CHAPITRE CINQUIÈME. "ÎOI
leurs sinus sont égaux et de signe contraire 5 la somme de ces arguments est donc égale à un multiple de la circonférence.
Opérations sur les expressions imaginaires. — Formule de Moii^re pour un exposant entier et positif.
161 . Théorème. — Le produit de deux expressions imaginaires est une expression imaginaire dont le module et l'argument sont respectii^ement le produit des modules et la somme des arguments des facteurs.
Considérons d'abord deux expressions imaginaires
cosa H- / sina et cos b -h i sinb
ayant l'unité pour module. Si l'on effectue leur produit, il viendra
(cosû -f /sina) (cosb -+■ isinb)
=: cosa cos^ -I- / (sina cos6 h- cosa sinb) -+- /'sina sin^,
ou, à cause de z* = — i ,
(cosa -f- / sin a) ( cos b -h i sin b)
= (cosa cos ^ — sina sin 6) -f- /(sinacosè -4- cosa sin 6).
Or nous savons que Ton a
cosacos^ — sinasinô n= cos(a + ô), sina cos 6 H- cosa sine =1 sin (a -h ^);
on peut donc écrire
(cosa 4- /sina) (cos^ -+■ isinb) =: cos(a -h è) -h /sin(a -+- b).
Soient maintenant p (cos a-\-i sina), p' (cosè + i sinb) deux expressions imaginaires ayant respectivement pour modules p et p['^ on a.
p (cosa -t- / sin a) X p' (cos b -{- i sin b) -= pp' X (cosa 4- / sina) (cosô -I- / sinb).
202 TRAITfi DE TRIGONOMÉTRIE.
et, par conscquent,
p [cosa 4- / sîna) X p' {cosb H- / sine)
= pp' [cos(a -t- è) -f- /sin(û + è)].
Corollaire I. — Le quotient de deux expressions imagi naires est une expression imaginaire dont le module et l'argument sont respectivement le quotient des modules et la dijfférence des arguments du di\ndende et du diiàseur.
Car, soient les deux expressions
p(co8fl -h /sine) et p'(cosè -i- isinA);
on a
^ [ces [a — b)-i- i sin (a — b)] X p' (cos b-hismb)=p (cos a -h /sin a) ,
d'où
9) ______ ::= ÎL [cos(a -^b)-hi sm(a — *)].
p'{cosb-\' isinb) p
Corollaire II. — Le module et l'argument du produit de tant d'expressions imaginaires que l'on voudra sont égaux respectivement au produit des modules et à la somme des arguments des facteurs.
En effet, pour multiplier les deux premiers facteurs, on multiplie leurs modules et Ton ajoute leurs arguments. Pour multiplier ce produit par lé troisième facteur, il faut multiplier son module par celui du troisième facteur, et ajouter à son argument celui de ce troisième facteur, et ainsi de suite.
Corollaire III. — Pour élever une expression imaginaire à une puissance entière et positive de degré /w, il faut élever le module à la puissance m, et multiplier l'argument par m.
Cela résulte immédiatement du corollaire H, en supposant égales entre elles toutes les expressions imaginaires que Ton y considère.
Soit, en particulier, cosa-Hisîna une expression imagi-
CnÀPITRB GIIIQUIÈME. 203
aaire de module i ^ on a
(cosa H- / sinû)*" = cos ma -4- / sinma.
C'est dans cette égalité que consiste la formule de Moîvre.
162. Théorème. — Le module de la somme de deux expressions imaginaires est compris entre la somme et la différence des modules de ces expressions.
En effet, soient les deux expressions imaginaires
p (cos « -f- / sin « ), p' ( cos a' -h / sin a' ) ,
et posons
R(cosA 4- /sinA) = p(cosfl -f-/sina)-f- p'(cosa'-f- /sina');
on aura
R cos A =rr p cosa -4- p' cosa',
R sin A == p sina -4- p' sina'.
Si Ton ajoute ces égalités après les avoir élevées au carré, et que Ton extraie la racine carrée des deux membres de l'égalité résultante, il viendra
R = V^P' -+- ^??' cos(a — a' ) -f- p'»; on a donc
R<V/(P^-P')* ou <p-f-p', Riv'p-p')' "" ^±:(p-p').
On déduit de là cette proposition plus générale :
Corollaire. — Le module de la somme d'un nombre quelconque d'expressions imaginaires ne peut surpasser la somme des modules de ces expressions.
Multiplication des arcs.
163. La formule de Moivre donne immédiatement les valeurs de cos ma et de sinma, en fonction de cosa et de sina. Si, en effet, on développe le second membre de Tégalité
cos ma -+- / sin ma = (cosa -4- / sina)*",
ao4 TRAITÉ DB TRIGONOMÉTRIE.
en ayant soin de rabaisser les exposants de i au-dessous de î> au moyen de l'équation i' = — i, il viendra
cos ma H- / sin/wa
r m(m — i) = cos"/! cos"~'a sin*a
i)fm-2)(m~3) ^, . , l
-Li -— -£-î cos"^*a sm*a — . . .
fm ^ . /n(/n — i)(m — 2) , . I — cos'"-*a sina ^ —a- ^ cos"~'a sin'ii
Ll 1.2.3
H -^ . 7^ cos*"-"*» sin*a — .. . K
on a donc
mlm — i)
cos ma -= cos"* a • cos""* a sin'a
m(m— i)(/n — 2)fm — 3) ., ..
I sm ma =: m cos"^' a sm^ — - ' \ — ' cos"*"''/» sin'û
m(m — \). , .fm — 4) . • ^
H -. , , ^ ^^ ces"""* asm* a — ....
Ces formules donnent les valeurs de cos ma et de sinma e» fonction de cos a et de sina. En remplaçant successivement sîna par ^1 — cos* a et cos a par \Ji — sin*7z, on obtiendrait les expressions de cos ma et sînma en fonction de cos a ou de sina seulement-, nous ferons connaître plus loin ces expressions, et nous nous bornerons ici à une remarque essentielle.
Les termes des seconds membres des équations (i) sont tous du degré m par rapport à sîna et cosa^ la première de ces équations ne contient que des puissances paires de sina et que des puissances paires ou impaires de cos a, suivant que m est pair ou impair. La seconde équation, au contraire, ne contient que des puissances impaires de sina, et que des puissances impaires ou paires de cos a, suivant que m est pair ou impair. On peut conclure de là :
1° Que cos ma et - . sont exprimables, en fonction de
^ sina ^ '
