Je fais

r=A 0 , -f A , c osn/-j- A ,cos2«<4- . . . -J- A.-cos int Jftlc . , 6 — »t— B, siu n/-|-B, sin 2nr-J-, ..-j-B, sin înl-J-ctc. j

A», Ai , Ai , etc. , B, , B' , etc. , et généralement A< et Bi, étant les coefficient qu'il s'agit de déterminer.

Si s et s' sont deux nombres entiers positifs et différens, on aura , en effectuant les intégrations,

cos sur cos s*»* d nt = 0,

* »w«tf sinstod-n^Oi et dans le cas de s = s*, on trouvera

COS' in ! d . PI t — — ■ ,

sin> ùsl d. nt sa — ».

Ces dernières formules ne s'appliquent point à

s'= 0; dans ce cas, la première inté-ralo est égale à w, et la seconde à léro

Cela étant , je multiplie le développement de r par cos int d. nt , et celui de I — nt par sin tut d, nt ; puis j'intègre depuis nt = 0 jusqu'à nt = x. Tous les termes s'évanouissent, excepté ceux qui ont A^ ou B,- pour coefficient, et l'on en conclut

r cos tnt d. ni ,

*i=-J*\i — nt) sin tnt d nt.

Dans le cas de s — 0, on aura, en particulier, Ao = — / r d. nt,

c'est-à-dire qu'il faudra réduire à moitié la valeur générale de A;. Eu intégrant par partie, et observant que 1 — nt est xéro uux deux limites nt — 0 et sj<=», l'expression de Bi pourra étro remplacée par celle-ci :

B; = — / cos int d (• — nt).

Je substitue à la place de r, nt, s, leurs valeurs en fonctions de u, tirées des équations (a), (t), (*); à cause de

du

dut

= 1 - . cos tl,

et parce que u = 0 et u = ■ répondent à nt = 0 et nt = w t il en résultera

Ai= — ^ (l— ê cos si)» cos (ùi—iê sin s») du,

» fm c ostsu-ùsins» ) *=-JAVl-» -b-*»»*/} i.cos*d„

formules qui feront connaître les valeurs numériques des coefficiens Aj et Bi, soit par la méthode des quadratures, soit par la réduction en séries. Pour cette réduction , on aura, par le théorème de Taylor,