Pour appliquer maintenant à la théorie de

aires a, o', a", etc., font les doubles des triangles qui ont pour soumet commun le point 0, et pour bases les droites qui représentent , en grandeur et en direction, les forces P, F, P", etc. , que l'on a considérées précédemment. Leurs momens L, H, W, par rapport aux aies Os, Oy, 0*, des coordonnées positives de leurs points d'application (n° 274) , seront alors les sommes des projections de a, a', a", etc., sur les plans srOy, sOs, yO* ; et voici les conséquences qui résultent des propositions qu'on vient de démontrer :

1° En appelant E le moment des foroes P, P*, P", etc., par rapport à un aie passant par le point 0, qui fait avec les aies Os, Oy, Os, des angles •, «', «", aigus ou obtus, on aura

E = N cos . + ■ cos + l cos

2 > Parmi toutes les directions autour du point 0, de Taxe du moment E , il en est une ponr laquelle ce moment est le plus grand possible et égal à

t^L» -f M» +X: Par rapport à tout autre axe, passant toujours par le point 0 et perpendiculaire à celui du plus grand moment, le moment E est xéro,

et il est égal à J/L» ■+■ M" cos I", relativement è un axe qui fait l'angle f avec celui du pîus grand moment.

3° Enfin, si l'on appelle a», C, y, les angles que fait Taxe du plus grand moment passant par le point 0, avec les axes 0*, Oy, Os, des momens R, M, L, et que Ton désigne par G la grandeur de ce

cos y = — , G

If I

= co.C = -,

et, en

d'où 11 résulte qu'en prenant sur les axes 0*, Oy, Os, à partir du point 0, des droites proportionnelles aux momens R, H, L, et achevant le parallclipipèdedont ces droites seront les trois côtés adjacens, la longueur de sa diagonale représentera la grandeur du plus grand moment , et cette droite sera l'axe de ce moment principal.

Ces théorèmes remarquables sont dus à Euler.

Ils établissent une parfaite analogie entre la composition des momens et celle des forces ; analogie qui tient è ce que les forces étant représentées par des lignes droites, les momens sont exprimés par des surfaces planes , qui se projettent sur des plans différent , de la même manière que les lignes sur des droites différentes (n»277).

282. Le point 0 et le système des forces P, P', P", etc. , étant donnés, j'appellerai moment principalàe ces forces, leur plus grand moment G. Si l'on transporte toutes ces forces parallèlement à ellesmêmes , en co point 0, elles

que je désignent p*r », ex nom les composa n ir» , suivant les axes Os, Oy , Os, seront les trois quantités X, Y, Z, du n" 261. La considération de cette résultante et du moment principal, énoncé très simple des résultats du cèdent.

Pour l'équilibre des forces P, P', P", etc., appliquées a un corps solide entièrement libre, il suffira que la résultante R et le moment principal G soient égaux à xéro ; car, à cause de

R* = X» + Ti + Z» , C» = L» + ■» + R» ,

les équations R = 0 et G = 0 , entraîneront les six équations d'équilibre du n° 261 .

On en peut conclure que pour qu'un système de forces faase équilibre à un autre , il est nécessaire et il suffit : 1» que les résultantes R qui ont liea dans ces deux systèmes soient égales et contraire*; 2° que , pour un même point 0 , leurs momens principaux soient égaux et répondent à des axe» dirigés en sens contraire, ou dont l'un soit le prolongement de l'autre. La résultante R et sa direction, le moment principal et la direction de son axe, resteront les mêmes, dans toutes les transformations qu'on peut faire subir è un même système de forces, et, généralement, pour deux systèmes de forces équivalens.

Soient a, b, e, les angle» que la force R fait avec les axes Os, Oy, Os ; on aura

co,a = 7 , = 00.0 = -.

Soient aussi m l'angle compris entre sa direction et l'axe du moment principal j *, C, y, étant les angles que fait cet axe avec Os, Oy, Os, nous aurons

cos m sa cos a cos • + cos b cos C + cos e cos y ,

ou, ce qui est la même chose,

xrt + YI + ZL coe.= -

Il s'ensuit donc que la condition d'une résultante unique qui est exprimée (n° 263} par l'équation

XR + YM + ZL = 0 ,

consiste en ce que l'axe du moment principal G et la direction de la résultante R doivent se couper i angle droit. C'est ce qu'on vérifie, en effet, en observant que si les forces P, P*, P ', etc. , dans leur véritable position, ont une résultante unique, cette force doit être égale et parallèle à R, et que son moment par rapport au point 0, doit aussi être le moment principal G ; en sorte que l'axe du moment principal est alors perpendiculaire a cette résultante transportée au point 0 parallèlement à elle-même ; mais ce raisonnement ne suffirait pas pour prouver que réciproquement , quand l'équation précédente a lieu , les résultante unique.

STATIQUB, SECONDE PARTIE.

Je transporte le point 0 en un antre point quelconque que j'appelle Oi ; je désigne par x t , y,, les coordonnées de 0,, rapportées aux axe* Os, Otf, Os, et par L,, S,, N,, ce que deviennent L , M , N , relativement à ce point 0 , : les valeurs de ces dernières quantités se déduiront des premières ( n« 661 ), en y mettant x — #, , y — yt , s — *i , a In place de s, y, s; et il en i