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(s* — *# sin s») = ( 1 sin» st + sin* u — etc. ^ co. su
/ * ** \ ■+■ ( M sin « mu' si + etc. )
sin tu;
DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE
et il en r&nltera pour Ai et H, de* séries d'intégral** relatives à u, dont les valeurs exactes s'obtiendront toutes, soit immédiatement, soit par des formules connues; en sorte que l'on pourra prolonger ces déveioppemens de Ai et B, aussi loin qu'on voudra. On pourra même obtenir leurs termes généraux en fonctions de s* et de «; mais ce n'est point ici le lien d'insister davantage sur ce sujet , qui appartient spécialement a l'Astronomie. Relativement a s sa 0, on a
a r w 1 A„=- / (l-.eossf. d M = a(l I,
en ne prenant que la moitié de la valeur de Ai, qui répond à s = 0 : c'est le seul des coefficiens A 0 , Ai , A t , etc. , Bi , B, , etc., dont on puisse obtenir la valeur exacte.
222. Si l'on appelle v la vitesse de la planète au bout du temps t, et t l'angle que fait sa direction avec le prolongement de son rayon vecteur rou OM, on aura (ri° 156)
aV* -f- r* dt*
r sin t sb r — .
dt
En éliminant dt «u moyen de 1 équation (1), on a
(r J ci e — 7 H , v sin t = — .
rfl' r» r
En îtriii de l'équation (2), on a aussi
1 + ' < 0> * ^ • sin I
r - a (1 — #* ) ' dH " « (1 — «• ) ;
d'où il résulte
a* (1 — e* Js r» ss (1 + 2« cet i -f *« ; c« , et, par coaséquent,
ce qui montre comment, dans le mouvement elliptique , la vitesse et la direction du mobile en «-haque point se déterminent an moyen de son rayon vecteur. D'après la valeur de c du n» 220, i être écrite ainsi :
Ces formules, jointes a celles des numéros précédens, font connaître complètement le mouvement d'une planète dans le plan de son orbite; mais quand on veut considérer à la fois les
de deux ou de plusieurs planètes, il est nécessairo de rapporter la position de cha cune d'elles à un autre plan, qui est ordinairement le plan de Vicliptique ou de l'orbite de la terre.
223. Soient NON' (Gg. 63) l'intersection du plan de l'orbite d'une planète avec un plan passant par le centre 0 du soleil, OE une droite menée dans ce second plan, OM' la projection du rayon vecteur OM de U planète sur ce même plan. Désignons par y l'inclinaison des deux plans, par « l'angle NOE, par • l'angle BON que fait le rayon vecteur OB aboutissant au périhélie avec la droite ON. Ces trois angles y , t» , devront être donnés, et ils détermineront le plan de l'orbite et la position de l'clli pse dans ce plan. Soient aussi v et -i les angles variables MOM' et M'OE, que fait le rayon vecteur OM avec sa projection OM', et cette projection avec la droite OE, lesquels angles détermineront, à chaque instant, la direction du rayon OM aboutissant à la planète.
Cela posé, considérons l'angle triédre qui a son sommet au point 0, et dont les trois arêtes sont OM, OM', ON. L'anomalie vraie, ou l'angle MOB, étunt toujours I, les trois faces de cet angle trièdre seront
MON = MOB -f BON = I + „,
