CHAPITRE EL

EXEMPLES DE LÉQTJILIBRE DTJlf COBPS FLEXIBLE.

$ 1«. Équilibre du polygone funiculaire.

286. On appelle, en général, mûcnsiw funiculaire, tout assemblage de cordes liées entre elles par des nœuds fixes, ou simplement passées dans des anneaux qui peuvent couler le long de ces cordes. Le nombre des cordons qui viennent aboutir à un même nœud peut être quelconque; mais pour simplifier la question , nous supposons que chaque nœud n'assemble jamais que trois cordons; et, en premier lieu ,nous exclurons les anneaux mobiles.

Prenons donc une corde parfaitement flexible et d'une longueur quelconque, dont A et B (fig. 71) soient les deux extrémités. Soient M, M', M", etc., différent point de cette corde ; attachons k ces points des cordons MC, l'C, M"C", etc., suivant lesquels agiront des forces données P, P*, P", etc. ; appliquons aussi an point M une force donnée H , agissant dans la direction du cordon MA, et au dernier des points M, M', M", etc., une autre force donnée K, dirigée vers le point B. Dans l'état d'équilibre, cette corde flexible formera un polygone dont les seront les points A, M, M', M",.- B» et s nous appellerons spécialement un polygone funiculaire. Il s'agit de trouver les conditions que les forces données H, P, P', P",... K, doivent remplir pour que cet équilibre soit possible, et de déterminer la figura du polygone qui convient à cet état.

Pour trouver ces conditions , je pars de ce principe évident que si l'équilibre existe , chacun des r, V M", etc., doit être tiré, n ses deux

extrémités , par det forces égalet, dirigées suivant set prolongement; car ti ces deux forces n'avaient pas la même direction que le cordon , rien ne lea empêcherait de le faire tourner ; et si elles n'étaient pas égales et contraires, elles feraient avancer le cordon suivant ta direction.

Il a'ensuit d'abord que la résultante des deux forces II et P, appliquées au point M, doit coïncider avec le prolongement MD du cordon H'M. On peut donc transporter le point d'application de cette force au point M r sitné sur sa direction (n<> 41); en la corn» posant ensuite avec la force P', appliquée acepoint, il faudra que cette seconde résultante, qui sera celle des trois forces H, P, f , coïncide avec le prolongement B'D' du cordon M'' M'; et par conséquent, il sera permis de la transporter au point M". Je prends encore la résultante de cette force et de P" qni agît en ce même point M" ; j'ai , de cette manière, la force qui tire le cordon M"M " a son cstrcmité M", et qui doit être dirigée suivant son prolongement M"D". Cette force est, comme on voit, la résultante des forces H, P, P', P"; un raisonnement semblable prouverait que la force qui tire le même cordon à son extrémité M'" et qui doit coïncider avec son autre prolongement M'"D"', est la résultante des forces P" f ; P' »,..., K ; ces deux résultantes sont donc égales et directement opposées ; et, conséquemment , la résultante de toutes les forces données H, P, P', P'.... K, doit être égale à xéro. On parviciiilr.nl évidemment au même résultat, en considérant les forcet qui agissent aux deux extrémités de tout autre côté du polygone.

STATIQUE , SECONDE PARTIE

Ainsi , le* forces appliquées an polygone funiculaire doivent être telles qu'en les transportant en un même point parallèlement à elles-mêmes, elles s'y fassent équilibre ; ce qui donne, comme on sait,

trois équations entre les Grandeurs de ces forces et les angles que font leurs directions avec trois aies rectangulaires menés par co point. Ces équation» sont(m>3o)

H cos a + K cos • + P cos • + H cos h -f- k cos f 4* P cos C -f- H cos e + R cos g -f P c0 * > +

a, ê, », •', etc., désignant les angles relatifs k l'un détaxes; h, f, C, C, etc.; les angles relatifs à un antre axe; et e, g, y, y\ etc., ceux qui répondent au troisième.

28«. Lorsque les forces H , P, P», P",. .. R, et les directions des cordons par lesquels elles agissent, ne satisferont pas à ces équations , il sera impossible qu elles se fassent équilibre par le moyen du polygone funiculaire, quelque figure qu'on lui donne; mais toutes les fois que ces équations seront satisfaites , on pourra donner au polygone une figure telle que l'équilibre ait lieu. Les grandeurs et les directions des forces H, P, P', P",. - ■ étant données, cette ligure est déterminée , et sa construction résulte de la suite de compositions de forces que nous venons d'indiquer.

En etTet , connaissant les directions des cordons M A etHC, par lesquels agissent les forces H et P, on déterminera la grandeur et la direction de leur résultante. Sur le prolongement de cette direction, a partir du point M, je porte la longueur donnée du coté MM' ; cela fait , j'applique au point M 1 la résultante de H et P suivant la ligne M'M , et la force P' suivant la direction donnée du cordon M'C. Je prends la résultante de ces deux forces , et sur le prolongement de sa direction, à partir du point H', je porte la longueur donnée du côté M'ai". Mainte-

ble à celle que je viens d'indiquer pour le point M ; j'applique en M" la dernière résultante sur le coté E"*, et la force P» suivant la direction donnée du cordon M"C"; je compose ensuite ces deux forces en une seule, et, sur le prolongement de celle-ci, je porte la longueur donnée du côté

rv.

Je continue ainsi jusqu'à ce que je sois parvenu au dernier des nœuds M, M', M'', etc., qui sera , je suppose, le point M", de sorte que M"B soit le dernier côté du polygone. Sa direction est connne , puisqu'elle représente celle de la force extrême K, qui est donnée par hypothèse. Il faudra donc que la direction prolongée de la résultante des deux forces appliquées au point M", suivant le côté H' 'M" et suivant le cordon Mi*0», coïncide avec la direction donnée du côté M" B. C'est , effectivement , ce qui arrivera toujours; car, d'après notre construction, la force dirigée suivant M" M'" n'est outre chose que la résultante des cinq forces H, P, V, P \ P"', transportées au point M" parallèlement à leurs directions ; en la composant avec la force P" , dirigée

P' cos m' + etc. = 0, j P" cos C + etc. = 0, > (o) P' cos y' -f etc. £= 0; )

suivant M™ C" , on aura la résultante de toutes les forces données , moins la force k, or, en vertu des équatious («), qu'on suppose satisfaites, cette résultante est égale et directement opposée à In force R (no 35).

Si l'on mène par le point A, les trois axes auxquels se rapportent les angles a, 0, m, «', etc., 6, f, C, C, etc., c, o, y, y, etc., les coordonnées de chacun des sommets du polygone, rapportées à ces axes, seront les projections sur ces mêmes axes de la partie du polygone comprise depuis le point A jusqu'à ce sommet. On pourrait les calculer, en fonctions de ces angles , des longueurs des côtés du polygone et des forces données; les formules générales que l'on obtiendrait de cette manière serviraient, dans chaque cas, à construire directement tous les sommets du polygone , ou seulement un ou plusieurs de ces points ; mais il est plus simple de déterminer successivement et les uns au moyen des autres , les difTérens côtés du po« lygone, ainsi qu'on vient de l'indiquer.

287. Quand les forces données remplissent les conditions exprimées par les équations (a), et qu'on a fait prendre au polygone la figure propre k l'équilibre, l'intensité commune des deux forces égales et contraires qui tirent chacun des côtés suivant son prolongement , est la Unrion que ce cordon éprouve; il est donc important, dans la pratique, de calculer cette tension , et de s'assurer, par l'expérience, qu'elle ne dépasse pas celle qu'un cordon du même diamètre et de la même matière peut supporter sans se rompre.

Or, d'après ce qu'on vient de voir, cette tension variera d'un côté à l'autre du polygone; la tension du côté MM' sera égale k la résultante des forces H et P, ou à celle des forces P', P", P'",-. R ; la tension du côté M'M" sera égale à la résultante des forces H, P, P', ou à celle des forces P", P"',... R; et ainsi de suite. Il sera donc aisé, dans chaque eus particulier, de déterminer les tensions qu'éprouvent tous les côtés du polygone en équilibre , lorsque les grandeurs et les directions des forces 11, P, P', P",...R, seront toutes données.

Si les points extrêmes A et B du polygone sont fixes , les forces H et R représenteront à la fois les tensions des cordons qui aboutissent a ces points et les pressions que ces points éprouvent. Dans ce cas, les râleurs de H et R, et des angles a, b , e, t,f, g, qui déterminent les directions des deux côtés extrêmes du polygone, ne seront plus données; maison

mira huit éqnations pour déterminer cet huit inconnue» , savoir, les équations (a), les équation* ( n° 8) co»»o + ">»** + cos'c = 1 , cos»« -f- covf + cos'9= 1 , et trois équations résultant de ce que la position des deux points fixes A et B est donnée. On formera celles-ci on calculant les valeurs des trois coordonnées de l'un de ces points , rapportées a des oses passant par l'autre point, c'est-à-dire , les projections du polygone entier sur ces trois axes , et les égalant aux valeurs données de ces mêmes coordonnées.

La détermination de ces huit inconnues sera généralement très compliquée; mats après que le polygone funiculaire aura pris de lui-même la figure propre à l'équilibre des forces appliquées à ses sommets, on obtiendra sans difficulté les tensions de ses différens cotés ; ce qui suffira pour la pratique. Ainsi, en décomposant Is force P appliquée au point M en deux antres forces dirigées suivant les prolongemens des côtés AM et MM 1 , les composantes , données immédiatement par la règle du parallélogramme des forces, seront les tensions de ces deux cotés. Celle qui agira suivant le prolongement de Al devra être égale à la force agissant suivant ce premier côté, lorsque le point A sera libre; et quand il sera fixe, elle exprimera la pression exercée sur ce point. Pareillement, les composantes de la force 1" suivant les prolongemens de MM* et exprimeront la tension de MM', déjà con-

nue par la décomposition de P, et celle du côté adjacent M'M" ; et ainsi de suite.

288. Les cordons qui forment les différens côtés d'un polvgonc funiculaire sont toujours un peu extensibles; chacun d'eux s'allonge d'une petite quantité, en raison de la tension qu'il éprouve dans l'état d'équilibre ; et lorsque cette tension est connue , on peut calculer l'allongement correspondant.

En effet , l'expérience prouve que tant que la tension d'un fil homogène et d'une épaisseur constante n'approche pas de la force nécessaire pour le rompre , son allongement est proportionnel à sa longueur et ù la tension qu'il éprouve; il varie d'ailleurs, d'un fil à nn autre, avec l'épaisseur et la matière du fil . Cela étant , je suppose que l'on attache à un point fixe un fil de la même épaisseur et de la même matière que le cordon AM, et que l'on suspende à son extrémité inférieure un poids donné II, très grand par rapport à celui du fil. Soient I et / (1 -f- *) ses longueurs avant et après la suspension du poids II; cette quantité «sera une fraction très petite , indépendante de / et proportionnelle à II, en négligeant le poids du fil; en sorte que si, dons une autre expérience, les trois quantités l, *, H, sont t , V, B», on aura