cosa — cos^cosc-h sin^ sine , /cos a — cos(^ -{-c
COS-A= \/ :-r-r = 1/ r^-4 ^
2 V 2 sm 6 Sine V 2 sin 6 Sine
a -h 6 -h c . — a -4- ^ -f- C sin sin
sin 6 sin e
Par de simples changements de lettres, on obtiendra des expressions analogues pour les sinus et pour les cosinus des
angles - B et -C. En sorte que, si, pour abréger, on désigne
par 2p le périmètre a 4- A -+- c, on aura
sii\(p — b)sin(p — c)
sinb sine
sm (p — a) sin (p — c)
smasme
sin(/7 — a) sinf/7 — b) sin a sin ^
fsmpsinfp — a)
cos-A= 1/ — '-T-r^. y
smo sine
t \ I I ^ /sinpsmif
(^) {cos-B=i/ — ^. — ^^
j 2 V sina SI
smc
cos^C=y/:
sinp s\n{p — c) sinasin^
Enfin, en divisant respectivement les formules (i) par les for-
CfaAFITRE QUATRIÈME.
mules (2), il vient
lang
< tang
tang
sm(p — b) sin {p — c)
La = \/^
2 y sin/?sin(/7 — a)
2 V si]
sin/7sin(/7 — ôj
1 C . / ^ (/? — ^» j sin ( /? — ^)
sin/?sin(/? — c)
bans toutes ces formules, le radical doit être pris positivement, parce que les lignes trigonométriques des angles aigus-
- A, - B, - C sont positives.
120. Désignons par e V excès spliérique du triangle ABC,, c'est-à-dire Tangle A H- B -f- C — 180°; les angles du triangla supplémentaire de ABC seront 1 80° — a, 1 80° — A, 1 80** — c, tandis que les côtés du même triangle seront 180*^ — A, iSo** — B, 180** — C^ la demi-somme de ces trois côtés sera^
180® e. Il résulte de là que, si l'on veut appliquer les formules (1), (2), (3) au triangle supplémentaire de ABC, il sufBra de remplacer A, B, C, a, A, c et /? par les suppléments^
de rt, A, c, A, B, C et - e. On obtient ainsi les neuf formules, suivantes :
. I ^ /sin
sm - a-=z i/ —
sin - b
8sin(A -
sin B sin C
sin|esînfB — \t)
sin A sin C
s sin ( C — 1
sin A sin B
~^8jsin(C-^e) ^ sin B sin C
sin(A — 4g)sin(C — ^g) sin A sin C
sin^(A — je) sinf B — ji") ^ sin A sin B ^
l54 TRAITÉ DS TRIGONOMÉTRIE.
et
1 / sinygsinfA — |e)
'"'gi"=V sin(B-i.)sin(C-i,) *
(6) Itanc'fr-t/ 8'"T«8'"(B-i«)
I , I sinîtsinfC — 4»)
*"''<^r=V «in(Alie)sin(B-i,) '
