CHAPITRE QUATRIÈME. l
rence qui passe par les deux points diamétralement opposés aux extrémités de la base.
Car soient A'B'la base donnée et A'B'C Tun des triangles pour lesquels l'excès sphérique a une valeur donnée e'. Soient A et B les points diamétralement opposés à A' et B', et e Texcès sphérique du triangle ABC. Par un théorème connu en Géométrie, la somme des surfaces des deux triangles ABC et A'B'C est égale à la çurface du fuseau dont Tangle est C^ ou a donc
«-4-«'==2C, d'où -e'r==C — -e.
Maintenant, si R désigne le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC, on a, par la formule (i),
tang~c
et, comme c et e' sont constants, R est lui-même constant, ce qui démontre le théorème énoncé.
126. Désignons par r le rayon du cercle inscrit dans un triangle sphérique. Si l'on joint le pôle de ce cercle au sommet A, et que Ton abaisse une perpendiculaire sur le côté i, on formera un triangle sphérique rectangle, dans lequel
l'un des côtés de l'angle droit sera r^ l'autre sera
ou p — a, et l'angle adjacent sera - A-, on aura donc
tangr = sin(/? — a) tang - A, ou, en remplaçant tang - A par sa valeur en fonction des côtés,
^^ ^ V sin/?
Si l'on désigne par a, S, y les rayons des cercles exinscrits qui
l64 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
touchent respectivement les côtés a, i, c et les prolongements des deux autres, ou trouvera de la même manière
, /sinpsinf p — b^ûnip — c)
tanga ~ i / —^ ^^-7 ^^ — ^ ^ »
° V sm(/? — a)
tti\ ] « . /sin/?sin(/> — a)sin(/? — c)
(5) j tangg ::. V/-M& (;.-:^) ^
-^ /sin;>sin(/.^a)sin(p~6) ^' y sin(/> — c)
Résolution des triangles spJiériques rectangles,
127. Un triangle sphérique peut être birectangle ou même trirectangle. Dans le premier cas, deux côtés sont égaux à 90 degrés, et le troisième côté est égal à l'angle opposé. Dans le second cas, les trois côtés sont égaux à 90 degrés. Les triangles de cette espèce ne peuvent donc donner lieu à aucun problème.
La résolution des triangles qui ont un seul angle droit présente six cas distincts que nous allons traiter, mais nous devons rappeler d'abord une remarque que nous avons faite dans le Chapitre précédent à l'occasion des triangles rectilignes.
Lorsqu'un côté ou un angle d'un triangle sphérique est donné par son cosinus, par sa tangente ou par sa cotangente, sa valeur est déterminée, car ce côté ou cet angle est compris entre zéro et 180 degrés^ mais, s'il est donné par son sinus, il n'est pas entièrement déterminé; car à un sinus donné correspondent deux arcs ou deux angles supplémentaires.
Rappelons encore que, si l'angle ou le côté qu'on veut calculer est donné par son cosinus ou par sa tangente, et que la valeur de ce cosinus ou de cette tangente soit négative, il faut calculer à sa place Tangle supplémentaire qui a, au signe près, même cosinus et même tangente.
128. Premier cas. — Etant donnés Vhjpoténuse a et un côté b de V angle droit, calculer le troisième côté cet les deux angles obliques B e^ C.
GUAPITRB QUATRIÈME. lG5
On peut calculer les élémenls inconnus par les formules suivantes du n** 115 :
cosa . „ smh ^ tang^
cosc 1= T- , sinB = -: — î cos C = •
cos6> sina tanga
Mais il vaut mieux faire usage des formules du n** 116, savoir :
tang-cm: -f- i/tang- (a — ô)tang- (a H- h),
//i^ I ^\ . . /tang{(a -f- b) tang(45«-f.-B)=±Y/- -^ ^-
tang|(a— ^J
tanfir-C— • * ^ ^ -
/sinja-b) V sin(a -f-^)
2 V sin(a -f- b)
Ces dernières formules exigent seulement, comme les précédentes, la recherche de quatre logarithmes pour la détermination des trois éléments inconnus ; mais elles ont sur celles-ci l'avantage de donner les inconnues par des tangentes.
Remarque. — Pour que le problème soit possible, il faut et il sufiit que Ton ait sini <] sina; car, si cela a lieu, la valeur de sinB sera inférieure à i, et les valeurs de cosc et de cosC seront comprises entre — i et -i- i . L'inégalité dont il s'agit exige que Ton ait b <^a ou i > 1 8o° — a si a est <[ 90** ^ et i > a ou i <^ 1 80** — a si a est > po*' 5 si a = 90**, l'inégalité sini <[sina a lieu nécessairement. Lorsque la condition de possibilité est satisfaite, le problème admet une solution unique, bien que l'angle B soit donné par son sinus ^ car cet angle doit être inférieur ou supérieur à 90 degrés, suivant que le côté donné b est lui-même inférieur ou supérieur à 90 degrés. La même considération permet de fixer le signe avec lequel il faut prendre le radical qui exprime la valeur de
tang(45^4-iB).
129. Deuxième cas. — Etant donnés les deux côtes b et c de l'angle droit, calculer Vhjpoténuse et les deux angles obliques B ei C.
l66 TRAITÉ DB TRIGONOMÉTRIE.
On emploiera les formules
tànnb ^ tangc
cosa = cosô cosc, tang'B = . -» tangC = — ; — r- • ° sine ° sm*
Sî le côté a est mal déteiminé par son cosinus, îl faudra commencer par calculer B ou C, et Ton obtiendra ensuite a par l'une des formules
tSLTisc tangb
tanga = — ^-9 tanga = — ?^.
° cosB ° cosC
Remarque. — Le problème admet toujours une solution unique.
130. Troisième cas. — Etant donnés l'hypoténuse a et l'angle oblique B, calculer le deuxième angle C et les deux côtés b et c de l'angle droit.
On emploiera les formules
. , . . « « ^ cotB sm bz=:sina smB, tangc = tanga cosB, tang C = •
Si le côté b est mal déterminé par son sinus, il faudra commencer par calculer c ou C, et Ton aura ensuite b par Tune des formules
tangé = sine tangB, tang^ = tanga cosC.
Remarque. — Le problème est toujours possible et il n'admet qu'une solution, car l'inconnue b et l'angle donné B sont en même temps inférieurs ou supérieurs à 90 degrés.
131 . Quatrième cas. — Etant donnés un côté b de l'angle droit et l'angle opposé B, calculer les côtés a et c, ainsi que r angle C.
On peut employer les formules du n** 115
sin^ tang^ . ^ cosB
sma= -7—r=% sinc=: — ^— > smC= r»
smB tangB ces 6
GIIAPITBE QUATRIÈME. 167
Mais il vaut mieux se servir des formules suivantes du n** 116 :
ang (45« 4- - C j = =h i/cot i (B + 6) cot i (B — 6),
qui donnent les trois inconnues par leurs tangentes.
Remarque. — Chacun des deux précédents systèmes de formules peut donner pour chaque inconnue deux valeurs supplémentaires. 11 importe donc de savoir déterminer quelles sont les valeurs qu'il faut prendre ensemble.
D'abord, si i = B, on a
sina = sine = sinC = I , a=zc=zC = 90®,
et le triangle est birectangle. Supposons donc b différent deB.
1° Si 4 est << 90°, il faut, pour la possibilité du problème, que B soit aussi <^ 90**, et que Ton ait en outre i <^B. Supposons cette condition remplie; cosi étant positif, Téquatîon cosa ±= cosè cosc montre que a et c sont en même temps inférieurs ou supérieurs à 90 degrés 5 la même chose a lieu d'ailleurs à regard de c et de C. Si donc on désigne par a', c' et C les valeurs inférieures à 90 degrés que les Tables font connaître pour a, c et C, on aura les deux solutions
az=a\ c = c'y C = C,
a = 180"— a', c=ri8o«>— c', C = i8o«>— C.
2® Si b est ]> 90**, les conditions de possibilité du problème sont B>9o® et i^B. Supposons qu'elles soient remplies-, cos4 étant négatif, l'équation cosa = cosi cosc montre que a et c sont l'un supérieur et l'autre inférieur à 90 degrés -, et, comme c et C sont tous deux supérieurs à 90 degrés, si l'on désigne toujours par a', c' et C les valeurs de a, c et C que les
l68 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
Tables font connaître, on aura ces deux solutions : a~a\ c~i8o°— c', Cz=i8o«— C,
D est facile de voir, a priori, qu'en exceptant le cas de i = B le problème admet deux solutions lorsqu'il est possible. Supposons, en etïèt, que le triangle ABC, rectangle en A, satisfasse â la question (voir la figure du u** 109, p. iSg), et prolongeons les côtés AB et BC jusqu'à leur rencontre en B'5 on formera un second triangle rectangle A B'C qui répondra aussi à la question.
132. Cinquième cas, — Etant donnés le côté h et l'angle adjacent C, calculer l'angle B et les deux côtés a et c.
On emploiera les formules
« , . ^ taneA . ,
cosB z:^ cosb smC, tanga :=. —9 tangc rr= sino tangC.
COSL<
Si l'angle B est mal déterminé par son cosinus, il faudra commencer par calculer a ou c, et l'on aura ensuite B par l'une des formules
cotB = cosa tangC, cotB = sine cot<^.
Remarque. — Le problème est toujours possible et il n'admet qu'une seule solution.
133. Sixième cas. — Étant donnés les deux angles obUijues B et C, calculer les trois côtés a^ b^ c.
On emploiera les formules
^ ^ , cosB cosC
cosa =:: civt B cot C, cos b = - — - j cos c = -T—=-
sm C sm B
du n" 115, ou plutôt les suivantes du n° 116 .
f ^ /cos(i8o°— B — C)
tang - a = -h 4 / î^ — — ^ ,
2 y cos(B — C)
tang - 6 = H- i/ tang ( -^ 45° j tang ( h 45« j .
tang ^^ — -^ y/t*ing f -^ 45« j tang ( -^^ + ^sA ,
qui donnent les inconnues par leurs tangentes.
