Problème II. — Réduire un angle à V horizon

Supposons qu'un observateur placé au point O (fig^ 3») ait mesuré les angles formés avec la verticale 00' par les rayons

visuels OP et OQ dirigés vers deux points fixes P et Q, et qu'il ait mesuré aussi 1* angle POQ formé par ces rayons visuels -, on demande de trouver Tangle P'O'Q' qui est la projection de POQ sur le plan horizontal.

Si Ton imagine une sphère décrite du point O comme centre, avec l'unité pour rayon, elle sera coupée par les trois faces de l'angle trièdre en O, suivant un triangle sphérique ABC, dont les côtés seront précisément les angles observés \ tandis que l'angle P'O'Q' qu'il faut trouver est égal à l'angle C de ce triangle sphérique. On est ainsi ramené à l'un des cas des triangles sphériques dont nous avons donné la solution au n** 142.

158. Problème III. — Etant données les latitudes et les longitudes de deux points de la surface de la Terre, troui^er la distance de ces deux points.

Soient (fig. 33) P le pôle boréal, P' le pôle austral, EGE' Téquateuret G le point de ce cercle à partir duquel se comptent les longitudes. Supposons que GE soit le sens des longitudes orientales, et GE' celui des longitudes occidentales. Soient PACP' et PBDP' les méridiens qui passent par les deux points donnés, dont on connaît les latitudes AC, BD, et les longitudes GC, GD-, soit enfin AB l'arc de grand cercle qui

joint les points A et B. Dans le triangle sphérique PAB, on connaît Tangle P et les deux côtés qui comprennent cet angle.

Fig. 33.

En effet, l'angle P est égal à la diilërence des longitudes données, lorsque celles-ci sont toutes deux orientales ou occidentales^ et le même angle P est égal à la somme des longitudes données ou au complément de cette somme à 36o degrés, lorsque Tune des longitudes est orientale et que Vautre est occidentale. En outre, le côté PA est égal à 90° — ou + la latitude du point A, suivant que cette dernière est boréale ou australe ; et, de même, le côté PB est égal à 90** — ou -H la latitude du point B.

Convenons que les longitudes soient positives ou négatives suivant qu'elles seront orientales ou occidentales, et pareillement que les latitudes soient positives ou négatives suivant qu'elles seront boréales ou australes. Si l'on désigne par L et L' les longitudes des points A et B, par X et X' les latitudes des mêmes points, on pourra (146 et 147) calculer le côté AB = x par Tune ou Tautre des deux formules

sin>sm(X'-l- y) ^.^ i , sin^fX— )/)

cosa: =

cos<p

sm- .r =:

cosc^

Quand on fait usage de la première formule, il faut calculer préalablement l'angle auxiliaire ç par la formule

tangç = cotX cos( L' — L) ;

si Ton veut au contraire employer l'angle co, on le calculera par la formule

tangb) ^=±

sin|(L — L^) sin-;(). — V)

v/cosXcosV.