M'ON = M'OE - NOE = 4

la première sera opposée à un angle droit, et la troisième à l'angle y. D'après les premières règles de la Trigonométrie spheriqur, un aura donc

tan:

sin a = sin y sin ( • -f- « ), ^4 — *} = cos y tang (• -f-

et l'angle I étant connu en fonction do t, par ce qui précède, chacun des angles « et 4 le sera aussi, au moyen de ces formules.

Lorsque le plan donné sur lequel on compte l'angle 4 est l'écliptique , et que la droite OE, à partir de laquelle on compte cet angle, dans le sens du mouvement de la terre, est celle qui va du soleil à I equinoxe du printemps, les angles 4 et e s'appellent la longitude et la latitude de la planète que l'on considère. La droite NON' est la ligne des nœude de son orbite ; si elle entre dans l'hémisphère boréal quand elle traverse le plan de l'écliptique au point N , ce point est le nœud ascendant, et N' le nœud descendant. Selon qui; la planète se trouve dans cet hémisphère ou dan» l'hémisphère austral, la latitude • est positive ou négative, et l'angle MON, ou 8 «, est plus grand ou moindre que l8u°. L'angle * s'étend depuis — 80° jusqu'à 80°, et l'angle MON, ainsi que la longitude M'OE, depuis xéro jusqu'à 3UD 4 .

Si l'on remplace le point 0 par le centre de l.i terre, que l'on prenne l'équateur pour le plan donné sur lequel on compte l'angle 4» e * pour origine de cet angle la droite OE qui va de ce centre au premier point du signe aries, les angles

4 et a seront alors Yascensiom droite et la déclinaison de la planète. En appliquant les formule* précédentes au mouvement apparent du soleil autour de la terre, on aura • = (>, y exprimera V obliquité de l'écliplique , et Ton devra prendre pour • + m la longitude de cet astre; d'où il résulte qu'en la désignant par x, on aura

sin 9 = sin y sin x, tang 4 = cos y tang x,

et, en

sin # =

Sin y

tang 4

.l/cos.y-Hong'4

Les plus grandes déclinaisons boréale et australe répondent à x = 90° et x = 270", et sont ± y . Cet angle y est aussi celui que fait Taxe de rotation de la terre avec la perpendiculaire au plan de récliptique ; il est soumis à une petite inégalité qu'on appelle la nutation , dont la période est d'environ 18 ans, et le maximum de 8",4 seulement. Sa me, ou commencement de 1800,

elle diminue de 0 M ,46692 par année.

224. Dans tout ce qui précède , on n'a point eu égard à la force qui agit sur chaque planète, dont le mouvement a été déterminé d'après les données de l'observation , et sans recourir aui principes de la Dynamique ; il s'agit maintenant de déterminer les lois de cette force, ainsi qu'il a été dit précédemment (n° 217).

Il suit de la première loi de Képler que la force qui retient chaque planète daus son orbite est constamment dirigée vers le centre du soleil ; quoique cette conséquence nécessaire de la proportionnalité des aires au temps ait été déduite des équations du mouvement dans le n° i •">•*>, il ne sera pas superflu d'en donner ici uue démonstration synthétique.

Soit H, H (fig. 64) le côté de la trajectoire que le mobile décrit pendaut un temps r infiniment petit. Arrivé au point M, si aucune force n'agissait sur ce mobile, il décrirait, dans un autre temps r, une partie Mat du prolongement MT de M, M, égale à M, M; mais, à cause de lu force à laquelle il est soumis, il se transporte, dans ce second instant, en un outre point M'. Soit MK la direction de cette force au point M; pendant le temps r, on pourra supposer qu'elle reste parallèle a elle-même , et alors si l'on tire la droite «M', elle sera parallèle à MK (n« 148). Or , si C est lo centre fixe autour duquel le rayon vecteur CM décrit des aires proportionnelles au temps , les triangles M, CM et MCJT, qui sont les «ires décrites dans deux instans égaux, seront équivalens; mais les triangles M i CiM et HCm le sont aussi , puisqu'ils ont leurs sommets ■u nièniK point C, et leurs bases M t M et Mm égales et sur nue même droite ; les triangles MCm et équivalens ; et comme ils

même base MC, il faut que la droite m\V qui joint leurs sommets, soit parallèle à cette base; par conséquent, la droite MK, parallèle à mM', coïncide avec MC. Donc, en chaque point M de la trajectoire , la direction MK. de la force sera celle du rayon vecteur MC ; ce qu'il s'agissait de démontrer.

Réciproquement , si la force qui agit sur le mobile, au point quelconque M, est dirigée suivant MC, la droite mM' sera parallèle à ce rayon vecteur, les deux triangles M'CK et MCm seront équivalens , et, par conséquent aussi , les deux triangles M'CM et Mi CM. Les aires décrites par le rayon vecteur autour du point C, en deux instans consécutifs et égaux, étant égales, et cela ayant lieu dans toute l'étendue de la trajectoire, si la force qui agit sur le mobile est constamment dirigée vers ce point, il s'ensuit que les aires décrites en temps égaux seront égales, et, en des temps quelconques, proportionnelles I ces temps.

226. Soit, comme dans le n° 218, M la position de la planète au bout du temps t (fig. 62). Conservons toutes les notations de ce numéro, de sorto que r et • soient le rayon vecteur OH et l'angle MOB; désignons , en outre, par x et y les deux coordonnées rectangulaires OP et PM, rapportées à des axes Ox et Oy , dont le premier passe par le périhélie B; nous aurons

* = r col I, y = r sin I , *» -fr- y» =r r« .

Soit aussi R la force accélératrice, inconnue en grandeur, qui agit sur la planète. Cette force est dirigée, comme on vient de le voir, suivant le ravon vecteur , et elle agit du point M vers le point O, à cause que la trajectoire tourne sa concavité du côté du soleil; les cosinus des angles qu'elle

fuit avec les prolongemens do m et y sont donc

et ; par conséquent les équations du mou-

vement seront

= -R-, -- = R. (1) di> r dt* r

En appelant toujours v la vitesse au point M, nous aurons

dx» dy»

»*=- + -, dfi df

et, en différentiant,

1 J* x d' y — d. t* — — dx H dy ;

par conséquent, si l'on ajoute les équations (1) après les avoir multipliées par dx et dy , et si Ton observe que *dx+ ydy = rdr, il en résultera

— d. r' - — Rdr.

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE

JUis, dans le i

eu faisant

on aura donc

te* u'

rr qui montre que 1a force qui agit sur chaque planète suit la raison inverse du carré de la distance ■u centre du soleil.

La grandeur de cette force est f* k l'unité de distance*, soit f*.' ce qu'elle devient pour nne autre planète, dont le demi-grand axe et le temps de la révolution seront représentés par a' et T' , on

Or, d'après la troisième loi de lépler, on a

d'où U résulte

T. T T'» ' h ~ ? ' t, à l'unité de distance, et, générale-

La force motrice de chaque planète est donc indépendante de sa nature particulière, et proportionnelle à sa masse comme les poids à la surface de la terre. Elle varie d'une planète a une autre suivant la même loi que d'une position à une autre de la même planète; et si deui planètes étaient situées à la même distance du soleil et abandonnées à elles-mêmes, sans vitesse initiale, elles tomberaient d'un même mouvement vers cet astre, et l'atteindraient dans le même intervalle de temps.

Ainsi, les trois lois de Kepler nous font connaître complètement la force qui retient les planètes dans leurs orbites : la loi des aires proportionnelles au temps nous fait voir que cette force est constamment dirigée vers le centre du soleil ; celle du mouvement elliptique, ou l'expression de la vitesse qui se déduit de cette loi et de la précédente , nous montre que son intensité varie , pour une même planète , en raison inverse du carré des distances au soleil ; enfin , nous concluons de la loi des carrés des temps dm révolutions proportionnels aux cubes des grands axes, qu'à égalité de distance au centre de cet astre, l'intensité de la force motrice est proportionnelle anx masses de

chaque planète, et indépendante de sa

ticulière.

226. Newton a étendu aux comètes, dans leur mouvement autour du soleil , et aux satellites autour de leurs planètes respectives, les lois de Kepler et le* conséquences qui s'en déduisent relativement à la force qui agit sur ces mobiles.

Les comètes, dans leur mouvement, ne différent des planètes qn'en ce qu'elles ne sont pas constamment visibles , & raison de l'éloignement de leurs aphélies ; ce qui rend très difficile la détermination de leurs orbites. Néanmoins, il y a maintenant trois comètes dont on connaît les orbites et les temps de leurs révolutions, presque aussi temrnt que pour les planètes. A l'égard des i comètes, on calcule leur mouvement par approximation , en prenant pour la trajectoire , dans la petite étendue où chaque comète est visible, une parabole dont le foyer est au centre du soleil , et supposant toujours les aires décrites par le rayon vecteur autour de ce point , proportionnelles au temps pour chaque comète. Ce cas est compris dans les formules précédentes du mouvement elliptique, en y faisant

b désignant la distance périhélie OB, qui est une quantité finie.

Les masses des comètes sont très petites par rapport à celles des planètes et paraissent d'une tout autre nature. En vertu de la troisième loi de képlcr, les forces motrices de deux comètes, ou d'une comète et d'une planète, à la même distance du soleil, sont entre elles comme leurs masses respectives, et leurs forces accélératrices sont égales; il en est de même à l'égard de plusieurs satellites d'une même planète, mais non pas relativement aux satellites de deux planètes différentes, ou à un satellite et une planète ; car la loi des carrés du temps des révolutions proportionnels aux cubes des grands axes n'a lieu que pour les corps qui tournent autour d'un même centre; nous ferons connaître par la suite le rapport qui existe entre les forces motrices de deux satellites appartenant à des planètes différentes, et entre celles d'une planète et d'un satellite.

Ajoutons encore que dans ces derniers temps on a étendu les lois du mouvement elliptique aux étoiles doubles, dans lesquelles un mouvement révolutif de l'une des étoiles autour de l'autre a été reconnu, et que leurs positions relatives, calculées d'après cts lois , se sont accordées aussi bien qu'on pouvait l'espérer avec leurs positions observées.

227. Examinons actuellement les altérations que la résistance d'un éther très rare répandu autour du soleil, produirait dans le mouvement elliptique des planètes. Leur non sphéricité parfaite et le frottement dn fluide contre leur surface, pour-

■ortir le centre de gravité du plan de son orbite : on fera abstraction de ces deux circonstances , et il ne s'agira que de former 1rs équations du mouvement de ce point, en ayant égard, à la fois, à la force centrale en raison inverse du carré de la distance, et à une force tangcntielle provenant de la résistance du milieu

Je supposerai, comme dans le mouvement des projectiles dans l'air, cette résistance proportionnelle au carré de la vitesse , à la densité du milieu et à la surface de chaque planète ; la force accélératrice qui en résultera sera , en outre , en raison inverse de la masse du mobile; je la représenterai ds»

par f — , eu désignant par dt l'élément de la tradf

jeetoire, et par f un coefficient très petit et proportionnel pour une même planète, à la densité du

à [g + r* di' ) a mJ 1 d. f dl :

qui en sont une transformation.

238. Lorsqu'on néglige leurs les équations (2) so réduisent à

milieu. En observant que cette force agit en sens contraire de la vitesse du mobile, et représentant toujours la force principale dirigée vers le centre

du soleil , par i* à l'unité de distance et par — à la

distance r, les équations (1) placées par celles-ci :

être

dt* r» ~

dt dx ,

î 5 \ f di dt )

En employant les coordonnées polaires , on en déduit, sans difficulté, ces autres équations

dt'

d'x (*x - + = 0, df r»

df r>

et les équations (3) à celles-ci :

df r

d{dr'

0, d. r» «ft = l>. (6)

On satisfait A ces équations (5) au moyen des formules (a), (i>), (c), du n° 230; ces formules n'en sont pas les intégrales complètes, parce qu'elles ne contiennent que deux constantes arbitraires a et mais si l'on fait attention que les équatious (6) ne renferment pas explicitement les variables t et t, et qu'elles contiennent seulement leur différentielles dt et dt, on en conclut que les formules du numéro cité devront encore satisfaire a ces équations, en ajoutant des constontes quelconques à t et 6. De celle manière, les intégrales complètes des équations (5), et, par conséquent, des équations (4), seront exprimées par ce système de formules :

r = a (l — e cos h), \

ni + i m s= u — e siu u , I

t»Hg 7 (l— «)= [/ X ta,. K - u,l

a, e, », m, étant les quatre constantes arbitraires, et n une constante liée o a par l'équation

a 5 n« — ft ,

2* 4*' a qui lésulle de — — n •

de T.

=r u, par l'élimiiiiloin

Le xéro de la variable u répondra toujours à la plus petite valeur de r, ou au périhélie B (lig. 63). Pour u = 0 , on aura I = « ; de sorte que » représentera maintenant l'angle HOE, compté à partir d'une droite OE , qui fait un angle BOE = • , avec OB. La valeur de I en série sera de la forme

I = su* + ■ + I. ,

en désignant pas I. sa partie périodique, ordonnée suivant les sinus des multiples croissant de nt-\-% — ». Cet angle I sera la longitude vraie de lu planète dans le plan de son orbite, au bout du temps t quelconque; nt t exprimera sa longitude moyenne au même instant, • sa longitude movenne à l'époque d'où l'on compte le temps t, et • la longitude de son périhélie.

229. Cela posé, quaud on connait les intégrales complètes d'un système d'équations différentielles comme les équations (4), on en déduit les intégrales d'un autre système d'équations différentielles telles que les équations (3), qui ne différent des premières que par de très petits termes, au moyen d'une méthode dont les géomètres ont fait les plus heureuses applications à la Mécaniquë cé- Utte , et que je vais exposer à l'occasion du problème qui nous occupe.

Les valeurs de x et y, qui satisfont aux équations (4), sont de la forme :

• «fi*» •»•» •» »)i y= F C» a >«» •> «o»

f et F indiquant des fonctions données. Pour que ces valeurs satisfassent encore aux équations (4), j'y considère a, e, *, m, comme de nouvelles variables qu'il s'agira de déterminer. Mais ces inconnues étant au nombre de quatre, cl les équations (2) seulement au nombre de deux , je peux prendre

DTKAMIQCE, PREMIÈRE PARTIE.

à volonté dens m conséquence,

«ui.1i.tc; cl je fais,

df df df df

— da + — de + —d, + — dm = U, I

da dé d* dm l

df d¥ d¥ df

— da-i dê -| d i -| dm .

da dê d% dm

ou , autrement dit, j'égale à zéro les parties de ds

et dy, provenant des variations de a

De cette manière, les valeurs complète

sont simplement

dx df dy dF dt dt* dt dt

En différeutiant do nouveau, on a

ds df de — et — dt dt

d> x d» f d» f da d- f de d' f d* d» f dm

ih dt* + dtda dt + dtde dt + d/d. dt + d~iZ 7t '

d» y d' F d* Y da d* T de d' f d» d» F d*

d/« dr» "^d<da d/ drdt d/ + dtd, dt + diX ~dt

Or , par hypothèse , les valeurs précédentes de x et y satisfont aux équations (4) ,en y rendant a, e, «, », connue des constantes arbitraires, on a donc d> f i*x d* F /uy

- + - = 0, -+- = 0; dr. H dt* ri

par conséquent, si l'on substitue tes valeurs piétés de ^ et jji dans les équations (8), on

da +

d/du

dtde

d/di

da -f

d/da

dtde

did.

dtdm

de dx

- t-- dt, J dt dt f

rt « « système des quatre équations (4) et (c) »ervira à déterminer a, e, ; m, en fonctions de t. 230. Cette substitution de quatre équations diftei premier ordre, aux deux équations (2), du second ordre, n'aurait, en général, aucun avantage. Mais les valeurs de da, de, di, dm, qu'on tire des équations (t) et (e), auront pour facteur le coefficient f de la résistance, qui est une très petite quantité; les parties variables de a, e, s, », seront donc aussi très petites; et si l'on néglige le carré de f , on pourra considérer a, e, », m, comme des constantes, dans les expressions de da, de t dt, dm ; ce qui réduira aux quadratures le calcul des parties variables de a, », i, m. Par la méthode des approximutions successives, on obtiendra ainsi des valeurs de ces quantités, ordonnées suivant les puissances de f et aussi exactes que l'on voudra ; ■tous nous arrêterons a la première puissance de p.

Les équations (a), après qu'on y aura substitué les valeurs variables de a, », », m, feront connaître, comme dans le cas du mouvement elliptique, les valeurs de r et I en fonctions du temps. La trajectoire sera encore une ellipse, niais dont les élémens varieront continuellement. Si Ton suppose que l'on construise à chaque instant l'ellipse constante qui répond aux valeurs des élémens à ce même

dx et dy , seront communes , en vertu des équations (6), à cette ellipse et à la trajectoire, qui sera, »t, la courbe de contact de toutes les

ellipses constantes. Par lu même raison , la vitesse du mobile et ses composantes aurout les même» expressions , et seront déterminées par les formules (d) du n° 222, dans le mouvement elliptique et dans le mouvement altéré par la résistance du milieu.