OC =-Q

Je lire de là les vo'eurs de C et C, je le . substitue dans l'équation (l), dont je supprime le terme C x; j'appelle q le poids de la verge, de sorte qu'on ait q — syma ; il vient

équation qui coïncide avec celle du n° 310, quand on néglige le poids de la verge , et qu'on y met Qc» à la place de C.

Dans les deux cas de Q = 0 et q =0, on a

SC

pour l'ordonnée du point B, qui exprime la flexion totale de la verge. En supposant Q = q , on voit donc que les flexions produites par un poids Q suspendu à l'extrémité libre d'une verge horitontale encastrée par son autre bout , et , par ce même poids, réparti uniformément sur toute la longueur de cette verge , sont entre elles comme 8 est à 3.

322. Si le point B est fixe comme le point A, ot situé sur la même horizontale, il faudra qu'ont ait y= 0 quand * = a; ce qui change l'équation (!) en celle-ci :

Cy = ( x» - •>) + C ( x. - o» ) + C'x ( x - o) , (*)

q étant toujours le poids de U verge.

Ira cas 5 u iv ans.

1° Quand la verge est encastrée à ses deux boots, dy

il faut qu'on ait — =0 pour x = 0 et pour * =o,on tire de là

et l'équation (8) devient

g*' (* ~ «)' V ZÂa '

En appelant f la flèche de la courbe formée par cette verge , c'est-à-dire, la valeur de y qui répond à son milieu, ouà* = ^o J on

parles points fixes A et B, les charges de ces points d'appui seront les forces E et Q, prises en sens contraire de leurs directions , et leurs momens T et R' seront nuls (n« 310). En vertu des premières équations (j) et *y

(fc), on aura — = 0 pour * = 0 et pour x = 0;

d'où l'on conclut

C == q, Cas 9.

On aura alors

gx ( o - s ) ( c» + as - x» )

cy — ,

et la flèche f sera

c'est-à-dire , quintuple de celle qui avait lieu dans le premier cas. D'après les dernières équations (y) et (*), on aura aussi

qui ont aussi lieu dans le premier cas , et qui sont évidentes en elles-mêmes.

!■ Enfin , lorsque la verge est encastrée à son extrémité A, et seulement retenue à son autre dy d'y

bout , on a — = 0 pour x = 0, et = 0 pour

dx dr> s = o; ce qui donne

ou moyen de quoi l'équation (2) devient

has g 0 ~ «) (*» ~ 2*)

Les secondes équations (3) et (à) donnent en même

Ce qui montre qne le poids de la verge se partage inégalement entre les deux points d'appui, et que la charge de l'extrémité encastrée est plus grande que celle de l'autre , dans le rapport de 6 à 3.

323. En supposant toujours les pointa A et B fixes et situés sur une même horizontale, et la verge homogène et prismatique , considérons le cas où les autres points sont chargés de poids inégalement distribués dans toute la longueur.

Soit donc

ex étant une fonction donnée qui s'évanouit quand .t — 0 et quand x =0, et q désignant le poids , ce qui suppose

exdx — a.

Cette fonction ex pourra être continue ou discontinue, c'est-à-dire que son expression analytique pourra changer une ou plusieurs fois entre les valeurs extrêmes x = 0 et * = o; ou, autrement dit , si on la représente par l'ordonnée d'une ligne dont x soit l'abscisse , cette ligne pourra se composer de plusieurs portions de courbes différentes. Si l'on désigne par t une ligne d'une longueur aussi petite qu'on voudra, nous pourrons supposer, par exemple , que «x soit xéro depuis x = 0 jusqu'à x= —a — i 1 , et depuis x = — a -\- J jusqu'à x = a, de sorte que cette fonction n'ait de valeurs différentes de séro que dans une très petite étendue t de part et d'autre de x = a. Ce cas sera celui d'un poids q agissant au milieu de la verge "élastique , que nous examinerons tout à l'heure en particulier.

Quelle que suit la fonction ex, continue ou discontinue, pourvu qu'elle soit nulle pour x = U et pour x u, on aura, depuis x = 0 jusqu'à x = o

ex = — 2 si "-^- ^ sin -^-; M

n étant un nombre entier et positif, et la caractéristique 1 indiquant une somme qui s'étend à toutes les valeurs de n, depuis n sa 1 jusqu'à n = 00 , Cette formule est due à Lagrangc , qui l'a donné*»