J III
WJl t)0lfit TflQ te f*tol
234. Le problème que nous allons résoudre est l'inverse de celui du paragraphe précédent : on supposait alors la trajectoire et la loi du mouvement données par l'observation, et il s'agissait de déterminer en grandeur et en direction , la force « laquelle ce mouvement était dû; maintenant, ou suppose qu'une force constante dirigée vers un centre fixe, et donnée en fonction de la distance du mobile à ce point, est appliquée à ce mobile, et
l'on propose d'en conclure la trajectoire et lit loi du mouvement.
Cette courbe DMB (6g. 65) sern comprise dans le plan passant par le centre fixe C, et par la direction DA de la vitesse initiale. Je mène dans ce plan et par le point C, deux axes rectangulaires Cx et Cy, dont le premier passe par le point de dépurt D du mobile, et qui seront les axes des coordonnées. Au bout du temps f, compté depuis ce départ, je suppose que le mobile toit en M, et je désigne par * et y se» coordonnées CP et PU, par r son rayon vecteur CM, et par R ta force accélératrice, dirigée de M ver» C et donnée en fonction de r; le» équation» du mouvement «eront
- = R, -= âiO)
dt> r dfi r
et si U force X était dirigée suivant le prolongement de CM, il suffirait de changer les signes de leurs seconds membres.
On en déduit immédiatement les deux intégrale»
il±àl- -,/»*+.,
dans lesquelles 6 et c «ont le» constantes arbitraires; et si l'on appelle • l'angle HCx , de sorte qu'on ait
s — r cos l , f sas t sin I, ces iulégrolcs deviendront dr* + r* d»»
r» dl — cdt ,
dt*
-S/Rdr + A; (2)
d'où l'on déduira des valeurs de dt et d» , de la
Jt — frdr, d» = Frdr,
qu'il ne s'agira plu» que d intégrer exactement on par approximation.
En éliminant dt entre les équations (2) on a
S/Rdr = h , (3)
pour l'équation différentielle de la trajectoire. Si l'on appelle v la vitesse du mobile au point M,
v*=b - 2/Rdr , (4)
et en représentant par * l'angle que sa directi fait avec MC, ses composantes seront
dr dl
t cos / — , c sin * = r — ,
dt dt
suivant MC et suivant III perpendiculaire à ce rayon vecteur.
Les deux constantes 6 et c, et celle» qui «eront introduites par l'intégration des valeurs de diet dl, se détermineront d'après la position et la vitesse initiales du mobile. Pour cela, je représenterai par y la distance initiale CD, par * l'angle CDA qui pourra être aigu ou obtus, et par h lu hauteur due ù la vitesse initiale, de sorte que cette vitesse
soit |/2oA, en appelant g la gravite. Si l'on suppose que l'intégrale/* dr, qui entre dans les formules précédente», soit nulle quand r=>, on aura d'abord
b = 2gh,
d'après la valeur de e« . En vertu de l'équation r« dt = cdr, la valeur de v sin l est la même chose
que — ; par conséquent, nous aurons
e = y \/ 2gh sin *.
Quant aux deux autres constante» arbitraire», on les déterminera de manière qu'on nit 1 = 0 et r = y quand t = 0, et le problème sera complètement résolu.
2.15. Lorsque la force R est proportionnelle à la distance r, les variables * et y sont séparées dan» les équations (l), et l'on n'a pa» be«oin de recourir aux coordonnées polaires et aux équations (2).
Soient, en efTet, k la valeur de R qui répond àr = y, et
kr
sa valeur générale. Le» équations (l) deviendront d'x kx d'y Ay
dt' y' dt* y '
et leur» intégrale* complète» seront
x = A co, t [Z^- + A' sin t \/-,
y = B cos t |/ - + B' sin t \/ - ,
A, A',B,B', étant les quatre constantes arbitraires. Ponr les déterminer , on a , d'après les supposition»
précédentes ,
= >, jr = o, - = - l-V
dt
^- = [2gh dt
sin
DTRAHQUI, PREMIÈRE PARTIE.
quand t — 0 ; d'où il résulte
y, k']/' L = -ls'2 9 heo*
0, V[/ i = |^**iin.,
et, par conséquent ,
2gk \/ h lin * lin I |/ — .
Ces formules nous montrent que les révolutions ;C seront isochrones, et
leur durée commune égal
le a 2w \/ — . On en
y sin • s u ( \'- — — y y/ —, y 2gk
y sin • cos I
{/ — ss s sin • + y cos •{
d'où il résulte.
2gh
y» + (* sin • + y cos .)» = y sin'
pour Téquationdo la trajectoire, qui est, comme on Toit, une ellipse dont le centre est au point C. Pour que cette ellipse soit un cercle, il faut qu'on ait • = 90» et ky — 2gh. Dans ce cas le mouvement est uniforme; car, d'après les de * et g, on a
— = — i/yk sin t dt
k dg
— , — = y yk COS t y dt
ce qui donne [ - - t k pour la vitesse r. La force cen-
traie R et la force centrifuge — sont constantes et
toutes deux égales à k.
Si la force R est répulsive au lieu d'être attractive, comme ou l'a supposé, il faudra changer A en — k dans les formules précédentes. La trajectoire sera alors une hyperbole, et le mouvement cessera d'être révolutif.
236. Prenons actuellement la force R en raison inverse du cube des distances, et r<
k étant toujours sa valeur au point D.
Sons aurons, dans cette hypothèse,
2/RJr
que l'intégrale doit s'évanouir quand r=i
En ayant égard aux valeurs de b et e, et faisant
yd.y r dt
r d% dt '
l'équation (3) < dt* , ky
dt* , ky v 1 ky
dU >• 2yAsin« m/ sin« « 2y*sin» «
Le coefficient de s» pourra être positif ou négatif; je fais donc
2gh sut* •
d'où il résulte dt*
i n> m* = cot» a ± n* ,
et, par
ndf =
L/col» « i »• n' a»
Dans le cas des signes supérieurs, on aura
( s\n = ** —\ — arc ( sin = =-)
N L/ cof • + »• / V L/cot» « -f- n» /
TRAITÉ DE 1ÉCASIQUE.
et, dans le cas.
ni = log + t/ct' »».
« + cot •
en obt errant qu'on ar=^ets — l quand 1=0.
De la première valeur de ni, on tire
ns = cot * tin ni -f* n cos Le maximum de m ou le nu/Mwtvwi de r répond à la valeur de I, tirée de l'équation ds = 0, ou
Ung ni = — cot « , a
pour laquelle on aura
An delà de cette valeur de • , le mobile a'éloignera indéfiniment du point C, et aon rayon vecteur r aera infini, pour la plua petite valeur de • tiré de l'équation m = 0, ou
tang n» = — n tang uoli
237. Pour dernier exemple, iiippoaona, comme dans la nature, la force R en raison inverse du carré des distances; de sorte qu'on ait
k étant l'intensité de cette force au point D, pour lequel l'intégrale est supposée nulle.
Si l'on fait
infini. En mettant à la place de r, la valeur de —
dans la première équation (2), on en déduira sans difficulté , t en fonction de I.
Dans le cas de la valeur logarithmique de ni, on aura, en passant aux nombres et désignant par a la base des logarithmes népériens ,
nz. + jXof + •»» «« =(»+ coi •)
d'où l'on tire
y 1 ni 1 — 1*1
— + cot •)« + — (n— cot«)e ; r 2n 2»
ce qui montre que r diminuera indéfiniment, en sorte que le mobile décrira une spirale autour du point C, et atteindra ce point après un noml infini de révolutions.
Si l'on fait ■ = 90°, pour simplifier, on aura
ni — ni ' • +•
|/2y dt =
4y dl
et, en intégrant, on u
ni —ni * + o
2iy — 6 = C,
l'équation (3) de la trajectoire deviendra
c» — = 2*y« r— c« f» — Ci
d'où l'on tire
ff>
En intégrant et désignant par « la traire, on aura donc
erbi-
( *>' — cy \
• -4- arc ( cos = I
ce qui donne
ky* r = c* —r\/* >* — c» Ccos(6 — •), (a)
en mettant m * à la place de m , ufin que • soit la valeur de I qui répond à la plus petite valeur de r, c'est-à-dire , au point de la trajectoire où le mobile est le plus rapproché de C,
Pour en déduire l'équation de cette courbe en coordonnées rectangulaires, je fais
«' = r cos { I — «• ), y' = r sin ( • — •» );
* J et y' seront les coordonnées du mobile rapportées à des axes C*' et Cy', tels que l'on ait «'Car = • ; on aura
+ y»» =s ri ;
et en élevant au carré les deux membres de l'équation (a) de la trajectoire, «Ile deviendra
k* y* y'» +Cc *'» =c* —2c x']/k> yi — c«C.
Or, sous cette forme, on voit qu'elle appartient à une section conique, qui sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, selon que la constante C sera positive, nulle ou négative. Un voit aussi que, dans tous les cas , le point C sera un foyer de cette courbe; cor, d'après l'équation (a), le rayon vecteur r est une fonction linéaire de l'abcisse *' ; ce qui n'a lieu, dans les trois sections coniques, que quand l'origine des coordonnées est un de leurs foyers.
DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE
A cause de é — 2gh, on MM
C = 2ky — 2gh;
il s'ensuit donc que le signe de C, et, par conséquent, la nature de la lection conique qui sera décrite par le mobile, ne dépendra que de sa distance et de sa vitesse initiales, et nullement de la direction de cette vitesse; en sorte que différens points matériels partant d'un même point D, avec des titesses égales, décriront tous des sections coniques de même nature, quelles que soient leurs directions initiales. Si Ton a, par exemple, k — g, la courbe décrite sera one ellipse, une parabole ou une hvperbole, selon que la hauteur due à la vitesse initiale sera moindre que CD, égale à cette distance, ou plus grande.
238. Dans le cas de l'ellipse, l'équation (a) montre que la plus grande et la plus petite valeur de r, répondent h •= • + * et 1= «; en les désignant par a ( 1 -f e) et a ( 1 — « ), de sorte que a soit le demi-grand axe et • l'excentricité, on aura donc
ma, ce qui est la même ebose,
Co ( t + « ) = &>• + \/k* yl — c» C,
Ca ( 1 — •) = *>• — i/k* yi, — c» C.
En «joutant ces équations et les multipliant membre à membre, il vient
Ca ss *>• , fo» (!—#•) = e« .
Si l'on y met pour C et e leurs valeurs
C = 2(ky — on), e — y |/2jA sin •, on en déduit
2(A y — gh)a — ky , yk [/ 1 — c« = 2 \/ yh ( ky — g h) *in » ;
ce qui fait connaître le demi-grand axe et l'excentricité. On déterminera l'angle « en faisant , à la fois, I = 0 et r = y dans l'équation (a). Ainsi, les Jimensions de l'ellipse et la position de son grand axe seront complètement déterminées, d'après la position, la vitesse et la direction initiale du mobile. Quant à son mouvement sur cette courbe, il est connu par les formules (a), (4), (c), du n° 220.
Le carré de la vitesse à un instant quelconque est, d'après la formule (4) du n° 234 ,
r. = 2gh 2^ + -L. , ou, ce qui est la même chose ;
k cause de la valeur qu'on vient de trouver ponr a, et en faisant ky* = ai , de sorte que .* soit ici comme dans la formule du n» 225, l'intensité de la force centrale à l'unité de distance.
239. Il ne sera pas inutile de considérer en particulier le mouvement parabolique que l'on prend, par approximation, pour celui des comètes pendant la durée de leur apparition.
A cause que l'on a , dans ce cas , C = 0 ou ky = gh, les équations (6) donnent a = » et #=1, ce qui a effectivement lieu dans la parabole. La formule (e) se réduit à
en appelant m la vitesse dans un cercle du rayon r, on aurait, en vertu de la même formule ,
par conséquent, a distance égale du soleil, la vitesse d'une comète est k celle d'une planète qui
décrirait un cercle, comme \ ^ est à 1.
En général, les équations (6) donnent
en élevant au carré les denx membres de la dernière, et les multipliant ensuite par ceux de la première. Si donc on appelle p la plus courte distance de la comète au soleil, de sorte qu'on ait
et qu'on fasse ky = gh et « = l, on aura
ce qui détermine la distance périhélie, au moyen de la distance et de la direction initiales du mobile, que l'on suppose connues.
Je fais C = 0 et ky = gh dans l'éqnation (o), et j'y mets pour c» sa valeur de Zghy* sin" •{ elle devient
r = 2y sin* a — r co« ( I — « ); d'où il résulte
pour l'équation de la trajectoire. Si l'on y fait I = 0 et r = y, on en déduit
y{ 1 + eos m) c= 2p , co» L • = sin
ce qui détermine l'angle • que fait le rayon vecteur du périhélie avec celui qui aboutit au point de départ dn mobile.
Je substitue les valeurs de c et de r, dans la pre
mière équation (2) du n • 284, et je fait, pour abréger,
il en réaulte
la taJeur précédente de » est
c»* 4 4 yV
d'où Ton tire, eo intégrant et désignant par • la
tel
(3 + tang» 4 ) tang 4 + i = -— ;.
et à cause de cos 1/2 • = sin il en résulte
• — I 3 + cot» * ) cot «.
En appelant I' le temps écoulé depuis le déport du mobile jusqu'à son passage ou périhélie, on l à la foi,
Cela étant, désignons par le r le temps compté a partir de l'instant de ce passoge, de sorte qu'on ait t = f + r, nous aurons
•Mur
[3 + tang. long = (a)
en résolvant cette équation du troisième degré, on aura donc tang 1/2(4 — •) en fonction de r, et, par suite, r et t k un instant quelconque : le temps t sera positif après le passage au périhélie, et négatif avant ce passage.
A rause de
gh-> SS A> • =z (a , \ y «n • = \/~~ V ,
elle est donc , d'après l'équation o J n» = m du n» 228, la vitesse moyenne angulaire d'une planète dont le demi-grand axe serait égal à p, et si l'on appelle s celle de la terre et l son demigrand axe, de sorte qu'on ait
vV~?
pour la valeur de n.
240. Cette analyso montre qu'en considérant la détermination du mouvement d'une comète, comme un problème de dynamique, et supposant, en conséquence, que sa position, sa direction et sa vitesse initiales soient connues, on peut déduire de ces données, la distance p du sommet de la parabole à son foyer, l'instant du passage du mobile par ce sommet ou la valeur de r 1 , et la position de l'axe dépendante de l'angle « ; les équations (c), à , (a), font ensuite connaître la vitesse de la comète et sa position sur sa trajectoire à un instant quelconque ; et comme le plan de cette courbe est celui qui passe par le centre du soleil et par la direction de la vitesse initiale, il s'ensuit que le mouvement est complètement déterminé.
Hais le problème astronomique est différent. Lorsqu'on découvre une comète, les observations ne donnent pus immédiatement le plan de son orbite, •a dislance au soleil, sa vitesse et sa direction, h l'instant où elle apparaît; en sorte qu'en prenant sa position à cet instant, pour son point de départ, les constantes y, h, s», ne sont pas données comme dans le problème précédent. La question consiste alors à déduire des observations, les valeurs de cinq quantités , savoir : l'inclinaison de l'orbite et la longitude de son nœud ascendant sur le plan de l'écliptique , ce qui déterminera le plan do l'orbite; la longitude du périhélie et sa distance au soleil, d'où il résultera la position de l'orbite dans son plan; et, enfin, le temps correspondant au passage de la comète pnr son périhélie. Lorsque ces cinq inconnues sont déterminées, les équations (c), (d), (e), représentent, comme précédemment, le mouvement de la comète dans son plan. Or, chaque observation de la comète donne son ascension droite et sa déclinaison; trois observations fournissent donc six données , et , par conséquent, six équations qui sont plus que suffisantes pour déterminer les cinq inconnues ; et cela permet de remplacer deux do ces équations par leur combinaison la plus propre à diminuer l'influence des
DY3AJUQUE, PREMIÈRE PARTIE
des cinq élémcns qu'on vient d'énumérer étant ainsi conclues de trois observations faites à l'époque de l'apparition , les observation» subséquentes
Ul
servent ensuite à corriger ces premières valeurs et
à vérifier les formules (d) et (e).
Nous ne pouvons qu'indiquer ici ce problème d'astronomie, dont il existe différentes solutions.
