CHAPITRE QUATRlfiMK

Dans la seconde formule (ii) et dans la première (12) le

radical doit être pris avec le signe -f-, parce que les arcs — ^-'

C — c €t 45° H j — sont compris entre o et 90 degrés, et qu'ainsi

leurs tangentes sont positives. Dans les deux autres formules le signe du radical se détermine facilement; en efiet,

tang — y — a le même signe que les seconds membres des formules (9)^ pareillement, tang (45** -\ -, — ) a le môme signe

queues seconds membres des formules (10).

Expressions dwerses de l'excès spliérique.

Formules nouv^elles.

124. L'excès sphérique qui mesure, comme on sait, la surface du triangle, est un élément d'une grande importance dans les applications de la Trigonométrie à la Géodésie. Nous allons faire connaître ici diverses formules nouvelles où figure cet élément, et qui pourront servir à le calculer dans les différents cas que Ton peut avoir à considérer.

Si Ton multiplie entre elles les deux premières équations du système (4) du n** 120, ainsi que les deux premières du système (5), puis que Ton divise les équations résultantes par la troisième équation (5), il viendra

[ sîn~asiny6 sinje

j cos~c sinC '

jcos-J-acos^ô sin(C — \t) ^

\ cosjc sinC '

ajoutant ces deux équations après les avoir multipliées respectivement d'abord par cosC et i, puis par i et cosC, il vient

!' cos-j 'Cos|^ -f-sin^Asini^cosC i

— î pî ? =cos-t, cos^c

•^ ' i sin^asiny^ -f- cos|acos-5-^cosC / i \

f ^ r^ =:COS C 8),

l58 TRAITÉ Dl TRIGONOHfiTRlI.

et, si Ton divise respectivement la première et la deuxième formule (i) parla première et la deuxième formule (a), on aura

/ I tangua tang 7 6 sin G

[ tang-e— 2^-- ^-^-^7 7^9

I 2 I -f- tangua tangl 6 cosC

I tanff G 1 =: ! ?

l °\ 2 y I -f-cotiacot|^cosG

La première des formules (3) donne l'excès sphérique en fonction de deux côtés et de l'angle compris ^ la première formule de Tun des systèmes (i) et (a) fournit aussi une expression de l'excès sphérique ^ mais cette expression dépend de quatre éléments. Il faut remarquer que les deux formules (3) ne sont autre chose que des transformées de la première des formules de Néper, savoir

' / . «V ' r^ cos-J-f^i — b)

tang - A + B =cot - G 77— ."T '^

^2 2 COSj(iZH- b)

si, en effet, on remplace - ( A -h B) par 90® (C — e), il

vient

(4) tan6'(C-.) = tangAc?2iM^!'

^^' °2 ^ °2 cos^(a — b)

formule de laquelle on déduit sans difficulté les deux formules (3).

On peut éliminer l'angle C des formules ( i ) et ( 2 ) au moyeu des équations

. ^ .1-, I 2 i/8in/7sin(o — a)sin(/J — 6)sm(/7 — c)

sinC = 2sin-Gcos-C = — î^^ — -^ r^ — ~7 ^-^ ^ 1

2 2 sinasmo

cosc — cosacosô

COSC= ; ;— T \

sinasmo on obtient ainsi

. I i/sini? sin f 1? — a)sïn(p — b)sin(p — t sm - s = ^ — ^ ^ -^ if- i

sin f C — - i] = V^s^"A^ sin jp — a) sin (/j — b) sm(p — t \ \ 7, I 2 sia|asin^6cos|c