Observons qu'on a identiquement

mi = fndt +ftd«,

îprcnant ftdn dans l'i

fndt + i — m = « — » sin « , (d)

la seconde équation (a). Alors, en mémo temps qu'on changera, dans les équations du mouvement elliptique, les constantes a, », i, a>, dans leurs valeurs variables, il y faudra remplacer ni par l'intégrale fndt, que nous supposerons nulle quand 1=0. La quantité n qu'elle renferme se déduira de a, au moyen de la formule

donnée par l'équation a* n 1 = /u du n° 228. Cette intégrale fndt exprimera le moyen mouvement de la planète ( n« 219), altéré par la résistance du milieu; et, de cette manière, la différentielle du moyen mouvement sera nd(,dans le mouvement

Au périhélie, l'angle • — . est égal à téro ou à

un multiple de 360» ; en vertu de la première équation (a), il en sera de même & l'égard de l'angle «t; donc, pendant l'intervalle de temps compris entre deux passages consécutifs de la planète à son périhélie, la quantité fndt+*—m augmentera de 360°; ce qui servira à déterminer cet intervalle, quand on connaîtra h, «, m en fonctions de t. Le temps de la révolution , ou l'intervalle compris entre deux t «tours consécutifs de la planète au même point fixe, sera celui qui répondra à un pareil accroissement de sa longitude vraie I.

232. Nous pouvons remplacer les équations (ô) et (c) par d'autres équations équivalentes, desquelles il sera plus facile do déduira les valeurs de da, de, dt, dm.

Pour cela, observnus que si une équation quel-

• (ftf, r, », a, ê, s, .) = 0,

• lieu dans le mouvement elliptique, elle subsistera encore dans le mouvement altéré par la résistance

du milieu, eu y regardant a, c, t, », comme des variables déterminées par les équations (6) et (c), et y mettant fndt à la place de nt. La différentielle de la fonction • sera donc nulle, soit qu'on la prenne, dans le premier cas, par rapport à nt, r, • ; soit qu'on la prenne, dans le second cas, par rapport à fndt, r, I, a e, i, m\ or, r et t étant des fonctions de x et y, leurs différentielles sont les mêmes dans les deux cas , en vertu des équations (4); par conséquent, en supprimant, dans la différentielle complète de • , la partie

dp dp dp

-— dnt •{ dr -\ </9, qui est séparément nulle,

d.nt dr d»

dp dp dp dp

da H de -\ dt + — dm — 0.

da de d, dm

Cela posé, après avoir mis dans l'équation (2) du n» 218, • — « à la place de », ou en déduit

r + r» cos (• — •)= o (l — •«) i ilvientd'ètredit.on

rcos»d.#cos#-frsin»d\# sin .=d.a(l— •« ). (•)

Je différentie de même la première équation (a) et l'équation (o*); ce qui donno

(1 — e cos u) da — a cos ude + ae sin tutti ss 0, dt — dm + sin ude — (t — • cos u) du = 0 ,

en considérant si comme une fonction de a, e, *, m. J'élimine dit entre ces deux équations; il vient

(l«cost.) da+as-cos^dé+aevnu'dt-dm)^.

Mois, eu mettaut dans les formules

1— tang» 2 tang

cos U =

1+tang» 1«

sin «t es

1+tang' Lu

à la place de tang 1/2 u sa

la troisième équation (a), on a

e + cos (t — m) cotu - i + «cos (•-.)»

•in si = — :

«• ) lin (I — a>)

1 + « cos (I — m)

au moyen de quoi l'équation précédente devient (1 — é» ) db

l+«cos (I — •)

ae sin (t — •)

-«cos(l - m)de+ p= [d, dm) = 0. (fl

Ce que nous disons relativement à l'équation p = 0, s'applique également au cas où la fonction • renferme les différentielles premières de r et t. Ainsi, l'on a, dans le mouvement elliptique,

r* dl — l/fio(l — «• )dt»

en mettant l/^o au lieu de o» n dans la valeur de r* dl du n» 220: or, les différentielles dr et dt, ainsi que r et I, restant les mêmes lorsque a, e, t, m t deviennent variables, il s'ensuit que ces deux équa-

laus cette hypothèse;

cela étant, en comparant leurs différentielles complètes aux équations (3) du n» 228, on en conclut

d. - = 2, ( ) de,

d. ya{l — e» ) ss — f |/a (I — «• ; de.

Maintenant , on tirera facilement des quatre équations (e), {[), {g), les valeurs de da, de, d*, dm , en y mettant pour r sa valeur, savoir,

l + #cos v « — •) '

•fin de lescxpri

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE

fonctions de l'angle I !

2po

lU

* - - -j-E [l + U co,

de = -V f { e + cos (■.)] td» == — 2p Bin (# — •) ds,

(1 -f.co. ) U valeur de ds qu'on devra substituer dans ces

et en y substituant celle der, ds = "t 1 -"-^^ 2 ' cos (»-») + « » * dJ