DE J KOT TI 1IIHF D U* CORPS SOLIDE
260.11 n'y ■ pas do corps solide, dans la nature, qui ne soit plus ou moins compressible, et qui ne change de forme lorsqu'il est soumis à des forces qui se font équilibre. Mois quand le corps solide que nous allons considérer aura pris la forme convenable , on pourra regarder les points d'application des forces qui le sollicitent comme un système de force invariable; et c'est à cet état que répondront les coordonnées de ces diflërens points, qu'on supposera connues, et qui entreront dans les équations d'équilibre.
Soient M, M', M'', etc., ce système de points matériels. Pour chaque point on aura sept quantités à considérer, savoir , ses trois coordonnées , la force qui le sollicite , et les trois angles qui en déterminent la direction. Je désignerai par P la force qui est appliquée au point 31, et dont la direction sera la droite MD ( fig. 60 ); par s, y t m, les trois coordonnées OG, G1I, H H, du point M, rapportées aux aies rectangulaires 0*, Oy, 0s ; et par *, C, y, les angles aigus ou obtus que fait la droite MD, avec des parallèles à ces axes , menées par le point JJ. Relativement aux autres points M', M", etc. , je représenterai les quantités analogues par les mêmes lettres avec des necens.
Cela posé, avant de chercher les conditions d'équilibre des forces données P, P', P", etc., nous ullons transformer ce système de forces en trois autres, dont l'un sera composé de forces parallèles à Taxe Os, un autre de forces parallèles à l'axe
Oy et dirigées dans le plan des s et y, et le troisième de forces dirigées suivant l'axe Or.
257. Décomposons chacune des forces P, P', P'', etc. , sans changer son point d'application , en trois forces parallèles aux axes des s, y, x; P cos <*, P' cos «', P" cos »", etc., seront les forces parallèles à l'axe Oj ; P cos C, P* cos C, P" cos C", etc. , les forces parallèles à l'axe Oy; P cos y, P' cos y', P" cos y" y etc. , les forces parallèles à l'axe Os ; et Ton pourra d'abord remplacer les forces données par ces trois groupes de forces parallèles.
Sans altérer le système de forces que l'on considère, il est permis d'appliquer en un même point deux forces égales et contraires. J'applique donc au point M deux forces parallèles à l'axe Os, égales et opposées, et que je représente par g cl — y. Je compose la force y qui agit suivant MC, avec la force P cos », dirigée suivant MA parallèle à Os ; soient ME la direction de leur résultante, et K le point ou sou prolongement vient rencontrer le plan des x et y. Je transporte son point d'application en ce point K, puis je la décompose en deux forces parallèles aux axes de x et s; ce qui reproduit les forces P cos • et y ; mais la force P cos * est maintenant dirigée suivant la projection sur le plan des * et y , de sa première direction , et la force y est appliquée, perpendiculairement à ce plan, au point k de cette projection , dont les coordonnées sont faciles à déterminer.
En effet, Il étant la projection du point M sur le
STATIQUE, SECONDE PARTIE
plan des x et y, ses coordonnées seront .1- et y, et l'on aura y et s — KH pour celles du point K, puisque ces deux points appartiennent à une même parallèle à Taxe des t. Or, en considérant le rectangle K>>IH. dont la diagonale KM est lu direction de la résultante des forces g et P cos », qui agissent suivant les côtés BU et K 11 , on a la proportion
KH : hh :: p cos • : g-,
d'où Ton tire
KH - lPco> «
à cause de H M = s. Les coordonnées du point d'application K de la force g , dans le plan des * et y, sont donc
sP cos « y et * —
En opérant de la même manière sur les forces P cos Cet — y, la première sera transportée dans le plan des « et y suivant ln projection de sa première direction, et les coordonnées du nouveau point d'application de la force — g, dans ce mémo plan, seront
, aP cos C y + et x.
On transportera par le même moyen toutes les forcea P' cos •', P" cos •", etc., P cos C, P" eus C", etc., dans le plan des x et y; chacune de ces forces agira suivant la projection sur ce plan, de sa direction primitive, qui pouvait être au-dessus ou au-dessous de ce même plan; et l'on aura de plus autant de couples de forces g' et — 9 > t 9" et — 9"i ^c. , qu'il y a de points M', M", etc. Les coordonnées des points d'application de ces dernières forces , dans le plan des * et y, se déduiront de c»lles "qui répondent aux forces y et — g, en accentuant les lettres *, y, s,
2ôb. Maintenant , par une semblable opération , faite sur les forces P cos », P' cos •', P" cos •", etc. , parallèles à Taxe des x, et comprises dans le plan des s et y, on les transformera en deux groupes de forces, dont l'un se composera de forces parallèles à l'axe Oy, et l'autre de forces dirigées suivant l'axe Ox.
Ainsi, au point H (fig. 61), où agit la force P cos • suivant la direction HF, j'applique des forces parallèles à Oy et représentées par h et— h; je compose la forée k, dirigée suivant HB, avec la force P cos • ; je transporte le point d'application de leur résultante au point Q , où le prolongement de sa direction KH vieut rencontrer l'axe Ox; puis je la décompose suivant les directions rectangulaires Q* et Qy, ce qui reproduit en
ce point Q les forces P cos « et h. D'ailleurs, on aura
gq : gh :: p cos * : h -
et , a cause de OG sa x et GH = y , on en conclura 00 = . -
pour l'abcisse du point Q.
La force P cos », dont la direction était UF, sera donc remplacée par une force P cos * , qui agira suivant l'axe 0*, et deux forces k et — h, perpendiculaires à cet axe , et appliquées à des points Q et G dont les positions sont connues. Il en sera de même à l'égard des autres forces P' cos •', P" cos •", etc., parallèles à Taxe des x, et comprises dans le plan des * et y , qui seront aussi remplacées par des forces P' cos •', P" cos »", etc. , dirigées suivant la droite Ox, et par des couples de forces *' et — *" et — h", etc. , parallèles à l'axe Oy.
259. Nous voyons donc que par ces deux opérations successives , les forces données seront transformées, comme on l'avait dit , en trois groupes de forces, dirigées suivant l'axe de x , perpendiculaires à cet axe et comprises dans le plan des s et y, et perpendiculaires à ce plan.
Dans cette transformation, la force quelconque P se trouvera remplacée par six autres forces, qui seront :
1" Les trois forces P cos y , g , — g , parallèles à l'axe des 1, et dont les points d'application sur le plan des x et y ont pour coordonnées rapportées aux axes Ox et Oy , savoir : celui de la première, x
et y; celui de la deuxième, x — ■ ' S * et .
celui de la troisième, x et y -f- - — — — .
2° Les deux forces P cos C — À et h, parallèles à
Taxe des y, comprises dans le plan des x et y , et
qu'on peut supposer appliquées à l'axe des xj la
première à la distance x du poiut 0 , et la seconde
. , ,. , yPcos»
a la distance x - .
3» U force P cos », dirigée suivant l'axe des x, et dont on pourra transporter le point d'application en 0.
280. Il est facile actuellement de former les équations d'équilibre des forces données P, P', P", etc., ou des trois groupes de forces qu'on vient de leur substituer.
On doit d'abord remarquer que cet équilibre ne peut exister, à moins qu'il n'ait lieu séparément dans chacun de ces trois groupes de forces. Eu effet, si les forces parallèles à l'axe des m ne se détruisaient pas entre elles, et que cependant l'équilibre de toutes les forces données fût possible, on pourrait, sans troubler cet équilibre, rendre
TRAITÉ DB KÉCAMQIE.
fiifl une droite tracée dans le plan dea x et y; mais alors les forces comprises dans ce plan seraient détruites , soit parce qu'elles rencontreraient cet axe fixe, soit à cause qu'elles lui seraient parallèles. On pourrait donc les supprimer; et, cela fait, l'équilibre serait rompu, contre l'hypothèse, puisque rien n'empêcherait plus les forces perpendiculaires au plan des « et y de faire tourner le corps solide autour de l'axe fixe; par conséquent, l'équilibre est impossible tant que ces dernières forces ne se détruisent pas séparément. Cela étant, on terra de même que l'équilibre ne peut exister entre les forces comprises dans le plan des s et y, i que les forces parallèles à l'axe des y ne se dét entre elles; car s'il avait lieu, et que cette condition ne fût pas remplie , on fixerait un point de l'axe des s t qui détruirait toutes les forces dirigées suivant cette droite : rien n'empêcherait plus les forces perpendiculaires a cette droite , de faire tourner le système autour de ce point ; en sorte que l'équilibre se trouverait détruit par l'addition d'un point fixe, ce qui serait absurde.
Cela posé, si le corps solide que noos considérons e*t entièrement libre , il faudra d'abord ( n» 57 ), pour l'équilibre des forces parallèles P cos y, P' cos y», P" cos y'', etc., y et — y, g' et — 9't 9" «» — y", etc., que leur somme soit nulle; ce qui donne
P cos y + P' cos y* + P" cos y" + etc. = 0.
Il faudra, en outre, que les sommes de leurs mamens par rapport au plan des s et s et à celui des y et s, qui sont parallèles à ces forces, soient aussi nulles. Or, par rapport au premier plan, on •
yP cos y + g>P cos y' + y"P» cos y" + etc. ,
pour la somme des moraens des forces P cos y ; P' coi y', P" cos y», etc., forces y, y', y", etc., est
99 +M + yV + etc
et la somme des momens d — g", etc., a pour valeur
es forces —g, — g' f
d'après les coordonnées des points d'application de ces diverses forces. On a donc , en ajoutant ces trois sommes et réduisant,
P (y cos y - s cos C) + F ( y 1 cos y' — cos C) + etc. = 0 ;
et l'on trouvera de même , en formant la somme des moment des mêmes forces , par rapport an plan des y et m t et l'égalant à xcro ,
P {* cos y — s cos •) + V (*' cos y' — s' cos •') + elc. — 0.
Quant aux forces P cos C — k, P* cos C — fc'; P" cos C» — fc", etc. , et k, h', A", etc. , parallèles a l'axe des y , et toutes comprises dans te plan des a? et y , il n'y aura que deux équations d'équilibre (n« 67); il suffira que leur somme soit égale à séro, ce qui donne
PcoeC+P' cost" + P"cosr + etc. = 0,
par rapport au égale à xéro. Or, par des pre-
et que la somme de plan des y et a, soit rapport à ce plan, la mières forces est
* (P cos C (P« cos C — etc. = 0 j
celle des mumens des forces h, h', k" t etc. , est en
eti>.
d'après leurs distances k l'axo des y; par conséquent, en égalant la lommc totale à xéro, on aura P(*cosC — y cos.) +P , (*' cos C 1 — y' cos ) + etc. =0.
Telles sont les six équations nécessaires et suffisantes pour l'équilibre d'un corps solide entièrement libre et sollicité par des forces quelconques . qu'il s'agissait d'obtenir.
In, pour l'équilibre des forces dirigées suivant l'axe des 0, il suffira que leur somm nulle; d'où il résulte
P cos . + P' cos + P" cos ." + etc. = 0.
STATIQUE, SECONDE PARTIE
IM
