CHAPITRE QUATRIÈME. l6l

.., p p — a p — b p — c aux quantités tang-» tang' , tangi , tang , et

l'on obtient ainsi

V tanK(4A-ie

tanfe

2 V tang(lA-ie)tang(iB-it)tangliC-i^)

I tan»-^--? - 1 /tang>tang(|B-|«jtang(^C-AO I ^. 2 -y ' fc.ng(iA-i.)

P — t — i A'ng-^ttang'-'C— ^.jtang(iA-|^) " 2 ~V tang(iB-i,;

. P-*-- . / t.ngl.fcing(iA-i«)t..ngfiB--i,)

'""" 2 -y f.ng(;C-{.)

Expressions du rayon du cercle circonscrit et des rayons des cercles inscrit et exinscrits.

125. Si Ton joint les trois sommets d'un triangle sphérîque au pôle du cercle circonscrit, on déterminera trois triangles isoscèles qui auront respectivement pour bases les côtés /i, i, c. Désignons par x chacun des angles égaux dans celui de ces triangles qui a a pour base, par j^ et ^ chacun des angles égaux dans les triangles isoscèles qui ont respectivement pour bases b et c. Si le pôle tombe à l'intérieur du triangle, on aura

d'où

ar-f- r H-3 = -(A -f-B + C) =QO*-f- -c,

et, par conséquent,

.^9oo~(c^ie).

Il est aisé de s'assurer que les mêmes formules conviennent

Tri^. S, H

i62 trait£ de trigonométrie.

au cas où le pôle n'est pas situé dans Tintérieur du triangle, pourvu qu'alors on considère comme négative celle des quantités x^y^ z qui se rapporte au triangle isoscèle situé tout entier au dehors du triangle donné.

Cela posé, désignons par R le rayon sphérique du cercle circonscrit au triangle, joignons le pôle de ce cercle au sommet Â, et abaissons du même pôle un arc de grand cercle perpendiculaire sur le côté c\ on formera ainsi un triangle rectangle dans lequel on aura

tangR cosz = tang - c,

d'où, en remplaçant z par sa valeur 90** — ( C e ) ,

(,) tangR =-.-H^5if-,

' ' sm(C— ^1)

formule qui donne R en fonction d'un côté, de l'angle opposé et de l'excès sphérique.

Si l'on remplace sin f C e J par sa valeur tirée de la

deuxième des formules (5) du n® 124, il viendra

, > ^ 2sin^asin46sin4c

(2) tangR = ' ^ ' -

^sin/7 sin(/? — a) sin(/? — b) sin(/7 — c)

Enfin, si l'on substitue à tang-c, dans la formule (i), la valeur tirée des équations (6) du n° 120, on obtiendra la formule

(3) tangR = ^/^

v/sin(A — i«)sin(B— i«)sin(C— |f)

qui donne l'expression de R en fonction des angles.

La formule (i) contient la démonstration du théorème suivant, du à Lexell :

Le lieu géométrique des sommets de tous les triangles sphériques de m,ême base et de même surface est une circonfé'