ISA

TRAITÉ l>B MÉCANIQUE.

c'est-à-dire, en vertu de* trois premières équations,

Xy, - \x, +1 = 0, î

Ys, Zy, + H = 0, )

Les coordonnées x t , y, , s t , pouvant appartenir à un point quelconque de la droite suivant laquelle est dirigée la résultante, ces trois dernières équations seront celles de ses projections sur les trois plans des coordonnées. Pour que cette droite existe, il faudra donc qu'elles se réduisent à deux; or, en les ajoutant après les avoir multipliées par Z, Y, X, les trois variables s, , y, t s, t disparaissent, et l'on a

Il + Yi + xx = n ; (4)

par conséquent, il sera nécessaire et il suffira que cette équation (4) soit satisfaite pour que les forces données aient une résultante unique : quand elle aura lieu, cette force sera déterminée, en grandeur et en direction, pur les équations (2).

Q ( L cos » -f M i os /* -f- 8

en sorte qu'on y satisfera d'une infinité do manières différentes, au moyen de la force Q et des angles A, /u, », relatifs à sa direction.

La résultante B des forces Q, P, P'. P", etc., et sa position, se détermineront au moyeu des équations (2) et (3) , dans lesquelles on mettra X -f- Q cos x , Y Q cos /», Z + Q cos »., au lieu de X, Y , Z. Les forces données P, P', P", etc., pour, ront donc être remplacées par cette résultante R et une force égale et directement contraire à la force Q; d'où Ton conclut que quand les forces données ne sont point en équilibre, ni réductibles à une force unique, on peut toujours les réduire, d'une infinité de manières différentes, ù deux forces seulement, qui ne seront pas comprises dans un même plan, sans quoi elles se réduiraient a une seule, contre l'hypothèse. C'est d'ailleurs ce qu'on voit immédiatement par lu transformation du n° 257 ; car les forces données P, P', P", etc. , pourront être remplacées par la résultante des forces parallèles à l'axe des s, et par celle des forces comprises dans le plan des s et y,- et l'on pourra ensuite transformer , sans difficulté , ces deux résultantes en deux autres forces, d une infinité de manières différentes. En cherchant la condition pour qu'elles se rencontrent, on trouvera l'équation (4), relative » l'existence d'une résultante unique.

265. Si l'on considère denx corps solides A et A' ( fig. 62), qui se touchent en un point K et s'ap-

Si les trois sommes X, Y, Z, des composantes parallèles aux axes des x, y, s, sont nulles, l'équation (4) sera satisfaite ; mais alors la résultante sera une force infiniment petite, située à une dislance infinie des points d'application des forces données, ou , plus exactement, ces forces se réduiront à deux, égales, parallèles, agissant en sens contraire, et non réductibles à une seule (n» 44).

Lorsque les trois sommes L , M , /( , sont nulles , l'équation (4) sera aussi satisfaite; et l'on voit, par les équations (3), que la résultante passera par l'origine des coordonnées.

284. Quand la condition exprimée par l'équation (4) ne sera pas remplie, on y pourra satisfaire en joignant aux forces données une force convenable. Je supposerai, pour plus de simplicité, qu'elle passe par l'origine O des coordonnées ; je la représenterai par Q, et par x, /*, r , les onglet qu'elle fait avec les axes Or, Oy, 0*. Les quantités L, M, ne changeront pas par l'addition de cette force, et les sommes X, Y, Z , augmenteront des termes Q cos x , Q cos ai , Q cos r. L'équation (4) deviendra donc

x) + LZ + MY + KZ = 0;

puient l'un contre l'autre , et si l'on suppose qu'ils soient sollicités par des forces données, il sera facile de déduire de ce qui précède les conditions de leur équilibre.

Pour cela, je suppose que les six quantités X , Y , Z, L, M, N, du n n 281, se rapportent au corps A, et je désigne par X', Y', Z', L', M', N', ce qu'elles deviennent relativement à A'; j'uppelle x, , y. , *, f les coordonnées du point K rapportées aux mêmes axes que celles qui entrent dans ces diverses quantités; par le point K, je mène une droite H h. H perpendiculaire au plan tangent commun aux deux corps; je représente par a, b t c, les angles que fait la partie KH de cette droite, comprise dans A, avec des puralléles aux axes des x , y, s, menées par ce même point K: toutes ces quantités sont données, et il s'agira de former les équations d'équilibre auxquelles elles doivent satisfaire.

Or, le corps A exercera sur A', dans la direction KH', une pression inconnue que je représenterai par R ; il en éprouvera , en même temps , une résistance égale et contraire à cette force normale. Si donc on joint aux forces données qui agissent sur A une force R dirigée suivant KH , on pourra ensuite faire abstraction de A', et, de même, si l'on joint aux forces appliquées à A' une force R dirigée suivant KM, ou pourra aussi considérer A' isolément. Il résulte de là et des équations (I) qu'on aura pour l'équilibre de ces deux corps les douic équations suivantes :

STATIQUE , SECONDE PARTIE

X + R cos • = 0 , Y + R co» 6 X' - R co, a = 0, V - R cos b

cos a ) cos c) cos b) cos o ) co» c ) co» &)

ros 6 — y (

cos a —

cos c — Si

po» 6 — y t

co» a — #i

0 , Z + R cos c 0 , Z' — R oos o 0,

qui se réduiront k onic par l'élimination de R. Après que ces onxe équation» d'équilibre auront été vérifiées, l'une des précédeutes fera connaître la valeur de R, qui devra être une quantité positive pour que les deux corps s'appuient réellement l'un

ce qui résulte aussi des conditions d'équilibre communes à tous les systèmes entièrement libres , comme celui des deux corps A et A' (n° 261).

On trouvera pareillement les équations d'équilibre d'un nombre quelconque de corps solides, dont plusieurs s'appuient l'un contre l'autre; et il est aisé de voir que le nombre de ces équations sera égal à sii fois celui des corps, moins le nombre de leurs contacta.

266. Les équations d'équilibre d'un corps solide assujetti à des coudilions données doivent être comprises parmi celles d'un corps entièrement libre ; car l'équilibre de celui-ci ne serait pas troublé, si on l'assujettissait à ces conditions particulières ; en sorte qu'aucune nouvelle équation d'équilibre ne peut être introduite par ces conditions. Mais, au contraire, une ou plusieurs des équations (1) deviendront superflues; et il s'agira de déterminer , pour les diflerens cas qui peuvent se présenter, celles de ces équations qui resteront nécessaires. C'est ce que nous allons faire successivement dans ce numéro, en supposant toujours qu'on ait remplacé les force» données P, P', P", etc., par les trois groupes de forces du n» 269.

!• Si le corps solide qui doit rester en équilibre i un point Gxe, on prendra ce point pour

l'origine 0 des coordonnées. Les forces dirigées suivant l'axe Os seront détruites par ce point; ce qui fera disparaître l'équation X = 0. Pour l'équilibre des forces parallèles à l'axe Oy et comprises dans le plan des * et y, il ne sera plus nécessaire qu'on ait T = 0, et il suffira que leur résultante coîocide avec l'axe Oy, ou que la somme L de leurs momens, par rapport au plan des y et a, soit égale à séro. Enfin, pour l'équilibre des forces parallèles à l'axe des s, l'équation Z= 0 ne sera plus nécessaire; il suffira que leur résultante coïncide avec l'axe Os ; ce qui exigera que les sommes de leurs momens, par rapport aux plans des y et i , et des * et s , qui sont les quantités — M et N, soient égales à xéro.

Ainsi, dans ce premier cas, les trois équations d'équilibre qui resteront nécessaires seront

Elles signifient, effectivement , que les forces données ont une résultante unique, et que cette résultante vient passer pur le point fixe O. Cette force exprimera, en grandeur et en direction, lu pression exercée sur ce point , et sera déterminée par les équations (2).

2° Supposons que le corps solide soit retenu par un axe fixe, autour duquel il est assujetti à tourner, sans pouvoir glisser dans le sens de sa longueur. Prenons cet axe pour celui des *; lesforces parallèles à cette droite Os ne pourront produire aucun mouvement, et les trois équations Z = 0, M = 0, N = 0, relatives à leur équilibre , ne seront plus nécessaires. Les équations \ — 0 et Y —0 ne le seront pas non plus pour l'équilibre des forces comprises dans le plan des * et y,- en sorte que , dans ce cas, il u'y aura plus qu'une seule i d'équilibre, qui sera L = 0, c'est-à-dire,

P ( s cos C - y co» •) + P» ( *' cos C — y' cos •') + etc. = 0. (6)

forces comprises dans le plan des * et y, déterminée, en grandeur et en direction, par les deux premières équations (2), et passant par le point 0, en vertu de l'équation (5). Les forces parallèles à cet axe tendront en même temps à le faire tourner sur lui-même.

Hais »i le corps avait la liberté de glisser le long de Taxe fixe, il faudrait en outre, pour empêcher ce mouvement, que la somme Z des forces parallèles à Os fût égale à xéro; et il y aurait alors les deux équations d'équilibre

La pression que l'axe fixe éprouvera perpendiculairement à sa directiou sera la résultante des

Eu comparant les quantités X et N à L, on conclut de leur composition que l'équation d'équilibre autour de l'axe Oy sera H = 0 , et qu'elle sera N = 0 autour de l'axe 0*. Il en résulte aussi que

168 TRAIT* UB

In condition d'équilibro outour d'un point fixa consiste en ce que lYquilibre ait lieu successivement autour de trois n\es fixes et rectangulaires , menés arbitrairement par ce point. Par conséquent, si l'équilibre existe autour de trois axe» rectangulaire* qui se coupent en un même point, il aura aussi lieu autour de toute outre droite passant par C6 point.

8" Je suppose que trois ou un plus grand nombre do points non en ligne droite, appartenant au corps solide, soient assujettis à demeurer sur un plan fixe dont la position est donnée ; et je prends <e pl. m pour celui des x et y. Les forces parallèles à Taxe des s ne pouvant produire aucun mouvement, les équations relatives à leur équilibre n'auront pas lieu; mais les trois équations

qui répondent aux forces comprises dans le plan des * et y, seront nécessaires pour empêcher le corps dn glisser ou de tourner parallèlement à ce plan fixe.

Lu force Z exprimera la pression totale que le plan fixe éprouvera. Si le corps est seulement posé sur ce plan, de sorte qu'il s'agisse par exemple, d'un polyèdre dont une f«c* soit en contact avec le plan des x et y, il faudra que le signe de Z soit tel, que celte force appuie le corps contre ce plan. Il faudra, en outre, que celle résultante des forces parallèles à l'axe des a vienne percer le plan des * et y dans Tétenduo de la base du corps, sans quoi elle le détacherait de ce plan , en le faisant tourner autour de l'un des côtés de cette base. Or, si l'on appelle *, et y, les coordonnées du point ou cette résultante rencontre le plan des * et y, ses raomens pur rapport aux plans des x et a et des y et a seront Z y, et Zx, ; ils devront être égaux

rapport aux mêmes plans; et, d'après les valeurs de ces deux sommes qu'on a trouvées précédemment (n° 260), on aura

Zx i = — M, Zyi = N.

Il faudra donc vérifier, dans chaque cas particulier, que les valeurs de j, et y t , tirées de ces équations, appartiennent à un point de la base du corps; condition d'équilibre qui ne peut être exprimée par des équations, non plus que celle qui est relative au signe de Z.

4° Si les points du corps assujettis à rester sur le plan fixe des r et y sont seulement au nombre de deux , ou bien s'ils sont tous situées sur une même droite, on prendra celte ligne pour Taxe des y; la résultante Z devra alors rencontrer le plan des x et y en un point de cet axe; et, indépendamment des trois équations du cas précédent, on aura cette quatrième équilibre M = 0.

q u + QY + Q»y O 'Y"

fi» Enfin , lorsque le corps solide no touchera la plan fixe des m cl y qu'an un seul point , où Ton placera l'origine O des coordonnées, on verra, sans difficulté, que les équations d'équilibre seront ou nombre de cinq, savoir :

La force Z exprimera toujours la pression exercée sur le plan fixe ou point 0, et devra avoir un signe convenable.

Ce résultat coïncide ovec celui du numéro précédent; car si l'on suppose le corps A' Gxe et terminé par un plan , que l'on prenne ce plan pour celui des x et y, et le point R (fig. 02) pour origine des coordonnées, ou dev ra faire, dans les équations de ce numéro, ai = 0, yi = 0, m t = 0, a = 90°, o = 90»} ce qui réduira aux cinq équations précédentes , un pareil nombre des six équations relatives à l'équilibre du corps A. La sixième de ces équations deviendra, en mémo temps ,

en supposant qu'on aite = 0, ou que la partie RH de la normale toit l'axe des a positives; par conséquent, la pression exercée sur A', qui est égale et contraire a la résistance R, sera la force Z en grandeur et en direction.

On peut remarquer , d'après cette énumération des différens cas d'équilibre, que les nombres d'équations relatives à un corps solide gêné par des obstacles fixe» peuvent être tous ceux qui sont inférieurs au nombre six , correspondant à un corps entièrement libre.

207. L'équation (6) relative a l'équilibre autour de l'axe des a supposé fixe, ne contient ni les composantes parallèles à cet axe, des forces données P, P', P", etc., ni les coordonnées parallèles au même axe, de leurs points d'application H, H', H", etc.; en sorte que l'équilibre ne serait pas troublé, si l'on remplaçait ces forces et leurs points d'application par leurs projections sur le plan des * et y ; ce qu'on démontrerait d'ailleurs facilement à priori.

Soient donc Q , Q', Q", etc. , les forces P, r . P", etc. , projetées sur le plan des x et y, c'està-dire, décomposées parallèlement à ce plan et

transportées aux projections des points M, H', M", etc., sur ce même plan. Désignons par q, q ', q' etc. , les perpendiculaires abaissées de l'origine des coordonnées, supposée fixe, sur les directions des forces Q, Q', Q", etc. ; et, pour fixer les idées , supposons que Q , Q', Q", tendent à faire tourner, dans le même sens, autour de cette origine, et que Q" , Q»*, etc., tendent à faire tourner dans le sens opposé. Pour l'équilibre de toutes ces forces, îl faudra, d'après le n° 47, que l'on ait

— Q"q" — etc. =0, (6)

STATIQUE, SECONDE PARTIE

en considérant q, q', q'", etc., comme des quantités positives, aussi bien que Q, Q', Q", Q", etc.; par conséquent, cette équation devra coïncider avec l'équation (5); ce qu'on vérifie, en effet, de la manière suivante.

Soient H (fig. 63) la projection du point M, OG etHG ses coordonnées * et y, HA la direction de la force Q, x et m les angles que fuit cette droite avec de» parallèles aux axes 0* et Oy, menées par le point H. Par le point 0, menons deux autres axes Ox , et Oy i , le premier suivant la direction HA , et le second perpendiculaire à cette droite et tel que l'angle yOy, soit aigu ou obtus en même temps que sOx, ; appelons x, et y, les coordonnées OF et FH du point H , rapportées à ces nouveaux axes ; nous aurons, comme on sait,

*x = y cos f* -f- x cos x , y i = y cos x — * cos f.

Or, la perpendiculaire OK. ou q, abaissée du point O sur HA, devant être une quantité positive, on aura

9 — ± F' = ± (j cm » - c coi »),

selon que l'ordonnée y, sera positive ou négative, on, ce qui est la même chose, d'après le sens qu'on a supposé à l'axe Oy, t selon que la force Q tendra à faire tourner, dans un sens ou dans le sirs opposé, autour du point 0. On a d'ailleurs

Q = P sin > ,

et, de plus (n° 8)

cos • = sin y cos x , cos C = shi.y cos t* \ il en résultera donc

Qo = i P ( y cos • — * cos C ).

Les forces Q' et 0/ I codant , par hypothèse ,

à faire tourner dans le même sens queQ, on au™ de même

QV = ± P» (y» cos - x' cos C), Q"«" =±P'( y" cos — *" cos C" ) ;

et les autres forces 0/", Q", etc., tendant à faire tourner en sens opposé, on aura, au coutraire,

Q"Y" = If P"' (y cos - *'» cos P»), Q"9" = =F P" ( y" cos » n — m" cos C»), etc.

On prendra donc , en même temps , les signes supérieurs ou les signes inférieurs dans toutes ces valeurs; et en les substituant dans l'équation (6), elle deviendra l'équation (6); ce qu'il s'agissait de vérifier.

268. Le corps en équilibre étant toujours soumis à la pesanteur, il faudra comprendre parmi les forces données P, P', P", etc., son poids appliqué suivant la verticale à son centre de gravité. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'un corps pesant posé sur un plan incliné et soutenu par une seule force. La figure 64 représente une section du corps passant par le centre de gravité G, et perpendiculaire au plan incliné; la longueur de ce plan est AB , sa base BC, et sa hauteur AL. On place l'origine 0 des coordonnées sur la verticale GU passant par le centre de gravité , et l'on prend les axes Os et Ox perpendiculaire et parallèle à AB : le troisième axe Oy, qui n'est pas représente , serait perpendiculaire an plan île lu figure. La force P sera le poids du corps, la verticale GH sa direction , et HOx l'angle m. On aura , en outre , x =: 0, y = 0, C = »0°. En prenant donc P' pour la force donnée qui soutient le corps pesant, les équations d'équilibre du troisième cas du n« £66 se réduiront à

P cos « -f- P cos •' = 0 , P' cos C ES 0, P' ( âV cos C — y' cos ) = 0.

D'après les deux dernières , on aura C = 90° et y' = 0; ce qui montre d'abord que la force V devra être comprise dans le plan des x et s ; et en effet, cela est évidemment nécessaire pour que celte force et le poids du corps aient une résultante unique, perpendiculaire au plan incliné. Je supposerai que 0 soit le point où la direction de P' rencontre la verticale GH, et je représenterai par OD cette direction. L'angle «' ou DOx devra cire obtus pour satisfaire à la première des trois équations précédentes ; j'appellerai i l'augle aigu DO*' que fait la force P avec le prolon-emcut de Ox, de sorte qu'on ait

eos = — cuil.

L'angle • ou HOx est le complément de l'incliuaison ABC du plan; en désignant la hauteur AC

par h, et la longueur AB par l, on aura donc

cos • = — \ d'où il résultera finalement

équation d'équilibre qui fera connaître l'une des deux quantités P* et J, quand l'antre sera donnée.

Lorsque, par exemple, la force P' sera parallèle au plau incliné, on uura* = 0, et, conséquemment,

ou, ce qui est la même chose,

P* = P sin s ,

I6i» TRAITÉ DE

en appelant i l'inclinaison du plan. Si Ton appelle Q la pression que le pion éprouvera, et qui sert, dans ce cas, la composante du poids P suivant la perpendiculaire Os, on aura, en mémo temps,

Q = P cob •'.

269. On fuit ici abstraction du frottement qui s'ujoule à la force P' parullèlc hu plan incliné, pour empêcher le corps de glisser le long de ce plan. Si celte force P' est nulle, le frottement seul peut retenir le corps tant que l'inclinaison s n'a pas atteint une certaine limite. En désignaut par x cette limite , c'est-à-dire , l'angle *' qui a lieu lorsque l'équilibre va commencer à se rompre, et supposant qu'à cet instant le frottement est une fraction f de la pression , il faudra que la force fil fasse exactement équilibre à la composante P sin x du poids du corps , parallèle au plan incliné. Par conséquent , on aura , à la fois ,

Q = P cos x , / Q = P sin x ; d'où Ton tire

/ = tan» x ;

ce qui fera connaître la valeur de/, d'après l'observation de l'angle x, sous lequel le mouvement commence , et qu'on appelle Vanglt du fntttemtnt.

Toutes choses d'ailleurs égales, l'expérience prouve qu'à l'instant qui précède la rupture de l'équilibre, le frottement est proportionnel à la pression ; en sorte que le coefficient / et l'angle x sont indépendans de la pression Q, et par suite du poids P. Ce coefficient varie avec la nature du corps et le poli des surfaces : on a aussi remarqué qu'il n'atteint le maximum de sa valeur qu'après que le contact du corps et du plan a eu lieu pendant un certain temps, différent pour les corps de nature diverse ; et ce n'est qu'à partir de ce maximum que le frottement est proportionnel à la pression.

En admettant cette loi expérimentale , il en résulte que si plusieurs corps de même nature, et dont les surfaces ont le même poli, sont placé! sur un plan horixontal , et qu'après un certain temps on incline ce plan graduellement , tous ces corps commenceront à glisser sous uu même angle x, quels que soient leurs poids et l'étendue de leurs surfaces en contact avec le plan.

270. Lorsqu'un corps est posé sur un plan horixontal, la pression exercée par son poids P se distribue entre les points d'appui de ce plan; mais quand leur nombre surpasse trois , cette distribution semble d'abord indéterminée; ce qui présenterait une difficulté que nous allons examiner.

Pour fixer les idées, supposons que ce plan horixontal soit la surface d'une table dont les pieds sont verticaux. Dans ce plan, menons deux axes rectangulaires Or et Oy (fig. «5). Soient C la projection du ceutre de gravité du corps sur ce plan , et A , A', A'' t etc. , les point* de ce même plan qui répondent aux pieds de la table. Désignons par *, et y. , * et y , x' et y', x" et y", etc., les coordonnées de ces points C, A, A', A", etc., rapportées aux axes Ox et Oy. Pour que la table ne soit pas renversée, il faudra que le point C soit situé dans l'intérieur du polygone A A' A" A"' etc. Cette condition étant remplie, le poids P appliqué ou point C se décomposera en forces parallèles, dirigées dans le sens de la pesanteur, et passant par les points d'appui A, A', A", etc., lesquelles forces seront les charges que les pieds de la table auront à supporter. Soient Q , Q', Q", etc., ces chargea inconnues; d'après la théorie des forces parallèles, nous aurons

P s Q -f Q* + Q" + etc., P*, = Qx -f- Q>» + Q"x" -f etc. , Py, = Qy -|- Q'y' + Q»y" + etc.

Or, s'il n'existe que trois points d'appui A, A', A", ces trois équations suffiront pour déterminer les charges Q, Q/, Q", mois s'il y en a quatre ou un plus grand nombre, le problème sera indéterminé, et l'on pourra prendre à volonté les valeurs de toutes les inconnues , moins trois , pourvu qu'il n'en résulte , pour ces trois inconnues , que des valeurs positives.

Cette indétermination aurait lieu, en effet, si la table était rigoureusement inflexible ; mais cela n'arrive jamais ; et, quelque peu flexible qu'on la suppose, elle se déformera un tant soit peu et se comprimera inégalement dans ses différentes parties. Or, la figure qu'elle prendra et la quantité dont elle sera comprimée en chaque point dépendront non seulement du poids P, mais aussi du nombre et de la disposition des points d'appui A, A', A", etc. ; et l'une et l'autre, ainsi que la pression qui aura lieu en chacun de ces points, seront complètement déterminées dans chaque cas particulier. Toutefois, celte détermination est un problème très difficile , dont la solution générale n'a pas encore été donnée, et qui appartient à la Physique mathématique. Flous nous bornerons ici à remarquer que tout est nécessairement déterminé dans la nature, et que quand quelque chose nous semble indéterminé , c'est que nous avons fait abstraction de quelque donnée du problème, c'est-à-dire, de quelque propriété de la matière, comme le degré de flexibilité de la table, dans la question présente.