PP

pour l'équation d'équilibre qui devra servir à déterminer la déviation inconnue BCA.

J'appelle x cet angle , y l'angle donné BCO, a et c les distances aussi données CA et CO, et y la AO;

y» = o« + c» — 2ac cos [y — x) ,

et, en outre,

sin COA

O sin(y— x) oc sin ( y — s]

p = asm *.

Appelons aussi m la masse de la terre m, celle de la sphère mobile, as' celle de la sphère attirante. En désignant toujours par / le coefficient de l'attraction universelle , et représentant par r le rayon de la terre, les forces motrices P et Q auront valeurs

et si f est la densité moyenne de la terre, r ' celle de la sphère attirante, et W son rayon , ou

ttVi

Au moyen de ces différentes valeurs , l'équation Pp = Qç se changera en celle-ci ;

fty* sin x = p'r 1 » c sin (y — x) ,

où il ne restera plus qu'à mettre la y pour en déduire ensuite celle de x.

Je supposerai, ce qui a lieu généralement, ta longueur CA du fil à plomb très petite par rapport à la distance CO. En négligeant a par rapport à c dans les valeurs de y, on aura simplement y = c ; d'où il résultera

sin x

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE

La densité #' et le rayon r' de la iphère attirante restant les mêmes, la valeur de * que l'on tirera de cette équation sera d'autant plus grande que la distance e sera plus petite, et que l'angle y approchera davantage d'être un angle droit; et comme c ne peut pas être moindre que le rayon r>, il s'ensuit qu'on aura le maximum de déviation du fil à plomb que puisse produire l'attraction d'une sphère donnée , en prenant c = r 1 et y = 90° ; co qui réduit l'équation précédente à

Si l'on suppose, par exemple, f' = p, et qu'on demande quel doit être le rayon r' pour que la déviation m s'élève à une seconde, on aura r y =r tang 1"; et , à cause que la circonférence 2*r de la terre est de 40 millions de mètres, il en résultera r 1 =30 B »,8.VÏ.... Ainsi, une sphère homogène d'environ 31 mètres de rayon, et d'une densité égale à la densité moyenne de la terre, ne produit qu'une déviation d'une seconde an plus dans la direction du fil à plomb; et pour qu'elle la produise, il faut qu'elle touche l'extrémité inférieure de ce fil, et que son centro soit situé dans le plan horizontal passant par cette extrémité.

252. Cette moyenne densité de la terre, conclue de la déviation du fil à plomb que produit l'attraction des montagnes, a été évaluée à quatre ou cinq foisladensité de l'eau. Cavendish l'a trouvée égale à cinq fois et demie cette densité, en la déduisant de l'attraction exercée par deux globes de plomb de huit pouces anglais de diamètre , qu'il a su rendre sensible par le moyen de la balance de torsion. Sans entrer ici dans tous les détails de cette belle expérience, des diverses précautions qu'elle »xige, et des calculs qu'il faut faire pour en déduire un résultat exact, je vais seulement indiquer les points principaux de ces calculs (*).

La balance de torsion est l'instrument le plus exact que nous ayons pour servir h la mesure des forces très petites. Coulomb , a qui l'invention en est duc, l'a surtout employée à mesurer les forces d'attraction et de répulsion des corps électrisés ; et, pour cette raison , elle est aussi connue , en Physique , tous le nom de la balance électrique. Elle consiste principalement en un fil métallique très délié, vertical, attaché h un point fixe, et à l'extrémité duquel est suspendu un levier horitontal. Supposons Cfl levier formé d'une tige très mince ACA' (fig. 68), partagée en deux parties égales à son point d'attache C, et terminée par deux sphères d'un petit diamètre, dont les centres sont A et A'. Du point C comme rentre , et d'un rayon égal à CA, décrivons le cercle horizontal BAB'A', dont nous diviserons la circonférence en un grand nombre de parties égales. Lorsque le

• O» trou.r «W l« 1> t«hi*r du Jvn.il d. l'A* Ftljîtrk- RftjM dm traduction ciact* du mtmoirt dt Cuet.iUb.

levier tournera autour dn point C, ses extrémités A et A' parcourront cette circonférence, et les points de division auxquels ils répondront à chaque instant feront connattre les arcs qu'ils auront décrits. Tant que le fil de suspension qui aboutit au point C n'est pas tordu, le levier reste en repos dans une certaine position. Je suppose qu'il réponde alors à la ligne BCB'; si l'on vient à l'écarter de cette ligne, pour le mettre dans une autre position quelconque ACA', le fil de suspension sera tordu sur lui-même, et cette torsion tendra à ramener ce levier vers la ligne- BCB . Pour le retenir dans la direction ACA', supposons que l'on applique à ses deux extrémités des forces égales et contraires, dirigées dans le plan horizontal, et perpendiculaires à sa longueur, la valeur commune de ces deux forces sera la mesure de la force de torsion qui leur foit équilibre. Or, les expériences de Coulomb ont prouvé que le fil de suspension restant le même, cette force de torsion est proportionnelle a l'angle BCA ; en prenant donc l'angle droit pour unité , appelant h la force de torsion qui répond à cet angle , et désignant par ( l'angle BCA, cette force, dans la position ACA' du levier, sera égale à Al : ainsi, dans cette position, la torsion du fil de suspension équivaudra à deux forces égales à /»J, horizontales, perpendiculaires à ACA', appliquées aux points A et A', et tendantes à ramener le levier à la ligne de repos BCB'.

Cela posé , approchons dn levier deux sphères homogènes d'une même matière, d'un même diamètre, et symétriquement placées de part et d'autre de la ligne BCB'. Soient 0 et 0' leurs centres situés dans le plan horizontal qui contient le le vier à égale distance de C, et sur une droite OCO' menée par ce point. L'attraction de ces deux corps va écarter le levier de la ligne BCB'; et, à cause que tout est semblable autour du centre C, la droite ACA' tournera autour de ce point, qui restera immobile. A mesure que le levier s'écartera de la ligne de repos , la force de torsion augmentera. Il existe une position dans laquelle cette force ferait équilibre à l'attraction des deux sphères; mais comme le levier atteint cette position avec une vitesse acquise, il la dépasse, et il oscille, de part et d'autre , k la manière d'un pendule horizontal. L'observation fait connaître la dorée d'une oscillation entière. En comparant la longueur de ce pendule à celle d'un pendule ordinaire qui oscillerait dans le même temps, on en conclut le rapport de In force d'attraction de chaque sphère à la pesanteur; et par suite, ou a le rapport de la masse de cette sphère a. celle de la terre. L'équation qui sert à déterminer ce rapport est facile à former, ainsi qu'on va le voir.

253. Les deux sphères mobiles dont les centres sont en A et A', étant sollicitées par les mêmes forces, et ayant le même mouvement autour du point fixe C, il suffira de considérer le mouvement du centre de l'une d'elles, du point A, par exem-

pie; toient donc comme dans le problème pré

CA = o, CO^c, BCO = y;

appelons m' la masse de la sphère attirante dont le centre est en 0, et / le coefficient de l'attraction universelle; au bout d'un temps quelconque t , désignons par • l'angle ACB, et par a la distonce AO,

*• = a" + c» — 2ae cos ( y — • ) ;

et la forco accélératrice provenant de l'attraction

dirigée suivont AO sera i— . Je la décompose en

forces, l'une dirigée suivant le prode CA,et l'autre perpendiculaire à CA.

gale.-^' ,i,,CAO, s»

/me

c'est-à-dire, k-l— sln (y — • ), en y mettant

pour sin CAO sa valeur déduite du triangle COA. Si l'on retranche de cette composante tangente à la trajectoire, la force de torsion M qui lui est directement opposée , et si l'on observe que l'arc BA décrit par le mobile est égal à al, on oura

pour l'équation du mouvement (n° 162).

L'attraction de la masse m' étant une très petite force, l'angle I dont elle écarte le levier ACA' de sa ligue de repos sera très petit. En appelant b la distance BO, ou la valeur de s qui répond à I = 0, do sorte qu'on ait

l* = a» + c» — 2oc cos y ,

et développant suivant les puissances de I, H

lUono.onfait, pour abréger,

J£2 l(„. +..) cos*

— 2ac — <

I sin» y]-g -fetc.

I (a* + c« ) « os y — ?ac — acsin* > |«— c -f I =: J 1

fm'e sin y V>

et qu'où néglige les puissances de » supérieures a la première, l'équation du mouvement deviendra

d'où l'on tire, en intégrant ,

k et k étant les deux coustmites arbitraires.

D'après cette valeur de I, le plus petit et le plut grand écart du levier ACA', h partir de la ligne BCB', seront C+ A et C — k; et, si l'on tire la ligne DCIV, telle que l'angle BCD soit égal k C, le levier fera, de part et d'autre de cette droite, des oscillations égales et isochrones dont l'amplitude sera la constante * : on déterminera l'angle C par l'expérience, en mesurant le plus petit et le plus grand écart du levier, et prenant , pour cet angle, la demi-somme do ces valeurs extrêmes de I. La droite DCD' qui répond k I = C est la position du levier daus laquelle il demeurerait en équilibre, s'il y parvenait sans vitesse acquise. La durée de chaque oscillation entière du levier, de part et

d'autre de cette ligne, sera le temps pendant lequel l'ongle t [s — + *' augmentera de 180" , a

en le désignant par T, on aura donc

et cette durée T sera aussi donnée par l'observation.

Maintenant, si l'on appelle o la gravité, et / U longueur du pendule simple qui fait ses oscillations infiniment petites dans le temps T, on a (uo 182),

r = . l/Ti

on aura donc

J« = f'i , par conséquent, à cause de

fm'c sin y

DYNAMIQUE , PREMIÈRE PARTIE

sin y

m étant la masse de la terre et r son rayon.

Toutes les quantités contenues dans cette formule sont connues dans chaque expérience ; elle servira donc à calculer le rapport de lu masse m' ù celle de la terre; et connaissant, en outre, les volumes de ces deux corps et la densité de m', on en conclura la densité moyenne de la terre.

264. On démontre, dans la Mécanique célesie , que pour la stabilité de l'équilibre de la mer, il est nécessaire et il suffît que la densité moyenne de la terre surpasse celle de l'eau. C'est parce que cette condition est remplie, que les forces provenant des actions simultanées du soleil et de la lune ne produisent que de petites oscillations : si elle ne l'était pas, et que la terre, par exemple, en conservant sa densité moyenne , fût recouverte par une mer de mercure, l'action des moindres forces étrangères au sphéroïde terrestre, produirait, dans ce fluide, un mouvement progressif, de sorte que la mer, au lieu d'osciller , parcourrait la surface entière de la terre.

On prouve aussi, par diverses considérations, que la densité des couches concentriques du sphéroïde terrestre, doit croître en allant de la surface au centre; d'où il résulte que sa densité moyenne doit surpasser celle de la couche superficielle; condition qui se trouve effectivement remplie; car si l'on excepte les métaux, qui sont en petite quantité dans cette couche , les densités des autres matières dont elle est formée , sont toutes beaucoup moindres que cinq fois et demie la densité de l'eau. Mais il importe d'observer que cet ac-

de matières entièrement différentes de celles que nous voyons à la surface, et dont la densité propre serait excessivement grande : on peut admettre que toutes les couches de la terre sont formées d'une même matière, un peu compressible, ou d'un mélange de différentes matières , comme à M surface; et dans cette hypothèse , qui parait la plus naturelle, leur accroissement de densité serait dû à la condensation produite, dans chaque couche , par la pression des couches supérieures, qui va en augmentant de la suiface au centre.

Dans l'intérieur de la terre, la loi de l'attraction, dépend de la loi inconnue des densités ; en dehors, elle varie sur le prolongement de chaque rayon , à peu près en raison inverse du carré de la distance au centre ; et d'un rayon à un autre , elle éprouve en même temps une variation proportionnelle au carré du cosinus de l'angle que chaque rayon fait avec l'axe- de figure du sphéroïde terrestre. Il résulte de cette dernière vuriation qu'à égale distance du centre de la terre, la force appliquée au centre de la lune et proveuant de l'attraction de ce sphéroïde, n'est pas la même dans tontes les

directions du rayon vecteur; en sorte qu'on peut considérer cette force comme étant composée de deux autres, l'une provenant de la partie sphérique de la terre et qui est constante ou ne varie qu'à raison de la distance à son centre, l'autre due au renflement de la terre à l'équateur et qui varie avec la direction du rayon par rapport à l'axe des pôles. Laplace a déterminé la petite inégalité en longitude et en latitude, que cette seconde force produit dans le mouvement de la lune; ou conçoit que sa grandeur doit dépendre de l'aplatissement de la terre; et en lu comparant à celle que l'observation a donnée, on en conclut un applatissement 1/305, peu différent de celui qui résulte de l'ensemble des mesures du pendule et des degrés du méridien.

A la surface de la terre, la variation de la pesanteur provenant de celle de l'attraction et de la force centrifuge, suit la même loi qu'à une distance quelconque du centre, c'est-à-dire qu'elle est proportionnelle, comme nous l'avons déjà dit (n« 178), au carré du cosinus de ta latitude. Mais pour vérifier cette loi par les mesures du | à secondes , il faut que les oscillations pas observées près d'une montagne ; cor , en même temps que la composante horixontale de son attraction écarte le pendule de la verticale, dans sa position d'équilibre , la composante verticale de cette force diminue la pesanteur , et , conséquemment , la longueur du pendule simple. En évitant celte cause d'anomalie, on trouve encore qu'en certains lieux la longueur du pendule à secondes s'écarte de la loi de variation donnée par la théorie; ce qu'on doit attribuer à ce qu'en ces lieux, la densité du terrain, dans une éteiidue et une profondeur considérables, est plus grande ou plus petite que lu densité générale de la couche superficielle , d'où il résulte une augmentation ou une diminution de la pesanteur totale, et, par conséquent, de lu longueur du pendule simple , qui est proportionnelle à son intensité. Le pendule est donc aussi un instrument de Géologie, qui annonce, par ses anomalies, des variations d'une grande étendue dans la nature du sol.

Au reste , il faut observer que la loi du decroissement de la pesanteur , proportionnel au carré du cosinus de la latitude, en allant du pôle à l'équateur, suppose qu'on prend pour la surface de la terre le prolongement du niveuu des mers ; et comme les lieux des continens où se font les observations s'élèvent à des hauteurs différentes au-dessus de ce niveau, il est nécessaire de réduire les longueurs observées, à celles qui auraient lieu à ce niveau même sur chaque verticale. Celte réduction se fait ordinairement en augmentant la pesanteur et la longueur du pendule à secondes , dans le rapport du carré de la distance du lieu de l'observation au centre de la terre, au carr«« de cette même distance diminuée de la hauteur de ce lieu au-dessus du niveau des mers ; ce qui

revient à négliger rattraction de la couche de terre comprise entre In surface du conlioent et le prolongement de la surface des mers. On va voir, dans le numéro suivant , qne cette correction est trop grande de près de moitié.

266. Soient AM'B ( fig. 69 ) la surface d'un continent , DAUBE le niveau des mers et son prolongement, et C le centre de la terre; soient aussi H' le lieu de l'observation, et H le point où le rayon CM' rencontre ce prolongement ; H'H sera la hauteur du point M au-dessus de la surface des mers, que je représenterai par h, et qui aéra donnée par un nivellement ou par des mesures barométriques. Si M' était très voisin de la mer, la pesanteur pourrait être un peu diminuée et sa direction un peu dérangée, à cause que la densité de l'eau est moindre que celle du terrain ; mais je supposerai que cela n'ait pas lieu, et je supposerai aussi qu'autour du point M' la surface du terrain soit horizontale ou sensiblement perpendiculaire au rayon CM', et que sa densité soit uniforme. Il s'agira de calculer l'attraction exercée au point M', par la couche AM'BM, élevée au dessus du niveau de

ce calcul, on pourra faire abstraction de la courbure de cette couche et de la variation de son épaisseur, nu, autrement dit, on pourra considérer l'épaisseur de cette couche comme constante et égole à h, dans toute l'étendue où son attraction peut être sensible. Je représenterai par e le rayon de cette étendue , et par f ' la densité de la couche.

Cela posé, soit K un point quelconque de la couche attirante ; désignons par s et y ses distances à la surface du terrain et au rayon CM'; et décrivons deux surfaces cylindriques qui aient MM' pour axe commun, et dont les rayons soient y et y -f- d'y. Le volume compris entre ces deux surfaces aura 2wydy pour base et dt pour hauteur; et si on le décompose en anneaux horizontaux d'une épaisseur infiniment petite, le volume de l'anneau qui répondra au point K sera Srydyds , et sa masse Zxf 'ydydz. L'attraction de cet anueau sur un point matériel situé en M' se réduira à un

suivant MM', qui sera égale à la somme des composantes verticales des attractions de tous ses pointa; et comme, pour le point quelconque K, on a

cos KM M =

la force accélératrice provenant do Pi l'anneau entier, aura pour valeur

de

2wff'yzdydt

/ étant toujours le coefficient de l'attraction universelle. Par conséquent, pour avoir l'attraction de la couche que nous considérons, il faudra intégrer cette formule depuis s = 0 jusqu'à ssb h, et depuis y= 0 jusqu'à y =c; ce qui donne

en désignant cette force par A\ Mais, en général, l'épaisseur verticale de la couche attirante est petite, eu égard à son rayon horizontal; si donc on néglige k' par rapport à c> , on aura simplement

Soit k l'attraction exercée au point M par lu partic de la terre qui se termine an niveau des mers, et r le rayon CM ; cette attraction au point M' de-

En désignant la pesanteur et la composante verticale de la force centrifuge par y et y au point M, et par y' cl y' an point M', on aura donc

Je développe le premier terme de y' suivant les puissances de *, puis je retranche y' de g, et j« néglige lo carré de h et la petite différence y' — y, il vient

2kh

A cause de la petitesse du facteur—, on

k = gf dans le premier terme de cette formule ; la petite quantité on peut aussi suppo

en désignant par f la densité moyenne de la terre , et prenant — - — pour son volume; il en résultera alors

C'est doue par le facteur compris entre les paren-

thèses, et non par le facteur 1 H , comme on a

coutume de le faire , qu'on devra multiplier la pesanteur y 1 qui a lieu sur un continent, à une hauteur h au-dessus du niveau des mers, pour la réduire à ce niveau. On peut, en général , évaluer f' à la moitié de t. et prendre, en conséquence,

loi M

1 H pour co facteur. A Paris , l'élévation h du

point de l'Observatoire où se trouve le baromètre, est de A3 mètres; d'où il résulte que la gravité et la longueur du pendule a secondes y sont moindres qu'au niveau des mers, dans le rapport de l'unité à 1,0000185.