COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS CIRCULAIRES

Des expressions imaginaires*

160. Conformément à l'usage adopte, nous représenterons par i l'imaginaire sj — i , et nous appellerons expression imaginaire toute expression de la forme

où A et B sont des quantités réelles, positives, nulles ou né> gatives.

Quand nous saurons d'avance que deux quantités réelles A' et B' sont respectivement égales à deux autres A et B, nous dirons que les expressions A 4- Bi et A' -h B'i sont égales.

Il est évident que si l'on a plusieurs égalités de la forme

et qu'on les multiplie membre à membre, en opérant comme si i était une quantité réelle, on obtiendra une égalité dans laquelle les coefficients des mêmes puissances de i seront égaux -, l'égalité subsistera donc quand on rabaissera les exposants de i au-dessous de 2, en faisant usage de l'équation 1' = — i. Quelle que soit l'expression imaginaire A4-B/, on peut toujours trouver une quantité positii^e p et un arc a tels, que

l'on ait

A=:pcos«, B=:psiaa.

£n effet, il suffit de prendre

puis

cosa = * sina =

VA»4-B» -i-v/A'-f-B'

200 TRAITÉ DE TRIGÔNOUÊTILIE.

par conséquent, on peut écrire

A -hBizrr. p cosa ■+- ip sïna

ou, si Ton veut,

A -f- B/ :r:r p (cosa -+■ i sma).

Quand une expression imaginaire est ainsi ramenée à la forme p (cosa -h i sina), la quantité positive p est dite son module; Tare a est son argument.

Le module d'une expression imaginaire donnée est déterminé, mais rargument ne Test pas entièrement; car une expression imaginaire ne change pas quand on ajoute à son argument ou qu'on en retranche un nombre quelconque de circonférences.

Les quantités positives et négatives peuvent être considérées comme des expressions imaginaires dont le module est égal à leur valeur absolue et dont l'argument est un nombre pair ou impair de demi-circonférences; car, soit A un nombre positif, on a, quel que soit l'entier A*,

-h A = A(cos2>Î7r H- / sinaX-Tr),

— A = A [005(2 X- H- i)7r -f- ;sin(2X- -+- »)^]*

Pour que deux expressions imaginaires soient égales, il faut et il suffit que leurs modules soient égaux, et que leurs arguments diffèrent d'un multiple de la circonférence. Supposons, en effet, que les expressions p(cosa H- i sîna) et p'(cosa'-{- isina') soient égales; on a

p cosa =: p' cosa\ p sin« =:p'sinû',

et, si Ton ajoute ces équations après les avoir élevées au carré, il viendra

p'— p'', d'où p — p';

les modules étant égaux, les arcs a et a' ont même sinus et même cosinus : donc ils ne peuvent différer, s'ils sont inégaux, que par un multiple de la circonférence.

Les arguments de deux expressions imaginaires conjuguées, telles que A-f-Bi et A — Bi, ont même cosinus, tandis que