnelles au temps.
2° Les orbites, c'est-à-dire, les trajectoires dei planètes, sont des ellipses dont le soleil occupe un des foyers.
3° Les carrés du temps des révolutions des planète* autour du soleil sont entre eux comme les cubes des grands aies de leurs orbites.
Toute l'importance de ces lois n'avait pas d'abord été comprise; c'est Newton qui en a montré l'usage pour déterminer la force qui retient chaque planète dans son orbite , c'est-à-dire , la direction de cette force et les variations de son intensité , soit d'une position ù une autre d'une même planète, soit d'une planète à une autre. On verra , en effet, dans ce paragraphe , que chacune de ces trois choses est une conséquence nécessaire des trois lois du mouvement planétaire que l'on vient d'énoncer.
Ces lois se rapportent au mouvement du centre de gravité de chaque planète ; c'est le mouvement de ce point que nous allons considérer; et quand il sera question de la position ou de la vitesse d'uno planète, il faudra entendre la position ou la vitesso de son centre de gravité.
218. Soient AMBI) (lig. «2) l'ellipse décrite par une planète , AB son grand axe , C son centre , O et O' ses deux foyers , O celui qui est occupé par le centre du soleil , B le périhélie ou le point de l'or» bile le plus rapproché de 0, A Yaphilie ou le point le plus éloigné du soleil.
Au bout du temps / qui sera compté à partir du passage de la planète a son périhélie, soit M sa position sur l'orbite. Désignons par r son rayon vecteur OUI, et par 6 l'angle MOB que l'on appelle , en astronomie , Vanomalie vraie. Le secteur décrit par ce rayon pendant l'instant dr, sera 1/2 r» di (n<> 156); d'après la première loi de Kepler, on aura donc
r» rf» = cdt ; (1)
c élant une constante égale au double de l'airo décrite dans l'unité de temps , et et le double de l'aire MOB décrite dans le temps quelconque /. Soient aussi
O'M = r 1 , CB = CA = a, C0 = CO* = ae.
D'après une propriété de l'ellipse, ou aura
dans le triangle O.MO, ou a aussi
r 1 » — r» -f- 4ro« cos t + 4a» e« ;
et si l'on éliminer' entre ces deux équation* , il vient
pour l'équation de la trajectoire.
Pour toutes les planètes connues avant ce siècle, V excentricité e est une fraction très petite. Il faut excepter laplunète mercure dont l'excentricité surpasse un cinquième; celle de l'orbite de la terre est
dynamique, première partie.
oo, à peu près , un soixantième. La plus grande était celle de Mars, qui surpasse neuf centièmes ; c'était donc pour cette planète que le mouvement elliptique devait être le pius différent du mouvement circulaire excentrique , que l'on adoptait avant Kepler ; et c'est , en effet, dans les observations de Tïcho-Brahé , relatives à reltc planète, que Kepler a reconnu d'abord la différence de ces deux mouvemens. Si l'on développe les valeurs de r et t, en séries ordonnées suivant les puissances de t, ou de l'équation des aires proportionnelles au s, jointe à celle de la trajectoire elliptique on à celle de la trajectoire circulaire excentrique , on trouve que pour un même temps f, les développemens correspondans à ces deux courbes, ne différent que dans les termes qui dépendent du carré ou des puissances supérieures de «; circonstance qui rendait , k l'époque do Kepler , la différence des deux mouvemens très difficile à découvrir.
219. Si l'on appelle T le temps de 1> révolution d'une planète, et qu'on fasse
cette constante n sera la vitesse moyenne angulaire, et»! le moyen mouvement de la planète.
Imaginons un astre fictif dont le mouvement soit uniforme, et qui parte du périhélie et achève sa révolution en même temps que cette planète; son rayon vecteur décrira l'angle nt, pendant que celui de u planète décrit l'angle t, l angle • — nt, cornpris « une époque quelconque entre ces deux s, est ce que les astronomes appellent Véonamire: il est positif, et la planète précède riâtre fictif, en allant du périhélie ù l'aphélie; le contraire a lieu en revenant du second point au premier. Le maximum Je l'équation du centre dépend de la grandeur de l'excentricité.
En prenant le jour moyen pour unité de temps, et mettant 360° au lieu de 2*, on a , relativement à la terre.
T = 365^,266374, » = 0>ôV8".
Cette valeur de T est la durée de Tannée aidirale , ou l'intervalle de temps qui s'écoule entre deux retours consécutifs du soleil à une même étoile, dans son mouvement apparent autour de la terre. L'intervalle compris entre deux retours consécutifs à un même iquinoxt, est plus court, à cause que les points équiuoxiaux ont sur VicUptique un mouvement rétrograde, ou en sens contraire de celui du soleil. En prenant 6l) ',23427 pour la pricession annuelle en 1800, et observant que le rayou vecteur du soleil emploie 0>,014158, à décrire ce petit angle , il en résulte
pour la longueur de l'année iquinoxiaie au commencement de ce siècle. L'année sidérale est constante; mnis la précession des équinoxes varie un
peu , et , par conséquent aussi , l'année éqninoxiale : sa longueur diminue d'à peu près une demi-seconde par siècle.
220. Ln constante c aura pour valeur le double de la surface de l'ellipse divisé par T; eu observant
que le demi-petit axe est a \/ 1 — e* , et la surface «a» y/ 1 — «» , on aura donc
Au moyen de cette valeur et de celle de n, l'équation (1) devient
r»d» = na> #« ;d/.
L'équation (2) donne
a l/l -r« dr
par conséquent , on aura
rdr
Pour intégrer ces formules , faisons
r = a ( 1 — « cos u) (o)
nous aurons dr = ae sin «i , wdt = (1 — » ros «) du ,
à cause de r = a (1 — e] au point B, il faudra que l'angle u soit nul en ce point où l'on a aussi t = 0; en intégrant , on aura donc
ni = * — • sin u. (t)
En mettant pour r sa valeur dans celle de d», El observant que cos u = cos» 1/2 u — sin» 1/2 u, il en résulte
L/"T=r,. du
1 — e cos» — « + e sin' —
et si l'on fait
tang — « = s ,
cette valeur devient
du
cos» — «
rfs =
En intégrant et observant que » et u sont téro eu
même temp» , c'est-à-dire, au point B, on aura
«rc
d'où l'on conclut
i /rxr 1
tan y — I ^ IX — — — tan g — u ,
en remettant pour s sa valeur.
Ces trois équations (u), (6), te), expriment , sous forme finie, les valeurs de r, »</, I, uu moyeu de la variable auxiliaire M, qu'on appelle Y anomal* excentriquê. Eu éliminant u entre elles , ou aura les deux coordonnées polaires r et 6 de la planète en fonctions du temps , sous forme de séries ordonnées suivant les puissances de l'excentricité , qui seront, par conséqueut , 1res convergentes duns le cas des anciennes planètes. Après qu'on aura formé ces séries, on y pourra remplacer les puissances de cos nt qui se trouveront dans le développement de r, et celles de sin nt que renfermera le développement de • — nt, par des cosinus et des sinus des multiples de nt. Si l'on conçoit qu'on ait ensuite ordonne ces développcinens du rayon vecteur et de l'équation du centre suivant les cosinus ou sinus des multiples croissuns de nt, on pourra déterminer directement, par l'analyse suivante, les valeurs des coefficiens de ces deux séries en fonctions de l'excentricité.
