La force motrice de la masse M , due à Pal- As

traction de m, est aussi représentée par

de

manière que la réaction de chaque planète sur le soleil est égale et contraire à l'action de cet

. . , • f Mm

astre sur la planète; mais la force motrice ,

« ' fê

agissant sur les deux masses H et m, leur impri mera à chaque instant des vitesses infiniment petites qui sont réciproquement proportionnelles ii ces masses, ou, autrement dit, leurs forces accole fin f»

ralliées sont — et — Il en résulte que si ces deux • r* r*

corps «ont abandonnés, sans aucune vitesse initiale, à leur attraction mutuelle, ils s'avanceront l'un vers l'autre en parcourant, dans le même temps, des espaces qui seront en raison inverse de leurs masses ; ils se joindront au centre de gTavilé d« H et m, qui partage leur distance primitive en deux parties réciproquement proportionnelles aux masses.

En général, si la planète est projetée dans l'espace suivant une direction quelconque, et qu'on propose de déterminer son mouvement upparent uutour du centre du soleil , regardé comme un point fixe, il faudra concevoir que l'on imprime à chaque instant a cet astre, une vitesse infiniment petite, égale et contraire ù celle qu'il reçoit de l'attraction de la planète; mais, afin de ne point altérer le mouvement relatif de ces deux corps, il faudra, en même temps, imprimer celte vitesse à la planète; ce qui revient a lui appliquer une force accélératrice égale et contraire à celle du soleil; donc, dons le mouvement dont il est question, la force accélératrice de la planète m sera constamment dirigée vers le soleil M, et égale

/M fm

a la somme des deux forces — et — ; si donc on

veut l'exprimer par — comme dans le n° 225, il r«

faudra prendre

Ainsi, l'on devra substituer cette valeur dans les différentes équations du mouvement elliptique qu'on a donné précédemment; par conséquent, l'équation

4#» ai du a" cité, donnera

T étant toujours le temps de la révolution de la platiète, et a le demi-grand axe de son orbite. T»

Le rapport — qui dépend , comme on voit, de la a»

quantité m, différer, i donc, pour deux planètes dont les masses sont inégales ; en sorte qu'on ne peut pas supposer qu'il soit rigoureusement le même pour toutes les planètes. Cependant les observations qui conduisent à la troisième loi de Kepler, prouvent que ce rapport est sinon exactement, du moins à très peu près constant ; il en faut donc conclure que les masses des planètes sont très petites par rapport a celle du soleil; ce qui fait T»

que le rappoil — du erre du temps au cube de a»

la distance moyenue varie très peu en passant

d'une planète n une autre. La masse de Jupiter, la plus considérable de toutes, rst effectivement moindre qu'un millième de la masse du soleil.

244. C'est pour cette raison que l'attraction mutuelle des planètes ne produit que des perturbations , ou très lentes , ou très peu considérables , dans le mouvement elliptique dû à l'attraction du soleil. En effet, les masses de deux planètes étant m et m t , la force motrice dirigée de l'une vers

fmm

l'autre, est exprimée par ■ -, à la distance f ; la force accélératrice de m provenant de l'attrac-

tiou de m , sera donc — ; et comme la distance f t*

ne devient jamais très petite par rapport à la distance r de «sou soleil, il s'ensuit que si m, est une très petite fraction de M , le mouvement de «s produit par l'attraction solaire devra être fort peu modifié par l'attraction de*..

Tes perturbations planétaires peuvent donc être déterminées par la méthode de la variation des constantes arbitraires, que nous avons expliquée précédemment (n°229). Elles sont de deux espèces. Les unes consistent en des inégalités périodiques généralement très petites, dont les périodes comprennent des multiples peu considérables, en général, des révolutions de la planète troublée et de lu planète perturbatrice. Cependant lorsque leurs moyens mouvemens approchent d'être commensurables, ces périodes peuvent devenir beaucoup plus longues, et les inégalités beaucoup plus sensibles. Ainsi, les moyens monvemens de Saturne et de Jupiter étant à peu prés entre eux comme 2 et fl, Laplace a trouvé qu'il résulte de l'attraction mutuelle de ces deux planètes, une inégalité dont lu période est de 029 ans, et dont le maximum est d'environ 48' dans la longitude de Saturne, et d'à peu prés 20' dans celle de Jupiter.

Les autres perturbations des planètes sont : l'Ies mouvemens progressifs du périhélie et des nœoda de leurs orbites , dans lesquels ces points parcourent la circonférence entière , en des temps extrêmement longs qui peuvent surpasser un millier de siècles ; 2° les variations séculaires qui affectent les excentricités et les inclinaisons de ce* orbites, ainsi que les longitudes moyennes des planètes , dont les périodes sont semblables aux précédentes, et dont les amplitudes, peu considérables, ne sont pas encore bien connues.

Mais tandis que ces divers élémens du monvemint elliptique varient simultanément en vertu de l'attraction planétaire , il est très remarquable que celte force n'altère aucunement les grands axes des orbites et les moyens monvemens des planètes qui seront les mêmes à toutes les époques, ainsi que les temps des révolutions, liés aux grands axes par l'équation (I). Toutefois, les variations séculaires des longitudes moyennes en produisent de semblables dans les intervalles entre

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE

deux retours consécutif* à un même point fixe; elles sont insensibles dans le mouvement des planètes, mais non pas dans celui des satellites, et particulièrement dans le mouvement de la lune, qui s'accélère, pour cette raison, de siècle en siècle.

La force accélératrice qui provient de l'attraction d une planète n» M sur une autre planète m, étant indépendante de la masse m et proportionnelle à lu masse s»,, on conçoit que les perturbations dues à cette force et observées dans le mouvement de m autour dn soleil, peuvent servir à déterminer le rapport de la masse m„ à celle de cet astre. Ainsi, par exemple, d'après la grande inégalité de Saturne, produite par l'action de Jupiter, on a trouvé la masse de cette dernière planète égale à 1/1070 de celle dn soleil. îious indiquerons tout à l'heure un autre moyen de calculer la masse des planètes, quand elles sont accompagnées d'un ou plusieurs satellites.

Les comètes, à cause de la petitesse de leurs masses, ne produisent aucun effet appréciable sur les planètes, mais leurs mouvemens sont troublés par les attractions planétaires, et Ton détermine aussi par la méthode du n» 229, leurs perturbations qui influent considérablement sur les époques de la réapparition de chaque comète, c'est-àdire, sur 1 intervalle de temps compris entre deux passages consécutifs ù son périhélie.

345. Soient »' et m les masses d'un satellite et de sa planète, et r' la distance de leurs centres; la force motrice du satellite, dirigée vers le centre

de la planète, sera aussi exprimée P«^-^ — «

cette distance r' ; le coefficient / étant le même < I m- précédemment. Dans son mouvement apparent autour de la planète, la force accélératrice du satel-

lite aura pour expression — , en faisant

Je représenterai par o' le demi-grand axe de l'orbite du satellite, et par T' le temps de sa révolution ; en appliquant l'équation (l) à son mouvement , on aura

et si l'on divise ces deux équations membre à membre, afiu d'éliminer le coefficient f , il en résultera

Ï tl = " + T'» a* M + "

Or, si l'on excepte la lune, les masses des satellites sont très petites par rapport à celles de leurs planètes respectives : 1« masse d'un satellite de Jupiter, par exemple, n'est pas un dix-millième de

celle de cette planète ; on peut doue mettre m à la place de m -f- m dans celte dernière équation , et comme a, o', T, T', sont des données de l'observation, elle pourra servir à déterminer le rapport de m à H. C'est Jn cette manière que Newton a trouvé pour la masse de Jupiter, 1/1067 de celle du soleil; ce qui diffère peu de la fraction 1/1070 qu'on a obtenue depuis par un autre moyen.

246. L'attraction mutuelle des satellites d'une même planète, quund elle en a plusieurs, et l'inégalité d'action du soleil sur chaque satellite et sur sa planète, produisent dans les mouvemens elliptiques des satellites, des perturbations analogues à celles que nous venons d'indiquer pour 1rs planètes. Les perturbations provenant de l'action réciproque des satellites, font connaître les rapports de leurs masses à celle de la planète , dont l'attraction produit leur mouvement elliptique. Mai* ce moyen manquant pour la lune, on y supplée par d'autres considérations, parmi lesquelles je vais indiquer l'action de ce satellite sur les eaux de la mer.

Soient C (fig. 66) le centre de la terre , A celui de la lune, M un point quelconque du sphéroïde terrestre ; faisons

CA sa, AM = t , CM = r ,

et appelons a l'angle ACM ; nous aurons

f» — «• — 2*r cos k + r» ;

et si nous abaissons du point M la perpendiculaire MB sur lu droite AC, nous aurons aussi

MB = r lin x , AB = « — r cos *.

Au point 31, la force accélératrice provenant de l'attraction de la lune et dirigée suivant MA, aura fié

pour valeur — , en désignant par m' la masse du

satellite, et par j le même coefficient que précédemment. Les composantes de cette force suivant la perpendiculaire MB et la parallèle MU à la droite AC, seront donc

fm'r sin x fm m fm'r cos x ? ' ~? f *

Je substitue lu valeur de f dans ces quantités; et la plus grande valeur de r, c'est-à-dire, lu rayon du globe terrestre, étant, à peu prés, un soixantième de », je néglige le carié de r; en faisant alors

fmf sin X 2jm'r eus x

les deux composantes de l'attraction lunaire seront

s et — + •'. Tous les points de la terre sont donc

sollicite* parallèlement ■ CA par une force constante

et égale à — , et, en outre, par des forces • et • •»

dont la résultante varie en grandeur et en direction d'un point H à un autre, et est nulle au . entre C. Or , il est évident qu'en vertu de la fwi

force — , la masse entière de la terre se portera •»

vers la lune, d'un mouvement commun à toutes ses parties, sans que les points de la partie fluide changent de position relative; c'est donc aux forces • e t p ' appliquées aux différons points de la mer , que seront dus le flux et le reflux produits par l'action de la lune.

La masse du soleil étant H, et a sa distance à la terre, si l'on désigne en outre, par ft, 4i 4\ ce que deviennent x, •, •', relativement à cet astre, on aura de même

fltr sin j* 2/Mr ros * ** ~' 4 = ? '

pour les composantes de la force provenant de l'action du soleil , qui concourent au phénomène des marées. En les comparant aux forces • et •', on voit que pour un point de la mer, dont le rayon vecteur r fuit le même angle x ou ft avec le rayon vecteur de la lune ou du soleil, les actions de ces deux astres, qui produisent les oscillations de la mer, sont entre elles comme leurs masses, divisées par le cube de leurs distances au centre de la terre. Or, on conçoit que, toutes choses d'ailleurs égales, les grandeurs de ces oscillations doivent être entre elles comme les forces correspondantes , si donc on désigne par « le rapport de la marée lunaire à la marée solaire, dans un même lieu de la terre et pour des positions semblables des deux astres, on aura

équation dans laquelle on prendra pour « et a les

distances moyennes de la lune ou dn soleil à la terre, cl d'où Ton tire,

en appelant m la masse de la terre.

D'iiprés les lois différentes que suivent les marées lunaire et solaire, on peut effectivement, distinguer les unes des autres, et déterminer leur rapport eu chaque lien de la terre. La moyenne d'un grand nombre d'observations, faites duns le le port de Brest, donne *

• = 2,3633 , pour la valeur de ce rapport. I.n distance a est,

à très peu près, 400 fois la distanne », et la masse M, comme on le verra tout à l'heure, aussi à très peu près, 355000 fois la masse m. Au moyen de ces valeurs, on trouve, d'après la formule précédente, la masse de la lune égale k 1/75 de celle de la terre.

Indépendamment des oscillations de la partie fluide de la terre, les actions du soleil et de la lune produisent encore, dans le mouvement du sphéroïde terrestre autour de son centre de gravité, à raison de sa non-sphéricité, des perturbations que nous ferons connaître lorsqu'il sera question du mouvement de rotation d'un corps solide.

247. On peut remarquer que la composante des forces • et •', suivant le prolongement HE du rayon CM, est cosx — • sin en sorte que «a valeur est

{ 2 cos» x — sin» a

C'est la diminution de la pesanteur au point M, produite par l'action de la lune. Or, en supposant que M appartienne à la surface de la terre, et désignant par g la gravité en ce point, on a aussi fm=gr* , à très peu près; d'ailleurs, le maximum de 2 cos* x— sin» X répond à x=0, et est égal à 2. La plus grande valeur de cette diminution de pe- 2ori

santeur sera donc ; quantité à peu près égale à an huit-millionième de o, en prenant 60 pour

le rapport — . Pour que l'influence de l'action r

lunaire sur la longueur du pendule à secondes fût appréciable, il faudrait donc pouvoir porter l'exactitude jusqu'à la seconde décimale au delà des cent - millièmes , où l'on s'arrête ordinairement dans la mesure de sa longueur. Cette influence produirait, dans la mesure du temps, une inégalité réglée sur le mouvement de la lune, dont le maximum ne s'élèverait qu'à un dcmi-centiémc de seconde en un jour.

248. Abstraction faite de la force centrifuge due à la rotation de la terre, la pesanteur que nous observons à sa surface est la résultante des attractions exercées par tous les points du sphéroïde sur chaque point matériel, laquelle résultante ne dépend que de la position et de lu masse de ce point, et nullement de la nature du corps auquel il appartient; c'est, en effet, ce que l'expérience a pleinement confirmé. L'intensité de cette force doit diminuer à mesure qu'on s'élève au-dessus de la surface de la terre; et c'est aussi ce qui résulte des observations du pendule , fuites à différentes hauteurs. De plus, la pesanteur terrestre, diminuée dans le rapport du carré du rayon de lu terre au carré du rayon de l'orbite lunaire, doit être la force accélératrice qui retient la lune dans son orbite. Or, la distance du satellite étant, à peu

DTHAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE.

près, 60 fois le rayon de la terre, il s'ensuit que la lune, si elle n'avait aucune vitesse, devrait tomber vers la terre, de la même quantité en une minute qu'un corps quelconque, dans le vide, en une seconde à la surface de la terre. Cette quantité n'est autre chose que le siuus verse de l'arc que la lune décrit sur son orbite en une minute, ou, à très peu près, le carré de cet arc divisé par le diamètre de cette courbe ; et comme la circonférence de l'orbite est 60 fois celle de la terre, ou en conclut que la quantité dont il s'agit est

égale a 40 millions de mètres, multipliés par^-1,

en désignant par n le nombre de minutes que contient une révolution lunaire. Il faut donc, d'après la valeur de la gravité g qu'on a trouvée par l'ei périence du pendule, que ce produit soit à très peu près égal à 4™,90; on trouve, effectivement, 4">,88 pour sa valeur, en observant que n=39343. La différence serait encore moindre, eu ayant égard à diverses circonstances dont nous avons fait abstraction pour simplifier la démonstration.

La pesanteur terrestre est donc un cas particulier de l'attraction universelle; et, pour cette . raison, l'on appelle aussi cette force générale la ■ ou la gravitation universelle.

A cause que la terre s'écarte peu do la forme sphérique , l'attraction qu'elle exerce sur

Jm

un point de sa surface esta peu près — , comme celle

d'une sphère, en désignant par m sa masse, par r son rayon, et par f le coeflicient de l'attraction universelle. Cette valeur approchée doit être toutà-fait exacte pour les points appnrtenant à un certain parallèle ; et, d'après la théorie de l'attraction des sphéroïdes peu diflërenx d'une sphère, ce parallèle est celui dont le carré du sinus de la 'latitude est 1/3. Sur ce parallèle, la pesanteur a pour mesure ««,79386 (n« 193); mais, pour l'égaler à l'attraction terrestre, il fuut préalablement l'augmenter de la composante verticale de la force centrifuge, laquelle composante est égale, sous ce pa-

rallèle à la fraction de la grnvité(n° 178).

, en faisant

g = (9«,79386 ) ( l + -JL ) == 9«,8l64K,

on pourra regarder cette valeur de la gravité, ainsi modifier . comme égolc i\ l'attraction de la terre, et poser l'équation

fi»

En la multipliant membre à membre par l'équa-

tion (1) du n» 243, appliquée au mouvement de la terre autour du soleil, on en conclut

m oT» r»

formule qui va servir à déterminer le rapport de la masse de la terre à celle du soleil.

Si l'on conçoit un triangle rectangle qui ait pour base le rayon de la terre, et pour hauteur sa distance au soleil, le petit angle opposé à la base est la parallaxe du soleil, que l'on détermine directement par des observations astronomiques, et que l'on peut aussi déduire d'une certaine inégalité produite dans le mouvement de la lune par l'action du soleil , que Ton appelle l'inégalité parai lactique. La grandeur de la parallaxe varie avec le rayon de la terre et son éloignement du soleil auxquels elle répond ; pour la distance moyenne a et pour le rayon r qui aboutit au parallèle dont le sinus de la latitude est |/ l/J, sa valeur est 8",60. On a, par conséquent,

— = tang 8",Ô0, a = (83984) r. o

Sous ce même parallèle, et en prenant 1/200 pour l'aplatissementde la terre, on a

pour son rayon. Le temps de sa révolution autour du soleil, exprimé en secondes, est

T es (86400) ( 366,266374 ).

Au moyen de ces valeurs ut de celle du g, qui suppose aussi qu'on a pris la seconde pour unité de temps, on

260. Le soleil est une sphère d'un rayon égal à 110 fois celui de la terre; on connaît donc le rapport des volumes de ces deux corps et celui de leurs masses, d'où l'on conclut immédiatement le rapport de leurs densités moyennes : celle du soleil est, a peu près, le quart de la densité de la terre.

A la surface de cet astre, l'attraction est exprimée par

en apprlont R son rayon. A cause de

R — llOr, cette quantité est la

(UOj.

Il)

et elle a pour valeur (29,6) g, d'après celle de

— . La duréo do la rotation du soleil autour de son m

axe étant de 25/,5, la force centrifuge à son équateur n'est que le sixième de cette force à l'équateur de la terre. En négligeant donc lu diminution qu'elle produit dans la pesanteur à la surface du soleil , on voit que le poids d'un corps à cette surface est 29 fois et demie le poids du même corps à la surface de la terre, et que les corps y parcourent à peu prés 1-15 mètres dans la première seconde de leur chute.

En appliquant successivement l'équation (1) du n» 243 à la terre et à une autre planète, et supposant que les quantités tu, a, T, relatives à la terre, détiennent aii , a» , 1\ , pur rapport a la planète, on en conclura

par l'élimination de f. Connaissant la valeur de a par l'observation de ta parallaxe solaire, ou autrement, ainsi que la masse m de la terre et la durée T de l'année sydérale, cette équation servira à déterminer la valeur du demi-grand axe a, d'une planète quelconque, lorsque sa masse Ri et le temps T> de sa révolution seront donnés. Le proi-édé du n° 246 pour déterminer cette masse, suppose seulement qu'on connaisse une valeur upprochéc du demigrand axe.

261. L'attraction exercée à la surface de la terre par une masse considérable , telle qu'une haute montagne, fera dévier les corps pesaus de la direction verticale, et le prolongement du fil à plomb n'ira plus rencontrer le ciel au tènith. 11 s'en écartera en sens contraire des deux côtés opposés de la montagne ; en sorte que si tout est semblable de port et d'autre, pour la forme de la montagne et pour l'éloignement du fil à plomb , la agulaire des deux étoiles par lesquelles it ira passer , sera double de sa

déviation. Cet effet a été observé, par les astronomes, au Pérou et en Ecosse ; mais , à cause que les masses des plus hautes montagnes sont encore très petites, eu égard à la masse de la terre, les déviations dont il s'a-: il sont aussi très peu considérables, et ne s'élèvent qu'à de petits nombres de secondes. Voici un exemple du calcul de la déviation du fil à plomb, due à l'attraction d'une masse donnée.

Soit A (fi- . 57) le centre d'une sphère homogène, suspendue à l'extrémité d'un fil inextensible et inflexible, dont l'autre bout est attaché au point fixe C ; soit aussi 0 le centre fixe d'une autre sphère homogène qui agit sur la première. Le fil CA s'écartera de la verticale CB sans sortir du plan passant par cette droite et' la ligne CO; et , dans sa position d'équilibre, il faudra que la résultante du poids de la première sphère et de l'attraction de la seconde vienne passer par le point fixe C. Or, ces deux forces seront appliquées au point A, l une suivant la verticale AD, l'autre suivant la droite AO; et elles tendront à faire tourner le fil CA en sens opposés autour du point C. Pour que leur résultante passe par le point 0, il faudra donc que leurs moment, pur rapport à ce même point , soient éguux ( n° 46 ) ; par conséquent , si l'on appelle P et Q le poids de la première sphérr et l'attraction totale de la seconde , et que l'on désigne par p et q les perpendiculaires CE et CF, abaissées du point C sur les prolongemens de DA et de OA, on aura