An . 7,/rT

Z =z cos h i sin »

d'où Ton tire

I 2 Air . 7. An

- =z cos / sm :

les racines de Téquation en x sont donc représentées par la formule

iAtt

X =z 7. COS î

dans laquelle on doit donner à h toutes les valeurs i, 2, . . ., m — i

169. Propriétés des racines de l'équation 3"* = i. — i^ Si Ton fait

a ::^ cos h i sin — ?

21 a TRAITÉ DB TRIGONOMfiTRlE.

on a, parla formule de Moivre,

a* = cos ■ h i sm ;

par conséquent, les m racines de l' équation z"*= i peuvent être représentées par

cest-à'dire par les puissances de l'une d'entre elles.

2^ Si Ton a m = np^ net p étant deux nombres premiers entre eux, on obtiendra toutes les racines de z'*= i, en multipliant les n racines de z'*= i par les p racines de z'' = i.

■ri rf . 2^ir .sin2/*ir . ,

En eiiet, soit a = cos h i une racme de ^"''=1:

np np

netp étant premiers entre eux, on peut trouver deux entiers Ç

et yj, tels que

/?Ç -1-/2>J= A- ou 1 =z -^

n p np

et £^lors on a

/ 2?7r . . 2Ç7r\ / inn . . 2iî7r\

a = cos — ^ h i siii COS — + t sm :

d*où l'on conclut que toute racine de z^f = i est le produit d'une racine de z" = 1 par une racine de -s'' = i : par conséquent les np racines de l* équation z"p= i sont les produits que l'on obtient en multipliant les n racines de z"= i par les p racines de zP= i.

3** La résolution algébrique de l'équation z"'=^\^oiiTn est un nombre composé, se ramène à la résolution des équations de même forme ayant pour degrés les nombres premiers ou puissances de nombres premiers qui disfisent m.

En eilet, soit m = npq^. . , n^ p^ q^,, . étant des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers inégaux; on aura les racines de Téquation 2"^= i en multipliant celles de z** = I par celles de z^ = i . Pareillement, on aura les racines de z^P"^ =:: I en multipliant celles de z"P = i par celles de z^ = i, et ainsi de suite. D'où Ton peut conclure que les diverses ra-