CHAPITRE QUATR1EmB« IQI
Discussion des cas qui peuv^ent admettre deux solutions.
155. Les deux derniers cas des triangles sphérîques sont les seuls qui puissent admettre deux solutions, et encore ils ne le^ admettent pas toujours. Les formules qui se rapportent à ces deux cas font connaître le nombre des solutions et elles déterminent sans ambiguïté \e& éléments de chacune d'elles 5 il n'est pas cependant sans intérêt d'étudier les diverses circonstances de ces deux problèmes \ mais, parce qu'ils se ramènent immédiatement Tun à l'autre, ainsi que nous l'avons déjà dit, nous nous bornerons à présenter ici la discussion du cas où l'on donne deux côtés a, i, et l'angle opposé à l'un d'eux.
Si a = i, on a aussi A = B, et les formules de Néper donnent
cot - C = tangA cosa, tang - c = tanga ces A.
Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que tang et cosa, cosA et tanga aient le même signe, c'est-àdire que A et a soient tous deux inférieurs ou tous deux supérieurs à 90 degrés. 11 n'y a qu'une seule solution.
Passons au cas général. Il faut, pour que le problème soit
possible, que — ; soit moindre que i ; si cette condition
est remplie, il y a deux valeurs de B qui satisfont à l'équa-*
• T» sinôsinA i, «/r i . j ^
txon smB = — : : 1 une M est plus petite que 90 degrés,
l'autre M' est égale à 180° — M.
Pour que l'une de ces valeurs de B réponde à la question, îl faut et il suffit (n° 149) que A — B et a — b aient le même signe. Ainsi la condition pour que M réponde à la question est que A — M soit de même signe que a — b\ de même, la condition pour que M' y réponde est que A — M' soit de même ^^gne que a — b.
1° Supposons A <; 90° et è <^ 90*^.
192 rUAITfi DU TRIGONOMETRIE.
Si a est cTi, la formule sinB= — ; -doune M>J
et, à plus forte raison, M' > A 5 il y a donc deux solutions. Si a est > i, on peut avoir
« -h ^ < 180®, fl -t- è = l8o^ « -+- /^ > 180°.
Dans le premier cas, on a A <^ 180° — a, sini <^ sina; al( M est <^ A*, mais. M' étant > A, il n'y a qu'une seule solution. Dans le cas de a -H i == 180°, ona i = 180*^ — a, sînA = sinfli alors M = A et M/]> A5 il n'y a donc aucune solution. Dam le cas de a -H A > 180°, on a è>i8o® — a, sini^sinfl; alors M est >A, et, à plus forte raison, M'^- A^ il n'y a donc aucune solution.
2° Supposons A <^ 90° et è = 90°.
La formule B = — : '— donne encore M "> A, et, par
suite, M' ^ A, à moins que Ton n'ait a = 90°, auquel cas on a M = A. Il y a donc deux solutions si a est <^ 90®, et il n'y en a aucune si a = oti > 90®.
3** Supposons A <; 90*^ et b^ 90*^.
Si a est <^ A, on peut avoir
Dans le premier cas, on a A <^ 1 80** — a, sin A > sina : alors M est > A, et, à plus forte raison. M' est > A; il y a dom deux solutions. Dans le cas de a -4- A = 1 80*^, on a A == 1 80 —a sinA = sina : alors M = A, M'^ A5 il n'y a donc quum solution. Dans le cas de a -h A > 180*^, on a A ^180** — a sin A <^ sina : alors M est <[ A 5 mais comme M' est ^ A , il ^ a encore une solution.
Si a est > A, on a sin <^ sin A, puisque a et A sont obtus alors on a M ^ A, et, à plus forte raison. M' ^ A 5 il n'y donc aucune solution.
Les hypothèses A = 90*^ et A >« 90° se discutent de la mêm manière; on peut comprendre tous les résultats dans le tablea suivant :
GUAFiTRK QUATfilÈaiE. I93
' a<^b deux solutions,
\a=:b une solution,
a<^et/zH-^< 180** une solution,
a^b et «-+-6== ou > i8o°. aucune solution;
A <ic)o^ l , ( «<I ^ deux solutions,
( « = ou > è aucune solution ;
[a<^è et a -h b<^ i8o** deux solutions,
b >» 90*» \^<C^ et a 4- ô = ou > 180**. une solution,
( a = ou > è aucune solution ;
a=: b on <^b aucune solution,
ft <<9oo [a'^h et rt -f- è <; 180® une solution,
a^ b et a + ô = ou > 180**. aucune solution ;
nz= b une infinité de
b = c)o^I^ solutions,
a<^b ou ^'b aucune solution ;
la<^b et a "t- b = ou <Ci 180®. aucune solution,
ô >> 90° ? a <; ^ et « -4- /5> >> 180° une solution,
[ « -=: ou > ô aucune solution ;
ia=z ou <Cb aucune solution,
b <; 90° } a^b et a -h bz=z ou <^ 180" . une solution,
(û>^eta4-è> 180** deux solutions;
a = ou <C ^ aucune solution.
A>90®/ \a^b deux solutions;
a<^b et a -{- b z=z ou <C 180®. aucune solution,
\a <ib et a 4- ^ > 180® une solution,
\a ::zb une solution,
a^b deux solutions.
6>9oo
Problèmes de Trigonométrie sphérique.
156. Problème I. — Calculer le volume d' un parallélépipède oblique, connaissant les longueurs des arêtes et les angles que ces arêtes font entre elles.
Soient a, 6, y les trois arêtes qui aboutissent à Tun des Trig. s. l'i
!<)4 TRAITÉ DR THIGOMOHÊTRIE.
sommets du parallélépipède. De ce sommet comme centre, avec un rayon égal à Tunîté, décrivons une sphère, qui coupera les faces déterminées par les arêtes 6 et y, y et a, a et 6 suivant un triangle spliérîque. Les côtés a, è, c de ce triangle seront précisément les angles plans donnés de Tangle trièdre, qui a pour sommet le centre de la sphère, et les angles A, B, C seront égaux aux angles dièdres du même angle trièdre.
La base du parallélépipède a pour mesure aSsinc^ si donc H désigne sa hauteur, le volume demandé V sera
V — aêsincXH.
Mais si, par le sommet d'où la hauteur H est abaissée, on mène une perpendiculaire H' sur l'arête a et que Ton joigne le pied de H' à celui de H, cette dernière droite fera avec H' un angle égal k A, et l'on aura, par des triangles rectangles,
H'=7sin^, Hr^ H'sinArrr y sinèsinA;
par conséquent,
V = a§7 sin b sin c sin A.
Or, si Ton fait a -f- i 4- c = ap, on a (119)
2 V smt>siiic
/sin/7sin V sm7
ces- A=r 4/ — ^ . -^ . h
2 V sinosmc
et, par conséquent
sin A = —, — r— : — i/sinwsin''/? — a)s\n(p — b)sm(p — c); sinb sine ^ j \-r / vi /»
donc
V = 2ao7^/sin/>sin'/7 — a)sm(p — b) sin^p — c);
on peut écrire aussi (110)
V = oi^y V I — cos^a — cos^^ — cos^c H- 2 cosa cos^ cosc.
Remarque. — Si Ton prend le sixième de cette expression, on aura le volume d'un tétraèdre en fonction de trois arêtes contiguës a, 6, y et des angles a, è, c, que ces arêtes font entre
