CHAPITRE II

THÉORIE DES MOMEXS.

271. Les momens que nous allons considérer dans ce chapitre sont ceux dont il a été question dans le n» 42. Ainsi, le moment d'une force P eit le produit Pp de cette force et de la perpendiculaire p abaissée du centre des momcnj sur sa direction. Si donc ce centre est C (fig. 66), et que la force P soit représentée par la droite MA prise sur sa direction , son moment aura pour expression le double du triangle CAI qui a pour base cette force et son sommet au point C. D'après cela , le théorème du n° 46, relatif au moment de la résultante de deux forces , n'est plus qu'une proposition de Géométrie facile à démontrer.

En effet, soient Mi et MB les deux composantes ; la diagonale MD du parallélogramme MA.DB sera leur résultante ; et le point C étant en dehors de l'angle AMIS et de son opposé au sommet, il s'agira de prouver que le triangle CMO e>t la somme des triangles CMA et CMB. Or, on a d'abord

CMD = CMA + CAD + MAD;

en abaissant du point C une perpendiculaire CE sur la droite MB, qui rencontre en F sa parallèle AD, on aura

CMB = 1 MB.CE, CAD = -j- AD.CF ;

et à cause de

MB = AD, CF = CE - EF, il en résultera

CAD = CMB - MB. EF ;

mais le produit MB. EF est la surface du parallélogramme MADB , ou le double du triangle MAD ; on aura donc

CAD = CMB - MAD ,

CMD = CMA + CMB ;

ce qn'il s'agissait de démontrer.

La figure suppose que la droite EF soit la différence des perpendiculaires CE et CF ; elle pourrait être leur somme, et l'on modifierait sans difficulté la démonstration précédente pour l'appliquer à cet

autre cas. On prouvera aussi, de la même manière, que le triangle CMD est la différence des triangles CMA et CMB, quand le point C est placé dans l'angle AMB ou dans son opposé au sommet.

272. Par le centre des momens (fig. 67), menons un plan quelconque; projetons sur ce plan le droite AB qni représente la force P en grandeur et en direction ; soit Q la force représentée de même par la projection A B' de AB; le moment de la force P sera le double du triangle CAB, et celui de la force Q le double du triangle CA'B'; par conséquent, le centre des momens restant le même, le moment de la projection d'une force sur un plan passant par ce point, est la projection , sur ce même plan, du moment de cette force.

Si l'on appelle H le moment de la force P , et K. celui de sa projection Q ; que l'on élève sur les plans de ces deux momens des perpendiculaires CD et CE, et qu'on appelle / l'angle DCE, cet angle sera aussi l'inclinaison de H sur K, et Ton aura (u» 10)

K — 11 cos i.

Pour une même force P, l'angle f et le moment H changeront avec la position dti point C sur la droite CE; mais cette droite restant la même, le produit H cos l ne variera pas ; car K ou le triangle CA'B' ne fera que se déplacer parallèlement ù luimême, sans changer de grandeur.

273. Au lien d'une seule force , considérons un système de forces quelconques P, P', P", etc. Soient H, H', H", etc. , leurs momens par rapport au point C (fig. 68). Désignons par l, J*, i", etc., les angles que les perpendiculaires CD, CD', CD", etc., aux plans de ces momens, font avec un même axe CE; par Q, Q', Q", etc., les projections de P, P*, P'', etc., sur le plan mené par le point C et perpendiculaire à cet axe; et par K, K', k", etc., les projections de H , H', H", etc. , sur ce même plan. Hous aurons

K. = H cos t , K' = H' cos * , K» = H" cos t», etc.

Si l'on voulait seulement connaître les aires des projection* d'après celles des surfaces projetées, il ! faudrait considérer les inclinaisons f, 1", etc. ,

i aigus; mais dans Ici usages que ferons des projections des momcns , nous regarderons ces angles comme aigus ou obtus, ou, autrement dit, nous prendrons pour les droites CD, CD', CD", etc., les parties des perpendiculaires aux plans des momens H , H', H", etc., qui font des angles aigus on obtus avec l'aie CE, selon que les projections^, Q', Q", etc., des forces P, P*, P", etc., tendront à foire tourner autour du point C, dans un sens convenu , ou dans le sens opposé. Ainsi , dans la figure, les angles DCE, D'CE, D 'CE, étant aigus, et les angle* I) IL, D"CE, etc. , étant obtus , cela suppose que les forces Q , Q', Q", tendent à faire tourner dans un même sens , et les forces Q''',

Les droites CD" et CD'" étant le prolongement Tune de l'autre, cela signifie que les forces P" et P' n sont comprises dans un même plan passant par le point C , mais qu'elles tendent, ainsi que leurs projections Q" et Q*", à faire tourner en des sens opposes.

En appelant S la somme des voleurs positives oa négatives de K, K.', K", etc., nous aurons

S = H cos H' cos V + H" cosl" + etc. ;

abstraction faite du 'signe , S sera la somme des momens des forces Q, Q', Q", etc., qui tendent à faire tourner dans un sens, moins la somme des momens de celles qui tendent à faire tourner dans le sens opposé , d'après le théorème du n° 47, la quantité ■+ S exprimera donc le moment de leur résultante qui tendra a faire tourner dans le sens des forces qui répondent aux angles aigus t, I*, t", ou aux angles obtus f", J", etc. , selon que la valeur précédente de S sera positive ou négative.

Si l'on change à la fois toutes les droites CD, CD*, CD", etc., dans leurs prolongemens, les angles t, t", etc. , se changeront dans leurs supplément, et S deviendra — S. Il eu sera de même lorsqu'on remplacera l'axe CE pur sou prolongement CE'.

La somme S, comme chacune de ses parties, sera indépendante de la position du point C sur l'axe CE; elle ne dépendra que du système des forces P, P', P", etc. , de la position de cet axe et de sa direction perpendiculaire au plan de projection. Dorénavant nous appellerons cette quantités le moment des forces P, F, P", etc., par rap. port à l'axe CE.

S = Q ( * cos — y cos a) + Q" (*" cos - y" cos