D'après les formules du u u 19 , on a
ydt* étant la racine carrée de lu somme des carrés
des trois numérateurs. Il en résulte
co.f =
dyd» s — dsd* y *oV '
osf=dyd.
/*d« s xdx»
- dsd.-^, xd#> '
oot g =
dsd> s — dsd* s
A M co
s 9 = Jz d.
- dxd.i±-', xdi>
x<tV
cos A =
dxd* y — dyd» x xoV
os A = d*d.
i*d* y xds*
et, par conséquent ,
dx dy ds
— d. a. cos / -| d. p cos g + — d. j* cos A = 0,
On a d'ailleurs
d*» dy ds» d.» + d#» "** d,» '
dx dx dy dy ds ds
dr d* d» ds ds ds
Si donc oa ajoute les différentielles des équa-
dx dy ds
fions (4), après les avoir multipliées par — , — , — ,
ds dt ds
dx dy ds
dr = - dX,+ - dY, + - dZ,; dt dt ds
mais à cause que les quantités soumises à l'intégration dans les expressions de X„ Y„ Z„ s'évanouissent à la limite «'=«, il suffit (n- 14) de différencier sous les signes /par rapport à a, y, x, pour obtenir les valeurs de dX,, dY„ dL, \ on a doncsimplement
dX, = ds
dï,
dZ, =
y. yv
zy
dy y " X V #'aV
dy J zy«'«tv,
ds y' Xy-'oV,
x J" Vy'Jds'i
— dx
et en substituant ces valeur» dans l'équatien pré- ,elle se réduit a dr=0.
Ainsi le moment de la torsion est constant dans toute la longueur d'une verge élastique en équilibre , quelles que soient lesforces qui y sont appliquées.
Sa valeur sera donc partout la même qu'à chacun des deux bouts de la verge; et il est facile de vérifier qu'au point R, on a r=L, comme on l'a dit plus haut. En effet, en ce point, on a x=a , y = o, x=c; les intégrales X„ Y„ Z„ s'évanouissent elles équations (6) deviennent
r cos »' — y. COS / -|- P', r cos V = f* cos y + Q', r cos y 1 = f» cos A + R'.
A cause que la normale au plan osculateur du filrt moyen et la tangente à cette courbe, sont perpendiculaires l'une à l'autre, on a, en ce même point H,
cos »' cos f-\- cos C cos y -\- cos y' cos A = 9 ;
en ajoutant donc les équations précédentes , après les avoir multipliées par cos *', cos C, cos y\ la quantité n disparaîtra , et, d'après la valeur de L, on aura r = L.
Le moment de lo torsion peut seul se déduire des équations d'équilibre; quant à la torsion ellemême, sa grandeur est variable le long de la verge, lorsque la matière ou la section normale varie d'un point à un autre. Si la verge est homogène, et que la section normale soit constante, la différence des angles de torsion est la même aux extrémités de deux parties de la verge, d'égales longueurs , et proportionnelle aux longueurs, quand elles sont
TRAITÉ DE 1ÉCAHIQUE.
Supposons, pour fixer les idée», qu'une
verge homogène, prismatique ou cylindrique, soit encastrée par un bout , et qu'on applique à son autre extrémité deux forces égales , parallèles et contraires, agissant à distances égales et de deux côtés différens; cette verge restera droite ; mais elle se tordra sur elle-même, proportionnellement à sa longueur et au moment de ces deux forces par rapport à son filet moyen, lequel moment sera la voleur de la quantité L. J'ai trouvé, en outre, dans le Mémoire déjà cité(n» 306), que si la section normale de cette verge est un cercle, la quantité de la torsion sera proportionnelle, toutes choses d'ailleurs égales, à la quatrième puissance de ion diamètre; ce qui est conforme à l'expérience.
319. Deux des équotîons (4), ou deux combinaisons quelconques de ces équations, après qu'on y aura substitué la valeur de m et mis L à la place der, serviront à déterminer la figure de la verge en équilibre. Si elle est droite dans son état naturel , et que toutes les forces qui y sont appliquées soient comprises dans un même plan , les trois équations [b) se réduiront h une seule qui sera celle de la courbe plane formée par le filet moyen.
Prenons le plan de ces forces pour celui des x et y; nous aurons
m = 0 , cos f — 0, cos g = 0 , c=0, c' = 0, R = 0, cos>'=0;
d'où il résultera
X, = 0, Y, = 0, P=0, Q» = 0, r = L=0, et les deux premières équations (•) s'évanouiront.
A cause de r = oo , la valeur de /. se réduira à — ;
on aura aussi cos I = ± l ; «nais en ayant égard au sens de l'action de T sur la partie R de la verge
(n° 314), il est aisé de voir qu'il faudra prendre cos h = — 1 dans la troisième équation (b), qui deviendra, de cette i
et l'on remarquera qu'en conservant les notations du o° S14, le coefficient € i
Lorsque les forces X et Y seront nulles , cette équation (e) coïncidera avec l'équation (1) du n° 308, en observant que dans celles-ci, les forces P et Q agissent à l'extrémité même de la verge, ce qui rend nul leur moment R'. Dans tous les cas, on fera disparaître par des diGTérentiations, les intégrales contenues dans cette équation (c), qui te changera par la en une équation différentiel le *du quatrième ordre.
La figure de la verge étant déterminée par l'équation (c), il faudra en outre que les forces données qui y sont appliquées, satisfassent aux conditions d'équilibre du n° 261 , qui se réduisent à trois, à cause que ces forces sont toutes comprises dans un même plan. Désignons donc par D et E les sommes des forces particulières qui agissent à l'extrémité A de la verge, parallèlement aux axes des* et y, et par F' leur moment par rapport à ce point A, de manière que D , E, f, soient a l'égard de ce point, ce que P, Q, R', «out relativement à l'autre extrémité B; les trois éq.ialions dont il s'agit seront
D + P+ jy y >u>d.> = o,
l + q + f\ y *'ds> = 0 , F'+ R'+ Q (o— *) — P(*-y)
où l'on mettra pour * et y les coordonnée» du point A.
Lorsque le» deux bouts de la verge seront entièrement libres , les forces extrêmes et leurs moment seront donnés. Si la verge est encastrée à son extrémité A , les forces D et E , ainsi que leur moment F', seront indéterminés ; mais on connaîtra dy
les valeurs de x, y, —, relatives! ce point A. Si la dx
verge est seulement retenue par le point fixe A, les
forces D et E seront encore indéterminées ; leur résultante sera égale et contraire à la charge de ce point d'appui , dont elle exprimera la résistance, et l'on aura F' = 0 pour leur moment : on connaîtra alors les valeur» de * et y , mais non plus dy
celle de -. Le» même» remarque, s'appliquent dx
au point B.
