SI

dL dL dL

cos x = V— , cos*. = V— , cos » = V — , dx dy da

q prenant convenablement le signe de V.

-f Ydy + Ida as NVdL r= 0;

ce qui rendra nulle la valeur de dT donnée par TéquatioD (3}. La tension sera donc la mémo dans toute la longueur du fil, quelle que soit la forme du corps solide. Je supposerai aa râleur donnée , et je la représenterai par k. Si le fil est attaché par une de aes extrémités à un point du eorps, et qu'un poids considérable, par rapport à celui du fil qu'on a négligé, soit suspendu verticalement à son autre bout, ce poids sera (a tension * et 1* pression que le point fixe éprouvera. Si le fil est Kbre par ses deux bouts, et que des poids considérables y soient suspendus, ils exprimeront les tensions extrêmes; par conséquent , ils devront être égaux , et chacun d'eus sera la teosioo k. Enfin , si les deux bouts du fil sont supposés fixes , sa tension * se déduira de

longueur.

303. Je désigne par a', s»', »', les angles que fait la perpendiculaire au plan osculateurau point M,

■laaaa» nu axes des x , y , s en ce point étant f , on aura

dxd» y — dyd» *

Le rayon

PCOSM',

dyd» a — dsd'y

Si donc on ajoute les équationa (4) après les avoir multipliées par cos » , cos /* , cos a , et qu'on ail égard aux valeurs de X, Y, Z, qui ont lieu dans le cas que nous considérons, il en résultera

cos » oos »' + cos h cos /*' + cos x cos a' = 0;

par conséquent, les normales à la surface du corps solide et au plan osculateur delà courbe formée par le fil, en chaque point H, sont perpendiculaires Tune à l'autre ; ce qui est la propriété caractéristique de la ligue dont la longueur est un minimum ou un maximum sur une surface donnée (n° 161). Il s'ensuit donc qu'un fil tendu sur un corps solide, trace, en général, la plus courte distance d'uo point à un autre sur la surface. A la rigueur, il est possible que cette distance soit, au contraire, un maximum ; ainsi, par exemple , deux pointa donné* sur une sphère sont les extrémités communes à deux arcs de granda cercles, dont l'un est la plus courte distance entre ces points, et l'autre la courbe plane la plus longue; or, il est évident que l'équilibre du fil tendu sera rigoureusement possible sur nés deux arcs de cercle, puisqu'on le plaçant sur l'un des deux, il n'y aurait aucune raison pour qu'il s'en écartât plutôt d'un côté que de l'autre; mais sur le petit arc l'équilibre sera stable, et sur le grand il ne sera qu'instantané , de aorte qu'il ne pourra subsister, fkyritpumtnt t qu'a l'aide du frottement du fil contre le corps solide.

Si l'on substitue encore les valeurs de sX, «Y, •Z, du numéro précédent, dana la formule (5), on aura

Kd, és y /dx d, V — COS A COS Si I +1 —COS » COS A 1 dt d» / \d> ds /

, de *a (a , y, s) s» * . En même temps , on a da» + d? + * » ~ '

COS» A + cos •/* -f- OOS» » = 1 i

lo à la surface du corps et la tangente à

du fil, en chaque point M, étant n a aussi

or

ds dy da

mm COS A -| COS S» "A COS » = 0 }

* ds ds

au moyen de ces trois dernières équations, on

réduit «ans difficulté le coefficient de N , dont la précédente, à l'unité. On a donc aitnpletnent

ce qui montre que la preuion rapportée à l'unité de longueur, exercée par un fil tendu sur la surface d'un corps solide, est égale, en chaque point H, à la tension divisée par le rayon de courbure du fil, c'est-à-dire , par le rayon de la section normale a la surface et tangente à la courbe du fil.

303. Ces résultats seront modifiés par le frottement du fil contre la surface du corps sur lequel il s'appuie. Pour montrer comment on doit avoir égard à cette force dans l'équilibre d'un fil flexible, je vais considérer l'équilibre d'un cordon ABMCD (fig. 78), dont la partie BMC est appliquée sur la gorge d'one poulie fixe, et qui est tiré , suivant les prolongemens BA et CD de cette partie , par des forces données. La poulie et la droite AB seront supposées verticales ; la force agissant suivant BA sera un poids A , et je représenterai par F celle qui agit suivant CD. Les tensions qui ont lieu aux points B et C suivant les tangentes BA et CD, auront A et F pour valeurs. Je supposerai aussi , pour simplifier la question , que la poulie soit circulaire ; j'appellerai e son rayon , et je prendrai son centre 0 pour l'origine des coordonnées : l'axe des je sera perpendiculaire à la poulie, l'axe des y vertical et dirigé de bas en haut, l'axe des * horizontal et passant par le point B. Enfin , je fixerai au point C l'origine de l'arc t aboutissant au point quelconque 9 du cordon, de sorte qu'on ait CM ea «.

Cela posé, si le frottement était nul , il faudrait qu'on eût k — F dans le cas de l'équilibre; mais, à raison du frottement , l'équilibre peut subsister tant que la différence de ces deux forces A et F n'a pas dépassé une certaine limite. Concevons donc t l'équilibre soit sur le point de se rompre dans

dx dy xd.T — + yd.T - + lied* = 0,

le sens du poids A ; ce qui suppose qu'on ait A > F. A cet instant , le frottement du cordon contre la poulie, qui a lieu au point quelconque M , sera dirigé, suivant la partie HH de la tangente, en ce point. Je représente par /« son intensité, et, comme précédemment , par 11 la résistance normale qui a lieu au même point M , suivant le prolongement MO* de MO , de manière que f*dt et Jidt soient les forces tangente et normale qui agissent sur l'élément *dt du cordon aboutissant au point H, et que /u et N représentent ces mêmes forces, rapportées • l'unité de longueur. Si l'on mène par ce point M des parallèles Mx' et My' aux axes Ojp et Oy, on aura

— , cos y*MH = - ,

cos i'B0'c=-,

cos y'MO 1 = — ;

de la on conclut

Nx juy Ny jMjc

c o ce

pour les valeurs de «X et «Y qu'il faudra substituesdans les équotions (1). La force • '/. sera évidemment nulle; la troisième équation (1) disparaîtra , et les deux i

nydt ^

dx Jixdt

dt o

dy Nyda t*xdt

dê o c

Lo point M appartenant à la poulie, on a

X» +y.=c. , *d# + ydy=0;

au moyen de quoi les deux équations peuvent être changées en celles-ci ;

dx dx -d.T- 4di dt

dt

dt

(yd*-xdy)=0.

Mais ~ [ydx — xdy) est la différentielle du secteur décrit par le rayon OM , a partir d'une ligue fixe (n« 166), qui sera OC , par exemple. Ce secteur étant circulaire et répondant à l'arc 9, sa valeur est — es; on a donc

ydx — xdy = cit.

D'ailleurs, on a ■usai

dx dy dx dy

* - + y - = 0, xd.-+ yd. -=-dt, dt dt dt dt

dx* dy> dx dx dy dy

- + - = 1, -</•-+-«•• -=P; dt* dt' dt dt dt dt

ce qui réduit les équations (6) à

T = cR, dTz=ndt,

d'où l'on tire

ssfl = pdt,

La pression quia lieu au point M, sur la gorge de la poulie , est égale et contraire k la force N ; si donc on suppose le frottement proportionnel 4 la pression (n» 269), on aura

fêtant un

constant qui dépendra de la

STATIQUB, SECONDE PARTIE.

et , en intégrant ,

A désignant la constante arbitraire, «t e la base des logarithmes népériens. On aura, en même temps ,

T = Ae.\ M = A/aV

Au point C f ona « = OetT=F;ona donc F

A = -; et ai Ton appelle / la longueur del'arc CHB,

on aura $ = l et T = * , à son autre extrémité B. lauroi

Il =

H, et, de plus,

pour l'équation d'équilibre.

En représentant par F' le,froltemeut Iota! qui a

Si noua faisons

où Ton voit que le frottement total F' est égal à la plus petite des deux forces k et F, multipliée par un coefficient f t qui varie non seulement avec la quantité f, mais aussi avec l'étendue / du contact et le rayon e de la poulie. La différence des forces * et F, à l'instant où l'équilibre se rompt, fera connaître la valeur de F', et leur rapport, diminué de l'unité , sera la valeur du coefficient /' d'où l'on pourra ensuite déduire celle de f. Lorsque F sera un poids, ainsi que k, on devra , pour plus d'exactitude, comprendre dans ces poids k et F, ceui des partiea verticales BA et CD du cordon.

304. I>'nprcs les trois équations (1), il est facile de vérifier que les six équations générales de l'équilibre (n° 261) ont lieu dans le cas d'un fil parfaitement flexible.

Pour cela, j'appelle K et K' les deux extrémités du fil, et / sa longueur ; et je fixe au point K l'origine de l'arc a. En intégrant les premiers membres des équations (1), depuis le point K. jusqu'au point K', on.

les quantités comprises entre les crochets répondant au point R, et celles qui sont renfermées entre deux parenthèses , au point K'. Indépendamment des forces X, Y, Z, qui agissent dans toute la longueur du fil , je suppose que des forces particulières, données en grandeur et en direction, soient appliquées à ses deux bouts : j'appelle k celle qui agit au point K, et m , C , y y les angles que fait m direction avec des parallèles aux axes des x , y, i, menées par ce point j et je désigne par *',»', C*,y, les quantités analogues relativement au point K'. Ces forces k et k' seront les tensions extrêmes , en et en direction ; et d'après les j en K et K ' , avec lesquelles leurs «

Im

précédentes deviendront do»

* cos . + A'co..»+y^ X«t* = 0,

A cos C + à'cosC + Y«*#= 0, }

Acos^+A'co.y'+y^'z.d.nsO;

et elle* expriment , comme on voit , les conditions d'équilibre renfermées dans les trois équations (1) du n° 20t.

En observant qu'on a

dy dx ( % dx\

xd. T — — yd. T — = o*. T l M y- ),

dM ds \ ds ds/'

dx d» f ds d%\

»d. T xd. T-=«\ T I s *- J,

d» d$ \ ds ds/

(dM dj\

dM dy

yd. T id.T — = d. T

!r-l + (*T-yX),*

+ (sX-*Z).*= 0,

»Y) «fr = 0.

Si donc on intègre ces quantités nulles depuis le peiai E jusqu'au point K', et que l'on déaigne par a, b, e, les valeurs de x, y, s, relatives à K, et par a' , V, c, celles qui répondent à K', on aura , on ayant égard aux équations (7),

b cos •) + V {a! cos C a cos y) + kf (e* cos e cos b) + A» cos e* — c* cos

a cos < * (c cos • « (* co, «

ce qui exprime les ■us momens des forces données, qui sont renfermée! dans les trois dernières équations (l) du a- 261.

306. Ces équations (8) et (9) serviront , en générale déterminer les coordonnées a, b,e t at ,V t <?, des denx points extrêmes K et K ' ; toutefois , il y aura des cas où une partie de ces quantités devra rester indéterminée. Si , par exemple, les forces données qui agissent sur le fil sont la pesanteur et

leurs points d'application, il est évident que U position absolue du fil dans l'espace ne pourra pas être déterminée : on pourra alors prendre arbitrairement les trois coordonnées de l'un des points K et E'; les équations (9) détermineront les trois coordonnées de l'autre point ; et, pour que l'équi-

aatisfassent aux équations (8).

Lorsque l'un des points E et E' sera tua , le premier par exemple , les équations (8) et (9) auront encore lieu, pourvu que l'on regarde la force A comme inconnue, en grandeur et en direction , et représentant la pression que le point E aura à supporter. Dans ce cas les valeurs de a, o, c, seront données ; les équations (9) détermineront celles de a', V, é, et les équations (8) feront connaître les trois composantes de la force *. Quand les deux points E etE' seront fixes et donnés do position, on connaîtra leurs coordonnées , et les équations (8) et (9) serviront à déterminer, en grandeur et en

— V cos

yX) «is = o,

si) s* = 0, \ ( 9 ) s Y) %ds =z o i j

direction, les pressions k et k exercées sur E et E'.

Dans tous les cas, soit que les coordonnées de E etE' aient été données, soit qu'on les ait déduites des équations (8) et (9), on assujettira la courbe formée par le fil a passer par ces deux points; ce qui servira à déterminer les quatre constantes arbitraires que renfermeront les intégrales complètes de ses denx équations différentielle

dre. Quant à la constante arbitraire que contiendra U fonction s du n° 300 , on déduira sa valeur de la longueur donnée du fil, cest-è-dire, de l'é-

dans laquelle on regarde y et s tions de m. De cette manière, le complètement résolu.

306. Nous entendons par cette dénomination une verge droite ou courbe, dont on ne peut changer la courbure sans y appliquer une ou plusieurs forces, et qui reprend sa forme naturelle dès que ces forces ont cessé d'agir, tandis qu'au contraire ua lil parfaitement flexible conserve, sans le secours d'aucuns force, U courbure qu'on lui a fait prendre, et n'est élastique que dans le sens do sa longueur. Pour qu'une verge soit élastique par rapport à la

STATIQUE , SECONDE PARTIE

fleiion , il faut qu'elle toi! formée d'une matière fort peu extensible et contractible ; mai* cela m s m fin pot : il faut encore que les dimensions de •on épaisseur, quoique très petite* par rapport à m longueur, aient cependant une grandeur convenable; car, quelle que soit la matière de la verge, on peut toujours diminuer assea ton épaisseur pour qu'elle n'ait pins aucune tendance sensible à reprendre la figure dont ou l'a écartée, et qu'elle •oit ainsi réduite à l'état d'un fil parfaitement flex i-

Lorsqu'une verge élastique est écartée de sa tonne natureUe par des forces données, chacun des filets longitudinaux dont cl le se compose peut éprouver trots effets différens : chaque partie, d'une longueur aussi petite qu'on voudra , peut être con-

augmentée ou diminuée , et cette partie peut avoir été tordue sur elle-même. La tendance de chaque partie a reprendre son état naturel, dépend des attractions at répulsions mutuelles qui ont lieu entre les molécules de tous les corps et ne s'étendent qu'à des distances insensibles. Le calcul dea forcée totales qui en résultent et doivent faire équilibre aux forces données , appartient à la Physique mathématique : je renverrai , pour cet objet, à mon

ikutiqw»$ *. Dans ce Traité , on formera les équations d'équilibre d'une verge élastique, en partant de principes secondaires qui sont généralement admis.

On appelle, en particulier, lamt ilattiqtu un parallélipipède rectangle d'une petite épaisseur, que

oière qu'il se trouve compris entre deux surfaces cylindriques , dont les arêtes sont égsles à sa largeur. Cette dimension peut avoir une grandeur quelconque; en la divisant par des plans très rapprochés et perpendiculaires a sa direction, la lame sera partagée en verges élastiques rectangulaires. Jacques Bernouilli a déterminé , le premier, la figure de la lame élastique en équilibre , d'sprès des considérations que nous allons développer, et qui serviront ensuite à la solution complète du problème, dsns le cas d'une verge élastique quelconque.

307. Considérons une lame élastique **caitri* par une de ses extrémités, c'est-à-dire, fixée de manière que l'un des deux petits rectangles qui la terminent perpendiculairement à sa longueur, ne puisse prendre aucun mouvement. Supposons qu'on la plie dans le sens de sa longueur au moyen d'une force appliquée a son autre bout , et qui sera la seule qui agisse sur la Urne. Pour que la lame prenne une figure cyliudrique , comme on vient de le dire, il faudra qu'elle soit terminée , à son extrémité libre , par un rectangle inflexible, au mi-

' Vimoir» * IMr«*Wt été Stitnc.,, tome VIII.

plan perpendiculaire à la largeur de la lame. Toutes les coupes longitudinales ou perpendiculaires à cette largeur seront égales ; celle qui renferme la direction de la force donnée est représentée par la figure 77 ; et les courbes AIB et A'M'B' sont les sections des deux surfaces cylindriques de la lame, qui formaient ses deux faces planes dans son état naturel.

On suppose que tous les points qui appartenaient, dans cet état, à une même perpendiculaire a ces deux faces , sont encore situés , après ■ que la lame a été pliée , sur une même normale aux deux surfaces cylindriques; ce qui est effectivement conforme à ce qu'on observe dans son changement de figure. 11 en résulte que si MH' est une normale à la courbe AXB, elle sera aussi perpendiculaire à A'X'B', et contiendra tous les points de la lame qui étaient situés primitivement sur une des perpendiculaires à ses deux faces ; il s'ensuit aussi

rel i en filets longitudinaux , et que la courbe CM) représente un de ces filets après le changement de figure, elle coupera à angle droit en N la normale MM'.

Soit m un point de la courbe AMB , inGuiment voisin de M ; menons la normale manu' aux trois lignes AMB, CM), A'M'B', qui les coupe en m, st, m'; les prolongemens de MNM', et mmm' se rencontreront en un point 0 , qui sera le centre de courbure commun à ces trois courbes. Appelons • le rayon de courbure du filet moyen, ou également éloigné de AMB et A'M'B'; r la partie de ce filet comprise entre les deux normales MSM' et mmm 1 ; * la distance du filet quelconque CM) au filet moyen , el 9 1 la longueur de Tin. Eu considérant cette distance « comme positive ou comme négative, selon quu CM) se trouve, par rapport au filet moyen, du coté de la convexité AMB de la lame, ou du côté do sa concavité A'M'B', le rayon de courbure NO de CND sera égol à p -f- m, et les longueurs infiniment petites r' et r seront entre elles comme f -f- « et f, de sorte que l'on aura

En se courbant, les filets longitudinaux auront éprouvé de très petites extensions ou contractions, et les longueurs «-' et r, qui étaient égales auparavant, seront devenues inégales. Désignons par y leur grandeur primitive, et faisons

lit t étant de très petites fractions, positives ou négatives, selon que le filet moyen et le filet CRI)

t 11 és Laf "

aussi supposée très petite; si donc on néglige la

TRAITÉ DE lÉCAMQUE.

produit de * et — , on aura t

ce qui montre que quand le filet moyen n'aura pas changé de longueur , les filet» situés du côté de la convexité se seront tous allongés, et les filets situés du côté de la concavité se seront tous raccourcis, les nos et les autres proportionnellement à leurs distances au filet moyen.

Cela posé, rendons invariable la forme de chacune des deux parties de la lame qui répondent 1 AMM'A' et Bmm'B', et que nous appellerons H et R, pour abréger. La partie H sera immobile ; la partie K sera tirée vers H, ou en sera repoussée, par la tendance de la partie intermédiaire Hmm' M' à reprendre son état naturel et redevenir une tranche d'une épaisseur constante y. Le filet Un de cette tranche tendra à se contracter ou à se dilater, selon qu'il aura été allongé ou raccourci, c'est-àdire, selon que la quantité f sera positive ou négative. La partie R sera donc tirée dans le premier cas, et poussée dans le second cas, par une force appliquée au point n ; or, on suppose que cette force, provenant de l'action de Nu, est proportionnelle à la quantité f et normale à mus»', comme si ce filet N« était isolé.

En adoptant cette hypothèse, je représenterai par aJ' la force dont il s'agit , rapportée à l'unité de surface, et, conséquemment, par mJ'x du la force normale exercée sur l'élément transversal de la surface R, qui répond au point»; • étant une constante dépendante de la matière de la lame , a sa largeur, et x du l'aire de cet élément. Si donc ou désigne par 2» l'épaisseur de la lame , et qu'on représente par T la force totale qui tirera ou poussera R, scion qu'elle sera positive ou négative, on aura

et, en mettant pour f sa valeur, T = 2*Ml.

Soit, en outre , f* le moment des forces normales ù la surface de R, pris par rapport à l'axe transversal également éloigné des deux faces de lu lame; nous

On voit par là 1», que la force T, qui tend ù contracter ou à dilater une tranche quelconque de la lame, est proportionnelle à l'extension positive on négative du filet moyen , rt indépendante de sa

courbure ; 2° que son moment i* est, au contraire , indépendant de cette extension , et en raison inverse du rayon de courbure ; 3°, que la matière et la largeur de la lame restant les mêmes , la valeur de T est proportionnelle k son épaisseur, et celle de ,u, au cube de cette dimension.

Quand le filet moyen n'a pas changé de longueur, on a *= 0 et T = 0, les forces parallèles qui tirent ou poussent R se réduisent à deux , éga-

dont le moment , par rapport à l'axe transversal perpendiculaire à ces forces, est toujours égal à p. Cette quantité st est ce qu'on appelle le moment de V élasticité, lequel est proportionnel, en chaque point, à la courbure de la lame, ou à l'angle de contingence de son filet moyen.

308. Il est facile actuellement de former les équations d'équilibre de cette lame. D'abord, si l'on appelle T' ce que devient la force T au point H, on voit que la tranche infiniment petite qui répond à Mmm'M', sera tirée ou poussée , d'un côté par cette force T', et de l'autre par une force égale et contraire à T; et puisque, par hypothèse, aucune force donnée n'agit sur cette tranche, il faudra donc qu'on oit T' = T. Ainsi U force T est constante dans toute la longueur de la lame, et , par conséquent, égale à la composante suivant cette longueur, do la force donnée qui agit à son extrémité libre. La dilatation t sera aussi constante, proportionnelle à cette force,' et positive ou négative selon que cette force tendra à allonger ou à contracter les filets longitudinaux. Elle n'aura aucune influence sur la figure de la lame ; mais quand on l'aura mesurée , elle pourra servir à déterminer la valeur de la constante relative à la matière de la lame. En représentant par m un poids équivalent à la force qui tire la lame dans le sens de sa longueur, et par « l'aire de chaque section transversale de la lame, ou aura

ml

Pour déterminer la figure de la lame , menons par le point A, dans le plan du filet moyen , deux axes rectangulaires Aj et A y, dont le premier sera tangent à la courbe AHB, et représentera la direction de la lame dans son état naturel , et dont le second sera tourné du côté de sa concavité. Soient s et y les coordonnées rapportées k ces deux axes , d'un point quelconque du filet moyen ; a et b, celles de sou extrémité libre , que nous prendrons pour le point d'application de la force donnée qui tient la lame en équilibre; P et Q les composantes de celte force, suivant les prolongeracns de a et b. Par le point qui répond à x et y , menons l'axe perpendiculaire au plan de la figure, auquel répond le moment désigné par f» et faisons une section perpendiculaire au filet moyen. Pour l'équilibre de la partie de lu lame comprise enlro cette section et son extrémité libre , il faudra que le mo-

STATIQUE, SECOWDB PARTIE

ment p, ajouté aux montent de P tt Q t par rapport au mémo axe, donne une somroo é^ale à téro, eu ayant égord au sent dans lequel lea force» dont /» est le moment , et lea forces P et Q, tendent à faire tourner cette partie de la Urne , on aura de e manière

l'aie A*, on aura

où Ton regardera le radical comme une quantité positive. Si donc on substitue cette valeur dans celle de p, et celle-ci dans l'équation précédente , et qu'on fasse, pour abréger,

pour l'équation de la courbe élastique en équilibre.

Son intégrale contiendra t r a ires qu

et-= 0, quand * = 0, où, si

formée par la lame

l'on veut y = 0

de la

et— = 0, pou ds

petitesse de •. En faisant ensuite x — a et y = b dans cette intégrale, on aura une équation en a et 6, que l'on joindra à celle qui résultera de la longueur donnée de la lame'; on aura alors les deux équations nécessaires pour déterminer ces inconnues net 6; et la courbé élastique sera complètement déterminée.

309. Si la lame, au lieu d'être encastrée, tièrement libre à son extrémité A, il faudra pour la maintenir en équilibre, appliquer à cette extrémité une force dont les composantes soient égales et contraires à P et Q; en prenant l'extrémité correspondante du filet moyen pour son point d'application , il faudra , de plus , que la résultante de P et Q vienne passer par ce point ; ce qui exigera qu'on ait.

Qo = P (6 — .).

Cette équation suffira , quand la lame sera retenue par un axe fixe , passant par cette extrémité du filet moyen , et dirigé dans le sens de sa largeur. Si elle est simplement posée sur un plan perpendiculaire à sa longueur, qui ne l'empêche pas de tourner autour de l'orète d'une de ses deux faces, il faudra que le frottement de cette arête contre le plan , ou une autre force, empêche la lame de glisser.

La lame n'étant point encastrée, la direction de son plan tangent en A ne sera plus connue ; si Ton place toujours en ce poiut l'origine des coordonnées x et y, on aura encore y = • ou y = 0, quand * = 0; mais on ne pourra plus prendre Taxe des * sur ls tangente en A, dont la direction ne sera pas

donnée d priori. Cet axe sera alors la direction don-

dy

née de la force P, et l'équation—:

dx

devra être remplacée , ponr la détermination des constantes arbitraires , par l'équation précédente , relative aux momens des forces P et Q, qu'on pourra réduire à Qo — Pô.

310. Supposons qu'on ait P = 0; en sorte que la lame soit pliée par une force Q perpendiculaire a sa direction primitive j ce qui est , par exemple , le cas d'une lame horizontale , encastrée par un bout, et à l'autre bout de laquelle on suspend un poids donné Q.

Je fais en ce cas

c étant une ligne dont la longueur donnée sera généralement très grande, è moins que le poids Q ne soit aussi très considérable. L'équation (1) de-

dy

et en intégrant de manière qu'on ait — — 0 quand

On en déduit

, (2as - s*) ds

'dos — *• .

ds =

f/4c« — (Sas — *« ).

2c» ds

[/4c*— [iiar — *« )» '

ds étant l'élément différentiel de la courbe. Cet formule* t'intégreront exactement par le moyen de* ; mais a canse de la grandeur

de e, on a s = x, à très peu près, et l'on peut réduire a

la valeur de dy ; d'où l'on tire

6c« y = 'Aax* — * J ,

l'équation de la courbe.

La lame s'écartera peu de la direction horiion- Ule ; l'abscisse a pourra être prise pour sa longueur, et l'ordonnée b «primera son plus grand écart. A cause de

dans le cas de x = a et y = b. Il en résulte donc que la nature de la lame restant la même , la quantité b dont elle fléchira sera proportionnelle au poids Q et au cube de la longueur a t et en raison inverse du carré de son épaisseur • et de Taire » de sa section transversale.

Si l'on substitue pour *m sa voleur — du a» 308,

et qu'on appelle h rallongement total or de la lame, produit par un poids «, on aura

En supposant «=Q. on en conclura que si un poids Q , appliqué à l'extrémité libre d'une . élastique , agit successivement dans le sens de sa longueur et perpendiculairement à sa longueur, l'extension h et la flexion b, supposées très petites par rapport à la longueur a, seront entre elles comme les carrés de l'épaisseur et de cette

311. Quelles que soient les forces P et Q, on obtiendra toujours une intégrale première de l'équation (l) en la réduisant à la forme de l'équation (2) par la transformation des coordonnées. Nous nous bornerons a considérer le cas où la lame, appuyée contre un plan et non encastrée, s'écarte peu de sa forme naturelle. Ce sera , par exemple, un ressort posé sur un plan horisontal par son extrémité inférieure A, et chargé d'un poids donne à son extrémité supérieure B. On suppose qu'en se pliant sous cette charge, le ressort s'é-

carte très peu de la verticale AB, et que dans toute sa longueur, la tangente à la courbe qu'il forme dans son état d'équilibre, fait un très petit angle avec cette ligne droite. La figure 78 représente différentes formes qu'il peut prendre dans cet état.

axes des * et des y, la verticale

:n sens contraire do la |

l'horitontalc Ay. La quantité— sera très petite,

dx

par hypothèse ; nous négligerons son carré dans l'équation (1); on aura aussi Q — 0, puisque la force qui agit à l'extrémité B est verticale; en vertu de l'équation Qo = Vb du n« 309 , il s'ensuivra 4=0 ; et comme le poids P sera dirigé de B vers A, il faudra changer le signe de cette force dans l'équation (1), qui la suppose dirigée en sens contraire. De cette manière , cette équation deviendra

en faisant, pour abréger,

On représente ici par » l'aire de la section du ressort, perpendiculaire à sa longueur; par i sa demiépaisseur, dans le sens où il est plié; et par m une quantité dépendante de la matiéredont il est formé. Ces trois quantités sont supposées constantes, et par suite c est une ligne de grandeur constante et

x = 0, on dc-

A cause que l'on ay = 0, doit de cette équation

w* dy «A *x

f ses k sin — , — sa — cos — ;

c dx c c

k étant une constante arbitraire qui doit être nulle ou très petite par rapport à e.

Quand on aura * = 0 , le ressort restera droit , et sa longueur AB sera un peu diminuée par U pression du poids P. Lorsque ce coefficient k ne sera pas nul , le ressort se pliera ; an point B, on aura x = a et y = b = 0; en désignant par s" un nombre entier, il faudra donc qu'on ait

pour la valeur de a ou de AB. Si l'on appelle / la longueur du ressort, on aura aussi

STATIQUE , SECONDE PARTIE

en négligeant !> quatrième puissance de—, etroet-

unt pour a sa valeur, il vient

cl ou Ton t,re

te

«sera nul ou exprime

Ainsi le formule.

312. Voici les conséquences remarquables qui se déduisent de ce résultat.

1 Tant que / sera moindre que c, la formule (3) sera imaginaire pour toutes les valeurs du nombre i; on ne pourra pas prendre le coefficient k », et le ressort ne sera pas plié par le poids P.

2° soit parce qu'on aura augmenté la longueur du ressort, soit parce qu'on aura diminué la quantité c en faisant croître le poids P, supposons que / surpasse o; la valeur de k, différente de séro et qui repond a s = 1 , sera réelle, et le ressort pourra être plié par ce poids. En désignant par / une fraction très petite, et faisant

s = 1, a = c, k — fa, l'équation de la courbe du ressort sera donc

où l'on voit qu'elle ne coupera pas la verticale entre les deux pointu A et B.

3» Le rapport — continuant à croître , s'il vient

à surpasser 2, la valeur de k qui répond à i = 2 sera réelle, et le ressort pourra prendre une figure différente de la précédente. Eu désignant par f une fraction très petite, et faisant

. = 2, o = 2c, k=fa, d'où il résultera

y = fa sin — ;

ce qui montre que , dans ce cas , la courbe coupera la verticale au milieu de AB, qui répond à

, on voit que si / surpasse

un peu se, et qu'en désignant par • une très petite fraction, on ait

/ s» art f \

on pourra prendre

a = ic, k = sa ; ce qui donnera

•aval = ea un — i a

équation d'une courbe qui coupera la droite AB eu un nombre s' -f- 1 de points équidistans , y compris A et B.

tité qui n'est pas très petite , la valeur de A, donnée par la formule (3), cesse d'être très petite par «y

rapportée; et celle de— n'étant pins alors une dx

très petite fraction, la figure du ressort ne peut plus être déterminée par l'analyse précédente. Il faut observer que, duns tous les cas, la figure rectiligne, qui répond à * = 0, est possible; mais elle n'est stable et nécessaire que quand / est moindre que c.

313. On entend par la forcé d'un ressort , supposé vertical pour fixer les idées, le plus grand poids qu'il peut supporter sans fléchir. Ce poids P est déterminé par l'équation c = /, qui donne

où l'on voit que, toutes choses d'ailleurs égales, la force d'un ressort est en raison inverse du carré de sa longueur. Le ressort étant un parallélipipède rectangle, on voit aussi que si l'on essaie de plier successivement les faces adjacentes , sa force sers proportionnelle au carré de l'épaisseur perpendiculaire à la face qu'on voudra plier.

Quant à la grandeur absolue de P, on la calculera en mettant dans la formule précédente la valeur de « , que l'on déduit soit de l'extension k de ce ressort , soit de sa flexion s, que produirait un poids « ; or, d'après les sjas 308 et 310 , et à de at = k et a = /, ces valeurs sont

par conséquent , on aura

314. Les résultats du n 307 s'étendent aisément à une verge élastique , lorsqu'on lo suppose droite ou à simple courbure dans son état naturel , et qu'en la pliant elle reste encore à simple courbure et n'éprouve aucune torsion.

On prendra, dans ce eu, pour le filet moyen, celui qui passe par les centres de gravité de toutes les sections perpendiculaires à ta longueur, lesquelles pourront être constantes ou variables, pourvu qu'en chaque point leurs dimensions soient très petites par rapport au rayon de courbure de la verge. Soit « Taire de Tune de ces sections, faite par un point quelconque du filet moyen ; décomposons m en élémens perpendiculaires au plan de ce filet; et soit vdu Taire de Télément qui répond à la distance u de ce même filet; la variable w pouvant être positive ou négative, et* désignant une de h. Soient aussi * et - k> les (de «; nous

la seconde équation résultant de ce que l'origine de ta variable u est le centre de gravité de

Désignons par «•, r*, f t f, les mêmes quantités que dans le n» 307, et par y, y', r, ce qu'étaient r, a 4 , f , dans TéUt naturel de la verge élastique ; on

> t et, puur le passage de Tun à l'autre ,

r mm y (1 + * « y (1 + *)■

ht ht

Si donc on néglige les produits — et —, on en déduira

dans

le cas de la verge naturellement droite, où Ton a r = oo .

Soit encore T la somme des forces perpendiculaire* à ■ qui tirent ou poussent Tune des deui parties de U verge, séparées par cette section normale. Appelons p le moment de ces forces par rapport à Taxe passant pur le centre de gravité de «, et perpendiculaires nu plan du filet moyen ; d'après Thypothése du n u 307, on aura

fxmiu,

« étant une quantité dépendante de la matière de la verge , qu'un suppose constante datis l'étendue de chaque section «, mais qui pourra varier d'un point àun autre du filet moyen. En substituant pour /♦sa valeur précédente, et faisant, pour abréger.

ru* du — „»» , 3 *

il en

Quand la verge élastique sera a double bure, dans son état naturel ou après son changement de figure, la force T aura encore la même expression ; de plus , le filet moyen étant toujours celui qui passe par les centres de gravité de toutes les sections normales, et en désignant par r et f set rayons de courbure en un même point, avant et

on pourra

si on, ne

après ce <

pression de /t* pour le moment de l'élasticité par rapport à un axe passant par ce point et perpendiculaire au plan oscumteur du filet moyen ; mais il faudra , en outre , avoir égard à la torsion de la verge , comme nous le ferons tout à l'heure. 315. En comparant cette valeur de /* à celle du

conde de la courbe plane formée par le filet moyen d'une verge élastique qui n'a éprouvé aucune torlifférera de celle qui répond à la lame proprement dite, qu'en ce qu'elle cou- 1 1 1 tiendra au lieu de — , et la quantité q a la

f f f place do la demi-épaisseur ». Si la verge est homogène , et qu'elle soit , dans son état naturel , un prisme ou un cylindre allongé, les trois quantités «, a), q, seront constantes, et Ton aura r = ao . On en conclut que la flexion d'une verge naturellement droite, produite par un poids Q perpendiculaire à sa direction , et la force de ce ressort , se déduiront des valeurs de 6 et P trouvées dans les n°* 310 et 313, en y mettant g à la place de a, Par cette substitution , l étant la longueur de cette verge, on aura

= — — / vw du.

Pour deux verges différentes , i gueur, les flexions produites par un même poids seront donc en raison inverse des forces de ressort; en sorte qu'il suffira de comparer entre elles les grandeurs de ces forces , dans les différentes hypothèses sur le contour de la section normale.

Supposons que la section normale soit un triangle isocèle, cl qu'on veuille plier la verge, de manière que la face correspondante à la buse de ce triangle devienne uue surface cylindrique, concaveou convexe. Soient a et c la base et la hauteur de ce triangle. Dans le cas de la convexité, vers laquelle sont dirigées les valeurs positives de u (u° 307), nous aurons

STATIQUE , SECONDE PARTIE

et il en

le cas de la

javité, on aura

d'où l'on

ce qui montre que, dans ce second cas , la force do ressort est triple de celle quia lieu dans le premier.

Si la section normale est un carré représenté par f* , et qu'il s'agisse de plier le ressort , de sorte que déni de ses faces opposées de viennent des surfaces

elle est un cercle dont le rayon soit k , nous au-

: en supposant Taire de la section normale égale les deux cas , de sorte qu'on ait /» s= *«■ , on voit que la force de ressort qui a lieu dans le premier cas surpasse celle qui répond au dans le rapport de « k 3.

un tuyau creux, dont les surfaces concentriques, ; extérieure, aient g et gf pour rayons, avoir la force de ce ressort, il faudra mettre iveruent y et g a la place de k dan» la dernière valeur de P, et retrancher les résultais Ton de l'autre , ce qui donne

Si l'aire « (o> — g» ) de la section normale est i i «rà» , on i

mi oA' ( i» -f 2g» )

l'on conclut que le volume , la longueur et la matière étant les mêmes, la force d'un resest plus grande que celle d'un ressort 2g*

., le rapport de 1 + — à l'unité j 2g

le diamètre intérieur, et»*» l'aire de la tion normale.

316. Formons maintenant les équations d'équilibre d'une verge élastique quelconque , dont tous les points sont sollicités par des forces doiim : es.

Appelons A et B les deux extrémités du filet moyen. Soient s, g, », les trois coordonnées rec-

tangulaires d'un point quelconque M de cette courbe, » l'arc AH, « la section normale de la verge faite par le point H , y sa densité en ce point , et , conséqnemment, ymd» la masse d'une tranche infiniment mince de la verge. Désignons par Xy»da, 'Vywds, /) »ds , les forces données qui agissent sur cette masse parallèlement aux axes des s, y, », de sorte que X , Y, Z , soient ce» forces rapportées k l'unité de masse. La somme de leurs composantes, suivant la tangente en M au filet moyen, et tendant à augmenter l'arc », i

/ dx dy d».

Représentons aussi par T la force provenant de l'action d'une partie de la verge sur la partie adjacente, appliquée à l'une des faces de la tranche ymd», perpendiculaire à », et tendant à diminuer ou à augmenter l'arc a, selon qu'elle est positive ou négative. L'autre face de ymd» sera tirée ou poussée en sens contraire par une force égale à T + d T; par conséquent, pour l'équilibre de cette tranche, il fandra que la force dT soit égale et contraire à la

qu'on ait

dT + y. (Xd, + YoV + Zd.) = 0; (a)

ce qui s'accorde avec l'équation (3) du ti° 300.

A cause du peu d'extensibilité de la matière de la verge, on pourra prendre, dans cette équation (a), pour y et * la densité et la section normale de la verge au point I, dans son état naturel. Si ces deux quantités sont constantes, et qoe la formule comprise entre les parenthèses soit une différentielle exacte , on obtiendra, par l'intégration Immédiate, la valeur de T; et, parce que l'on a T = o«£(n° 307), on en conclura la dilatation positive on négative de l'élément d», qui se sera allongé dans le rapport de i -f- rk l'unité ; mais cela ne fera pas connaître la dilatation de la section normale m , ni le changement de densité de la verge au point H. Or, d'après ce que j'ai fait voir dans le Mémoire cité au commencement de ce paragraphe, l'allongement où le raccourcissement de d» est toujours accompagné d'une diminution ou d'une augmentation de • , mais telle, que le volume mdt variera dans le même sens que dt, et la densité y, en sens inverse. Il s'ensuit que quand une verge homogène, prismatique ou cylindrique, eat attachée par un bout, et tirée à son autre extrémité par une force dirigée suivant le prolongement de sa longueur , elle éprouvera, à la fois, une extension et une augmentation de volume , proportionnelles à cette force, ce qui a été effectivement confirme par l'expérience. Réciproquement, si cette verge est poser verticalement sur ou plan horixontal, et chargée d'un poids à sa partie supérieure, qui ue la fassr pas plier , elle se raccourcira , et , en même temps^

son volume sera diminué proportionnellement à la grandeur de ce poids.

317. Prenons sur l'arc A M du filet moyen un point m infiniment voisin de M ; par ce point m, faisons une section normale; et concevons que la partie de la verge comprise entre cette section et l'extrémité A, soit rendue tout-à-fait immobile, et que la partie comprise entre l'autre bout B et la section faite par le point I, devienne seulement de forme invariable. Cela étant, cherchons les conditions d'équilibre de cette seconde partie, que nous appellerons K

En vertu de la torsion de la verge, les points de la tranche comprise entre les deux sections normales faites par H et m, seront sollicités par des forces qui tendront a détordre ses différens filets longitudinaux,.et agiront dans des plans perpendiculaires à Mm , c'est-à-dire, à la tangente en H au filet moyen. Ces forces tendront à faire tourner K autour de cette droite, en sens contraire de la torsion. Soit r leur moment par rapport à cette droite, que l'on appellera le moment de la torsion de la verge, correspondant au point H. Si l'on mène par ce point des parallèles aux axes des x, y, s, et si l'on observe que l'axe de ce moment fait , avec ces droites, des angles dont les cosinus sont dx dy dt

— , — , — , on en conclura (n« 281) dt de dt

pour les momens par rapport à ces trois parallèles, des forces qui agissent sur K dans le sens de la

lignons par a. le moment de l'élasticité relatif au poiut M, c'est-à-dire, le moment des forces dont T est la somme, par rapport à un axe mené par ce poiut et perpendiculaire au plan osculateur du filet moyen ; r et f étant les rayons de courbure eu ce même point, dans l'état naturel et après le changement de forme de la lame, et C désignant une quantité positive, dépendant de la matière et de la section normale au point M , nous aurons (n° 314)

et si l'on appelle f, g, k, les angles que l'axe de ce moment fait avec les parallèles aux axes des *, y, s, menés par le point M, les momens de l'élasticité par rapport à ces trois droites seront

/, ai DM g, M cos ».

Soient M' m* point quelconque de l'arc MB; x', y 1 , ses trois coordonnées l'arc A M 1 , et y', X', Y', Z', es que deviennent y, », X, Y, Z, rclatià M'. En appelant Ha longueur totale du

filet

f p'(*y-»)-X'(y- f )] > VaV«i ( ,

J* % [X' (s» -*)-* - »)) y'.<dt> = Y„

f[ [» -*)- t» ry - »)] >v«v = i„

ces trois quantités X |( Y Z,, seront les momens des forces données qui agissent sur K, par rapport aux axes menés par le point 1, suivant les directions des x, y, z.

Enfin , supposons que des forces particulières agissent à l'extrémité libre de E; représentons par P, Q, R, les sommes de leurs composantes parallèles aux axes des x, y, s, et par a', 6', c', les coordonnées du point d'application de leur résultante; leurs momens par rapport aux mêmes axes que Z„ Y„ X„ seront

et si l'on désigne par a, b, o, les coordonnées de l'extrémité B du filet moyen, on pourra l

en faisant, pour abréger,

Généralement, les coordonnées o'j V, tf t i distinctes de a, b, c, parce que les forces extrêmes P, Q, R, ne seront pas appliquées immédiatement à la verge élastique, et qu'elles agiront aux extrémités du bras de levier. Soit que ces forces aient ou non une résultante unique , les quantités P , Q', R', seront leurs moménspor rapport à des axes menés par le point B, parallèlement à ceux des x, y, s, ; si donc on suppose qu'on ait en ce point

dx dy dt

— =cos*', — = cos C, — — cos y'; dt dt dt

et qu'on fusse

P' cos •', + Q' cos C, + R' eos y' = l,

cette quantité L exprimera le moment des forces extrêmes par rapport à la tangente uu point B (n° Î8l); d'où l'on peut déjà conclure que L sera le moment de la torsion extrême, où la valeur de r relative à ce i

STATIQUE, SECONDE PARTIE

Cela posé pour l'équilibre de la partie K. de la verge élastique, il faudra que la somme des nioniens par rapport à chaque axe, de toutes lesforces

qui agissent sur ses différentes trunches et à ses extrémités, soit égale à xéro; ce qui donne ces trois

dt

dy

cm y - r -(-1 -t- il + r ;c — m) — R (a — x) = 0 , dt

cos fc — r — + Z, + R' + Q (a — *) — P (6 — y) = 9 , dt