CHAPITRE QUATRIÈME
et 180 degrés; mais on satisfera aussi aux équations en prenant i = i8o° — M, C — <// = — P, c — 9 = — M. L'introduction des angles ip et ç dans les formules
cotb sina — cotB sinC = ces a cosC, cosb = cosa COSC -f sin« sine cosB donne
//x • /r. IX • i tangfl . , . . cosô
(4) sinfC — '!;)== — sm-o» — ^9 smfc — «p) == — sm® :
^' ^ ^' ^ tange» ^' ^ cosû '
il s'ensuit que les différences C — ^ et c — y sont de même signe ] on voit aussi que, si ces différences sont négatives, les côtés a et i sont Tun et l'autre inférieurs à 90 degrés ou supérieurs à 90 degrés; tandis que, si c — y et C — ^ sont positives, les côtés a et b sont l'un inférieur, l'autre supérieur à 90 degrés. D'après cela, les valeurs de i, C, c qui doivent être associées seront
^ = 180» — M, Cr:=>|»— P, c — <p — N, et
^ ^ si a<qo«>.
Chacune de ces deux solutions cesse d'exister, si la valeur de C ou de c qui lui correspond n'est pas comprise entre zéro et 180 degrés.
Des formules (3) et (4) on tire
(5) tang(C — 4*)— — tangAcos^ tang(c — <p) =: — ^^
et
(6) tang{C — -«p) rzrsinasinBtang(c — <p),
formules qui faciliteront la résolution du triangle quand le côté b aura été déterminé.
Toutes ces formules sont semblables à celles que nous avons obtenues au numéro précédent. On passe des unes aux autres en remplaçant a, é, c, Â, B, C, ç, ({/ par les suppléments de
A, B, C, a, i, c, i^^ y, et, en effet, nous n'avons fait autre chose ici que résoudre le triangle supplémentaire de celui dont nous nous sommes occupé au n^ 151 .
153. Quatrième méthode. — L'introduction des angles auxiliaires y et ^(/, dont nous avons fait usage dans la méthode précédente, équivaut à la décomposition du triangle ABC en deux triangles rectangles ou en deux triangles rectilatères par le moyen d'un arc de grand cercle CD {fig- 3 1), mené du
sommet C au côté opposé AB. En effet, si Tare CD fait un angle droit avec le côté AB, le triangle rectangle ACD donne
tang AD = tang ^ cos A, cot ACD = cos b tang A ;
si, au contraire, Tare CD est mené de manière que sa longueur soit égale à un quadrant, le triangle BCD sera rectilatêre^el il donnera
^^ cota ^^^ ^
tangBD = > tang BCD = — tangB cos a,
d'où il suit que les angles désignés par f et ^ au n® 151 sont respectivement égaux à AD et ACD, tandis que les angles désignés par les mêmes lettres 9 et tp au n° 152 sont respectivement BD et BCD.
La méthode fondée sur la décomposition du triangle proposé en deux triangles rectangles ou rectilatères, et dont nous voulons nous occuper ici, ne diffère donc pas au fond de celle que nous venons de développer-, mais il convient de remarquer qu'on peut éviter l'emploi des sinus et des cosinus dans le calcul des éléments inconnus.
Supposons, en effet, le cas où les éléments donnés sont a,
