D'après cette définition
L, M, N, du n° 281, seront les P, P', P", etc., par rapport aux axes des nées positives de leurs points d'application.
Pour le faire voir, soit Q la projection de la force P sur le plan des * et y , et q la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur sa direction, de sorte qne son moment par rapport à ce .point ait Qg pour valeur. Supposons que la force Q agisse de A vers B (fig. 69), et que AC et AD soient les coordonnées s et y de son point d'application A, ropportées aux axes rectangulaires Os- et Oy. Soient aussi a. et /» les angles BAC* et BAD r que fait la force Q avec les prolongemens de a et y; les composantes dirigées suivant AC et AD' seront Q cos A et Q cos p, et leurs momens par rapport au point 0, yQ cos A et *Q cos p ; d'après la figure, elles tendront à faire tourner en sens contraire l'une de l'autre , et la forco Q , dans le de Q cos p ; on aura dono
y', a', té'i #", y", a", etc., étant ce que deviennent x, y, A, relativement aux forces Q\ Q". etc.
Soient, de plus, •, C, y; •', C\ y', .», C ', y", etc.,
Q = P tin y, Q' = P' si
cos * = sin y cos a , cos *' — sin y' cos C es liai y CM ft | cos C = sin y 1
Qo = *Q cos p — yQ cos A.
En examinant les différentes positions que petit avoir le point A, et les diverses directions qu on peut supposer à la force Q, >' est aisé de voir que cette équation subsistera quels que soient les signes de s, y, cos a, cos u, pourvu que la force Q, transportée au point E ou F , où sa direction rencontre Taxe des * ou des y, tende à faire tourner l'axe Ox des x positives , dans l'angle des * et y positives, et, conséquemment, l'axe Oy des y positives, en dehors de cet angle, comme cela est indiqué par les flèches s et »'. Si le contraire avait lieu , c'est-à-dire , si la force Q, ainsi transportée , tendait à faire tourner l'axe des y positives, dans l'angle des * et y positives , et , par conséquent , l'axe des s positives, en dehors de cet angle, on aurait
Qo = yQ cos a — #Q cos as,
quels que soient aussi les signes de s, y, cos a , cos ft.
II suit de là que si S est le moment des forces P, F, P", etc., par rapport à l'axe des m positives, et que l'on regarde les angles J, J*, i', etc., du numéro précédent , comme aigus ou obtus, selon que les projections Q , Q/, Q", etc. , de ces forces tendent à faire tourner l'axe des s positives, dans l'angle des coordonnées * et y positives , ou eu dehors de cet angle, on aura
+ Q' (*• cos M '- y 1 cos A') A") + etc.;
les angles que fout les directions des forces, P, P', P", etc. , avec des parallèles aux axes des * , y, s ; on aura
cos a' , cos cos /»', cos C" :
P" sin etc., ; sin y' 1 cos a" , etc. , sin y" cos m" , etc.;
STATIQUE , SECONDE PARTIE
quantité L du n 261. Ainsi L est le moment des forces P, P, P", etc., par rapport à l'axe des s positives; et selon qu'il est positif ou négatif, ce système de forces tend à faire tourner le plan des* et s positives autour de cet aie, dans l'angle trièdre des coordonnées positives, ou eu dehors de cet angle.
Maintenant, si Ton substitue respectivement les •xes des s, x, y, positives, à ceux des a-, y, %, positives , L se changera dans H; il s'ensuit donc que X est le moment des forces P , P, P", etc. , par rapport à l'axe des y positives , et que , selon qu'il sera positif ou négatif, ce système de forces tendra à faire tourner le plan des s et y positives autour de cet axe, dans l'angle trièdre des coordonnées positives, ou en dehors de cet angle. Cela fait, si Ton remplace de même les axes des s , * , y , positives, par ceux des y, m, s , positives , M se changera en H ; par conséquent, N sera le moment des forces P, P*, P", etc., par rapport à l'axe des * positives ; et suivant qu'il sera positif ou négatif, ce système de forces tendra à foire tourner le plan des y et * positives autour de cet axe, dans l'angle des coordonnées positives , ou en dehors de cet angle trièdre.
Les trois quantités L, H, H, sont donc, comme on l'a dit, les
par rapport aux trois i de leurs points d'application ; et les signes de leurs valeurs, teUes qu'elles sont écrites dans le n°36l, répondent à un sens de rotation connu , autour de chaque axe supposé fixe.
276. La première valeur de Qg du numéro précédent, est la même chose que
Qg = xP cos C — Py cos
En appelant H le moment de P par rapport h l'origine des coordonnées , et •* l'angle entre une partie de la perpendiculaire au de ce moment et l'axe des * positives, on aura (n» 272)
II cos t — P ( m cos C — y cos • ) ,
ce qui suppose que cette parlie de la perpendiculaire au plan de H , soit celle qui fait un angle aigu ou obtus avec l'axe des % positives, selon que la quantité comprise entre les parenthèses est positive ou négative.
Soient i, et X, les angles, que fait la même partie de cette perpendiculaire avec les axes des y et des t positives; on aura de mémo
If COS S , = P ( * COS • — ■ COS y ) ,
H cos lg = P ( y cos y — i coi C).
on fait, pour abréger,
(s cos C - y cos .)• + (s cos • - m ces y)» + (y cos y - s cos C)-
et qu'on regarde p comme une quantité positive, il
de
cos» i + cos» l, -f- COS» 1% SB 1} par conséquent, on aura
cos / = - (s cos C - y ces • ), P
COS è*i ES — ( S COS » — * COS y ) , P
co. cosy - s cos C),
pour déterminer sans ambiguité les trois angles 1, L'angle i sera aigu ou obtus, comme
on Ta supposé, selon le signe de s cos C — y cos «, et les angles li et «\ selon les signes de s cos » — x cos y et y cos y— s cos C.
On vérifiera aisément ces formules. Eu effet, représentons l'équation du plun qui comprend l'origine des coordonnées et la force P, par
\u + Br -f Cu) = 0;
«, e. w, étant les coordonnées courantes. Les coordonnées du point d'application de cette force étant s, y, s, il faudra qu'on ait
As + By + Cs =- 0 J
gine des
par l'oriet parallèle à cette force ,
et comme cette parallèle est aussi comprise dans le plan que l'on considère, il en résultera cette seconde équation de condition :
A coi » + B coj C -f C cos y = 0.
De ces deux t5cjusation§ j on ttir0
A ( m cos C — y cos m )
y ces y — s cos C
A ( i coi » - t cos y )
y cos y — s cos C '
et en substituant ces valeurs dans l'équation du plan, elle devient
m ( y cos y — s cos C ) + r ( s cos m — * cos y ) + w ( x co» C — y cos • ) == 0.
Or, d'après les formules connues (n° 17), les cosinus des angles f, , J» , que fait la normale à ce plan avec les aiea des u , v , w, qui sont aussi ceux des s, y, s, auront pour valeurs les formules qu'il s'agissait de vérifier.
En vertu de l'équation H = Pp, la quantité p est la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur la direction de la force P. C'est aussi ce qui se vérifiera sansdifficulté, en prenant lepied do cette perpendiculaire pour le point d'application de P ; car , si l'on appelle r le rayon vecteur de ce point, qui sera alors cette perpendiculaire, et x , ft , r, les angles que fait sa direction avec les axes des x, y, % t on aura
m = r cos x , y = r cos /a , s — r oos y;
et en substituant ces valeurs dans celle de p» , et ayant égard aux équations (n°* 0 et 9)
cos» • + cos» C + COS» y — 1 ,
cos» x 4- cos» t* + cos» r cas 1 ,
COS • COS X + cos C cos i* -\- cos y cos » = 0,
on trouvera
p* = r» ou p — r.
276. Les niomens d'un même système de forces par rapport è diflërcns axes, jouissent de propriétés remarquables qui sont une conséquence immédiate de celles des projections des surfaces planes sur difierens plans , que nous allons maintenant
Soient Ox, Oy, Os, trois axes rectangulaires qui se coupent en un point 0 (fig. 70). Menons par ce point trois autres axes Os', Oy', 0*', aussi rectangulaires. Pour déterminer les directions de ces nouveaux axes par rapport aux premiers, faisons
xOx' = yOx' = C, sOx' = y, xOy' = a', yO/ = C, sOy' = y\ xOs' = •", yOs'=r C", sOs' = y";
et considérons », C, y, etc. , comme étant neuf angles donnés , aigus ou obtus. Leurs cosinus seront liés entre eux par six équations. En considérant successivement les trois droites OaV, Oy', Om', on aura d'abord
cos» * + cos» C 4- cos» y = 1 , cos» .» + cos» C +cos. y' =1, }( •" + cos» C" + cos» y" = 1 ;
et à cause que «'Oy*, x'Os', y'O*', sont des angles droits , on aura aussi
cos « cos + cos C cos C + cos y cos y' = 0 ,\
COS • COS a"+ cos C COS C"-f COJ y COS y" = 0 ,M8)
cos •'cos«"+ cosC'cos C'+ cos y 'cos y" = 0.J
Les neuf angles »', •", etc. , détermineront réciproquement les directions des premiers
0 x, Oy, Os, par rapport aux De
Os',Oy\0»'.
cos» » 4- cos» + cos» = 1 , cos» C + cos» tf + cos» C" = 1, J (3) cos» y -f cos» y + cos» y" = 1 ,
et , en ontre ,
cos • cos C -f- cos *' cos C -\- cos cos C ' — 0 , cos « cos y -\- cos »' cos y '4- cos *" cos y" — 0 , cos Cens ; -f- ros C' cos y' 4- cos C"cosy"=0 ;
équations qui seront équivalentes aux six précédentes, et pourront leur être substituées.
Soit a l'aire d'une surface plane terminée par un contour quelconque, et située dans un plan passant par le point 0; par ce point, élevons sur ce plan une perpendiculaire OD , et faisons
*OD = g, yOD = g , sOD os s/'.
Ces trois angles aigus ou obtus, détermineront la direction de OD et celle du plan o; s'ils se changent tous les trois dans leurs supplémens, la droite OD se changera dans son prolongement, et le plan de a restera le même.
Appelons aussi p,p', p", les projections de a sur les plans yO* , xOa , xOy, nous aurons (n« 10)
p = a cos o, p' = a cos y», jr" = a uoe y".
Soit, enfin, 6 la projection de a sur un quatrième plan, qui sera, si l'on veut, le plan y'Ox , et e l'angle s'OD ; on aura aussi
b = a cos c ,
et , d'après la formule (2) du n° 9 ,
cos c = cos q cos • 4- cos y/ cos C + cos y" cos y \ (0)
d'où l'on conclut
h — p rus » + ;/ cos C 4- p" OM y ; (0)
équation qui fera connaître la projection d'une aire a sur un plan quelconque , lorsque l'on connaîtra ses projections sur trois plans rectangulaires.
Comme l'équation (6) n'a lieu qu'en tenant compte des signes des cosinus qu'elle renferme, il s'ensuit qu'il faut de même avoir égard , dans l'équation (A), aux signes des projections p, p', p", et les considérer comme des quantités positives ou négatives , selon que la perpendiculaire OD au plan de a fait des angles aigus ou obtus avec les axes Ox, Oy, 0«.
277. Cela posé, considérons de même un nombre quelconque d'aires planes a, a 1 , a", etc. , situées dans des plans difierens ; projetons toutes ces aires sur les trois plans «Oy, xOz, yOs et ajoutons ensemble les projections faites sur un même plan, et ayant égard à leurs signes, ainsi qu'il vient d'être dit. Soient A, A', A", les trois sommes qu'on obtiendra de cette manière; soit aussi B la somme des projections de a, a', a", etc., sur le plan t/Os'j en formant pour chacune de ces aires, une
STATIQUE
à l'équation (6), et ajouUnt uations, onaara
B es A cos . + A' cos C + A" cos y.
Représentons encore par B' la tomme de* projection* de a, a', o", etc., anr le plan s'Os'. Il est évident que la valeur de B' ae déduira de celle de B, par la aubstitution de l'aie Oy* perpendiculaire à ce plan, à Taxe 0*' perpendiculaire au plant/Os', c'est-à-dire, en mettant dam la formule précédente •', C, y\ au lieu de C, y ; ce qui donne
B' = A cos m! + B cos { 1 -j- C cos y'.
Si Ton représente de même par B" la somme des projections de a , a', o», etc., sur le plan aVOy\ m valeur se déduira de celle de B, en y substituant *"» >"i »o lien de C, y ; d'où il résultera
B" = A coa + B cos C + C cos y '.
De ces valeurs de B, B', B", et en ayant égard aux équations (3) et (4), on tire réciproquement
A = B cos • + B' coa + B" ros
A = B cos • + B' cos + B" ros •", \ A' = B cos e + B' cos C +.B" coa C", { A» = B coa y + B' cos y' + V cos y" )
Ces différentes équations nous montrent que les projections des surfaces planes sur différens plans, suivent les mêmes lois que celles des lignes droites sur des droites différentes.
278. En faisant U somme des carrés des valeurs deBjB 1 , B", il vient, d'après les équations (3) *«,
ce qui fait voir que la somme des carrésde cet trois quantités B, B', B", ne varie pas avec la direction des trois plans rectangulaires de projection auxquels elles se rapportent. Dans le cas particulier où toutes les aires o, a', a", etc., sont dans un même plan , cette somme n'est autre chose que le carré de l'aire totale a + a' + a" + etc.; et si l'on prend ce plan pour celui des axes Oy et Os , par exemple , on aura évidemment
A = o + o* + a» + etc, A» = 0, A" = 0.
Cherchons actuellement ce que la même somme représente dans le cas général où les aires a, a', a", etc., sont situées dans des plans quelconques,
la somme B, qui varie en passant d'un plan de projection a un autre, est donc la plus grande possible, quand on a B' = 0 et B " = 0 ; et alors elle
est égale à &/A' + A'» + A". Ainsi , la quantité constante dont il s'agit représente, dans le cas gênerai , la plus grande somme des projections sur un même plan, des aires planes que l'on
