CHAPITRE QUATRIÈME. I

les deux solutions se déterminent par les considérations dont nous avons fait usage au n^ 131.

139. Cinquième cas. — Etant donnés l'angle B et le côté c, calculer le côté b et les deux angles KetQ.

Les formules à employer sont

cosô = cosB sine, tangA = — » tangC = sinB tangc.

Si Ton veut déterminer b par sa tangente, il faudra commencer par calculer A ou C, et Ton aura ensuite b par Tune des formules

cot^ = — cosA tangc, cot^.= sinC cotB.

140. Sixième cas. — Etant donnés les deux côtés b et c, calculer les trois angles A, B, C.

Les formules relatives à ce cas sont

ces b cos c

ces A = — colb cote, cosB = — — 9 ces C = -; — r ;

smc sm6

mais il convient de les transformer dans les suivantes :

i . / cosib — c)

'^^^^^-^VœsTrso^^T^:^'

tang ^ B = -H- l/tang ( — 45° H- -^t f \ tang f 45«>H ? j •

tang-C = -h i/tang f — 45«H ^J tang (45* ~~~)

Remarque sur la résolution des triangles sphériques quelconques.

141. Les triangles rectilatères ne sont pas les seuls dont la résolution se ramène à celle des triangles rectangles 5 la même chose a lieu encore dans les deux cas suivants :

I** Si parmi les éléments donnés se trouvent deux côtés

égaux a et i 5 OU deux angles éga: x A et B, la perpendiculaire abaissée du sommet C sur le côté AB partagera le triangle ABC en deux triangles rectangles égaux dans toutes leurs parties. On résoudra Tun de ces triangles rectangles où Ton connaît deux éléments outre Tangle droit, et Ton aura immédiatement les éléments inconnus du triangle proposé.

2^ Si parmi les éléments donnés se trouvent deux côtés a et i ou deux angles A et B, dont la somme soit égale à 180 degrés, en prolongeant les côtés a et c jusqu'à leur rencontre en B', on formera un triangle AB'C dans lequel deux côtés ou deux angles seront égiux. La résolution du triangle AB'C se ramène, comme on l*a vu, à celle d'un triangle rectangle j elle entraine d'ailleurs celle du proposé.

La résolution des triangles sphériques en général présente six cas 5 mais trois de ces cas peuvent se ramener aux* trois autres par la considération du triangle supplémentaire, et les solutions de deux cas correspondants s'obtiennent par des formules analogues. Il n'y a donc en réalité que trois problèmes distincts.

Résolution d'un triangle sphérique dans lequel on connaît les trois côtés ou les trois angles,

142. Première méthode. — Si les trois côtés sont donnés, on peut calculer les angles par les formules (i), (2) ou (3) du n** H9; on doit préférer les formules (3), savoir :