L. = L + X». - Us ■t = M + Isi

N, = N + Ys,

principal et la direction de son axe ne varient pas avec la position de ce point. En effet, quelque part que soit placé le point 0» , il est évident que l'axe du moment principal des deux forces parallèles qu'on peut substituer aux forces données P, V, P", etc. , est la perpendiculaire à leur plan ; et nous savons d'ailleurs (n° 48) que la somme des moniens de ces deux forces qui sera le moment principal des forces données, est une quantité constante.

Dans tout autre cas, le moment principal change avec la position du point Ot ; et l'on peut demander quel doit être ce point, ou ces points, s'il y en a plusieurs, pour lesquels ce moment est un minimum. En le désignant généralement par G, , c'està-dire , en faisant

piandP.P', P", etc., des forces égales, parallèles et dirigées en sens contraire, mais non directement opposées , auquel cas on a X = 0, Y = 0 , Z = 0, les quantités Li , M, , N, , sont indépendantes des coordonnées du point 0, ; en sorte que la gran-

G,» = (L + Xy, — Y*, )•+ (M + Z*. - Xs.)'+ (» + Y-, - Z», )• .

On en déduit

NX + MY + LZ G « — g 1 1 e )

Si l'on égale a icro ses trois différences partielles par rapport .< x , , y, , ; , , afin de vult'tir minitna , et si l'on observe que

Ri

L» -f 1* + Ri

on obtient trois équations qu'il est focile d'écrire i cette forme :

R«*. = X (X*. + Yy. + Zs, ) + YL - ZI, R.y, = Y (X*. + Yy, + Z*, ) + ZN — XL, R.*, = Z (Xx, + Yy, + Zs, ) + XI — » YN.

Or, si Ton ajoute ces trois équatious après les avoir multipliées par X , Y, Z, on trouve une équation identique; il s'ensuit donc que l'une d'elles est une suite des deux autres ; et comme les coordonnées *i , y, , ii , ne s'y montrent qu'au premier degré, elles appartiennent à une ligne droite qui est le lieu des centres des momens, par rapport auxquels le moment principal est au minimun. Il n'est pas nécessaire d'examiner lequel a lieu du maiimuH ou du minimum; car il est évident que la valeur de G, croit indéfiniment avec les variables *> > y» $ *» $ «1 n e » 1 P" susceptible de maximum.

284. Eu éliminant la quantité X*. + Yy, + Zx, , entre les équations précédentes, pris»

cessivement deux à deux, on trouve

as qui appartiendront aux projections sur les trois plans des coordonnées du lieu des centres des inoinens principaux tninima.

pour la valeur du moment principal minimum, qui est ainsi la même pour tous les centres 0,.

Si l'on appelle », , C, , y t , les angles que l'axe do moment G, fait avec des parallèles aux axes Os, Ou, Os, meuées par le point Oi , on aura

N, Ht L»

cos = — , cos C, = — , cos y, = — , Gi G, G,

quel que soit le centre des momens; et, d'après les équations (a), (6), (c), il en résultera , en particulier, pour un point 0, appartenant à la droite déterminée pur les équations (6),

COS «i = — , COS d = — , cos y, = — i

ce qui montre que les axes de tous les momens principaux minima, dont la donnée par la formule (c), sont ; et à la direction de la force R.

Quand les forces données ont une résultante unique, il est évident que la plus petite valeur de d doit avoir lieu lorsque le point 0, est pris sur sa direction ; ce qui rend cette valeur égale à téro. Réciproquement, si la valeur de G» est nulle par rapport à un point 0, , on en conclura que les forces données P, P', P", etc., ont une résultante unique , passant par ce point ; car si elles se réduisaient à deux forces non comprises dans un mémo plan , on pourrait faire passer l'une d'elles par le point Oi , et réduire leur moment principal à celui de l'autre force , lequel ne serait pas xéro, contre l'hypothèse. On conclut de là que la condition nécessaire et suffisante pour que les forces

données nient une résultante unique, consiste en ce que leur moment principal puisse être égal à zéro. Ce moment étant alors un minimum , la condition dont il s'agit sera exprimée par l'équation

LZ + MY + NX = 0,

d'après la formule (c); et le point 0, auquel il se rapporte , appartenant à cette résultante , lea équa-

tions de la droite suivant laquelle elle est dirigée,

Xy, - Y., + L = 0 , Z*. Xs, +M = 0, Ys, - Zy, + N = 0,

en vertu des équations (A). Ces résultats coïncident avec ceux du n« 263 qu'on a trouvés par d'autre* considérations.