CHAPITRE QUATRIÈME. l
aussi aux équations en prenant B= i8o** — M, c — (f = — N, C — ^= — P; il est aisé de déterminer, dans chaque cas, les valeurs de B, C, c qu*il faut associer pour obtenir un triangle répondant à la question. Effectivement, si Ton introduit les angles auxiliaires cy et tp dans les formules
cet ^ sine — cotBsinA = cosccosA, cosB =r — cosAcosC -h sinAsinCcos^,
celles-ci deviennent
(4) sin(c — «pjmsmcp — 2-, smfC — i!*) =sïï^Y r>
^^' ^ ^^ ^tangB ^ ^^ ^cosA
ce qui montre que les différences c — y et C — ^ sont de même signe. On voit aussi, parles formules (4)^ que, si ces différences sont positives, les angles A et B sont tous deux inférieurs ou tous deux supérieurs à 90 degrés, tandis que, si c — (p et C — ^ sont négatives, les angles A et B sont, Tun inférieur, l'autre supérieur à 90 degrés. D*après cela, les valeurs de B, C, c qui doivent être associées seront
si A < 90*»,
si A > 90",
et chacune de ces deux combinaisons répondra certainement à un triangle, à moins que la valeur de c ou de C qui y figure ne soit pas comprise entre zéro et 180 degrés.
Si Ton divise la première et la deuxième équation (4) respectivement par la première et la deuxième équation (3), on trouvera, en ayant égard aux équations (2) et à la première équation (i),
(5) tang(c— - y) = tangacosB, tang(C — ip) =: 9
d'où
(6) tang {c — <p) = sin b sin A tang (C — >{/). Lorsqu'on a besoin de calculer les trois éléments inconnus,
Bi^M
C=:ry-f-N,
C zr. 4, -h P,
B-:i8oo— M,
c ir- (p -h N,
Cr=:^ + P,
l86 TRAITA DE TRIGONOMÉTRIE.
et que Ton a obtenu B par la première formule (i), on pccit employer avec avantage les formules (5) et (6) pour achever la résolution du triangle ^ celles-ci exigent effectivement un logarithme de moins que les formules (3), et elles déterminent les différences c — cp, C — tp par leurs tangentes. Pour le calcul, il est permis de regarder ces différences comme positives, c'est-à-dire comme égales à 4- N et à -I- P respectivement; mais alors, si Ton prend pour B la valeur M, il faut avoir soin de changer les signes des seconds membres des formules (5), quand Tangle A est supérieur à 90 degrés.
152. On procédera exactement de la même manière, si les données sont A, B, a. Les formules qui déterminent les inconnues sont ici
(. , sinBsina smb = — r-— — 9 smA
• cosAnr — cosBcosC -h sinBsinCcosa,
cota sine — cotA sinB = cosc cosB.
La première formule est calculable par logarithmes 5 pour trouver C et c, on calculera deux angles auxiliaires ^, (f compris entre zéro et 180 degrés, et tels que Ton ait
(2) tangrp = — tangB cosû, tangy = ;
les deux dernières formules (i) deviendront alors
cos A cos>L
(3) cos (C -- ^^) = ^ y cos (c — (j)) = — cot A tangB cosf.
Si la condition
sinBsîna ^
smA
est satisfaite, la valeur précédente de sini sera inférieure à i) pareillement, les valeurs de cos (C — ^) et de cos ( c — (f) seront comprises entre — i et -+- 1 5 les Tables feront donc connaître une valeur M de b comprise entre zéro et 90 degrés, ainâ -que des valeurs N et P de c — îp et C — if», comprises entre zéro
