En faisant, pour abréger

P cos • + P' co» + P" cos •" + cto. = X ,

P cos - P us C + P* cos C" + eto. = Y ,

P CO. y + P» CM y' + P' COS y" + eto. = Z ,

P(scosC-, Mi .) + P* ( é cos C'-y'ccW ) + cto. = L,

P ( scos m — r co» y ) + P ( cot »' — x' cot ) + eto. = I ,

P(ycos>-s cos C)+ P» ( y cot y' -.'cotC ) + etc. c= »,

X = 0, Y = 0, Z = 0, L = 0, I as 0, R x= 0. (1)

On peut remarquer, que ces quantités L, M, N, ainsi que Z, Y, X, te déduisent let unes des autres par la règle du n° 22.

Ce» sis équations renferment des conditions d'équilibre communes à tous les systèmes de points matériels entièrement libres; car, quelle que toit 1s nature d'un pareil système, ou la liaison mutuelle des points qui le composent, il est évident qu'on ne troublera pas leur équilibre en rendant leurs distances invariables , sans changer leurs coordonnées , ni les forces qui les sollicitent. Par conséquent, les équations d'équilibre d'un système de forme invariable, qui ont lieu entre ces quantités , doivent encore subsister pour tout autre système, mais alors elles ne sont plus

suffisantes; et il y faut joindre d'autres conditions

serviront, comme on le verra par la suite, à déterminer les positions relatives do ses diGTérens points dans l'état d'équilibre.

282. Quand les forces données sont toutes parallèles entre elles, les angles qu'elle» font avec chacun des axes Ojr, Oy, Os, tout égaux ou supplémentaires, selon que ces forces agissent dans le même tens ou en sens contraire; ou peut les supposer égaux , eu considérant , en même temps , comme positives les forces qui agissent dans un sens , et comme négatives celles qui agissent dans le tens opposé (n° 1 1 ); on aura donc alors

• = •' = «*», etc. , C = C = C", etc., y t= y' = y" , eto. ; moyen de quoi let troit première* équations (1) te réduisent a une teule, tavoir :

p + V + P» + eto. = 0 ,

et les troit autres deviendront

( P* + PV + PV + eto.) (Ps + PV + PV» + etc.) (Py + P'y- +PV + etc)

lais let équations d'équilibre des forces parallèles étant seulement au nombre de trois, il faut que ces trois dernières équations se réduisent à deux; et, en effet, si on les ajoute après les avoir multipliées par ços y, cot C, cot a, on trouve une équation identique; en torte que Tune d'elles est une suite des deux autret.

Quand toutct.les forces données sont comprises dans un même plan, on peut prendre ce plan pour celui des s et y ; alors les angles y , y\ y", etc., sont droit», et les coordonnées s", etc.,

égales i zéro, ce qui fait évanouir la troisième et let deux dernières équations (1). Dans ce cas particulier , comme dans le cas des forces parallèles, il y a donc seulement trois équations d'équilibre , qui sont

&>3. Lorsque les forces données ne se font pas équilibre, on peut demander la condition qu'elles

(Py + PV + P"y'' + eto.) cos • , (P* + P y + IV + rte. ) cos y \ (Ps + PV + V'-J' + eto. ) cos t.

doivent remplir pour avoir uno résultante unique , et quelle est cette résultante.

Pour répondre a cette question, je désigne par R cette force; par a, b, c, les angles que sa direction fait avec des parallèles aux axes Ojs, Oy, Os, menées par un de ses points , qu'on prendra pour son point d'application, et dont les coordonnées, rapportées à ces mêmes axes , seront représentés par *• t f » » Cette force , prise en sens contraire de sa direction , fera équilibre aux forces données. Les équations (1) auront donc lieu en joignant à P, P', P", etc. , une force égale et contraire a R ; par conséquent, on aura

X = R cos I, T b I cos 6 , Z — R cos c , (•) et, en outro ,

Lslffi oot * 1 = R ( Aj cos a H = U ( y , co» c

y. cos a),

Xt cos c).

Si COS b),